...

3.5 Analisis Kestabilan Routh - Share ITS

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

3.5 Analisis Kestabilan Routh - Share ITS
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Analisa Kestabilan Routh
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Pengantar
Konsep Stabil
Materi
Prosedur Kestbilan Routh
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
• Masalah terpenting dalam sistem pengendalian linier
berhubungan dengan kestabilan.
•Suatu sistem pengendalian dikatakan stabil jika dan
hanya jika semua kutub loop tertutup berada pada
sebelah kiri bidang s.
•Kriteria kestabilan Routh memungkinkan kita untuk
menentukan jumlah kutub loop tertutup yang berada
pada bidang sebelah kanan bidang s .
Asesmen
Pengantar
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Konsep Stabil
• Sistem pengendalian stabil  semua Pole loop tertutup berada
pada setengah sebelah kiri bidang s.
• CLTF sistem linier :
C ( s) b0 s m  b1s m1  ....  bm1s  bm B( s)


n
n

1
R( s) a0 s  a1s  ....  an1s  an
A( s)
ai , bi adalah konstanta , m < n
Pole loop tertutup diperoleh dengan memfaktorkan polinomial
A(s)
• Pers. karakteristik : a0 s n  a1s n1  ....  an1s  an  0
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Kestabilan Routh
• Memberi informasi apakah terdapat akar positip pada
persamaan polinomial s tanpa pemecahan atau
pemfaktoran.
• Informasi tentang kestabilan mutlak dapat diperoleh
secara langsung dari koefisien persamaan karakteristik
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Prosedur Kestabilan Routh
1. Tulis persamaan karakteristik sistem :
a 0 s n  a 1s n 1  ....  a n 1s  a n  0
Anggap bahwa
dihilangkan.
a n  0 sehingga terdapat akar nol yang
2. Pastikan bahwa semua koefisien harus positip.
Jika terdapat koefisien nol atau negatif terdapat akar atau
akar imajiner yang mempunyai bagian real positip. Dalam
hal ini, sistem tidak stabil.
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Prosedur Kestabilan Routh
3. Jika semua koefisien positip, susun koefisien polinomial dalam
baris dan kolom sesuai pola berikut ini :
sn
a0
a2
a4
a6
...
sn-1
a1
a3
a5
a7
...
sn-2
b1
b2
b3
b4
...
sn-3
c1
c2
c3
c4
...
sn-4
d1
d2
d3
d4
...
...
...
...
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
...
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Prosedur Kestabilan Routh
• Koefisien b1, b2, b3, ...., dan seterusnya dihitung sebagai berikut :
a 1a 2  a 0 a 3
b1 
a1
a 1a 4  a 0 a 5
b2 
a1
a 1a 6  a 0 a 7
b3 
a1
dan seterusnya sampai semua sisa nol
• Pola yang sama digunakan untuk perhitungan c’s, d’s, e’s dan
seterusnya.
b1a 3  a 1 b 2
c1 
b1
dst…
b1a 5  a 1 b 3
c2 
b1
b1 a 7  a 1 b 4
c3 
b1
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Prosedur Kestabilan Routh
c1 b 2  b 1 c 2
d1 
c1
c1 b 3  b 1 c 3
d2 
c1
dst…
• Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap.
• Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga
(triangular)
4. Jumlah akar persamaan karakteristik dengan bagian real
positip sama dengan jumlah perubahan tanda dari koefisien
kolom pertama.
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Harus diperhatikan bahwa nilai yang tepat pada kolom
pertama tidak dipentingkan, hanya perubahan tanda yang
harus diperhatikan. Syarat perlu dan syarat cukup agar
sistem stabil, adalah semua koefisien pada kolom pertama
mempunyai tanda positif.
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Soal 1
Gunakan kriteria kestabilan Routh untuk polinomial orde
tiga berikut,
a0 s 3  a1 s 2  a2 s  a3  0
agar semua koefisien positif.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Penyelesaian
Susunan koefisien adalah sebagai berikut,
s3
s2
s1
s0
a0 a1 +
a1 a 2  a0 a3
a1
a3
a2
a3
a3
Syarat agar semua koefisien pada kolom pertama menjadi positif
haruslah a1a 2  a0 a3 , dan sistem akan stabil.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Soal 2
Perhatikan persamaan polinomial berikut,
s  2s  3s  4s  5  0
4
3
2
Periksa dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh.
Penyelesaian
Keadaan Khusus.
(1). Apabila suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol,
tetapi suku lainya tidak nol atau tidak terdapat suku lain maka
suku nol ini diganti dengan bilangan positif  yang sangat kecil
agar array dapat dihitung.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Soal 3
Perhatikan fungsi alih berikut,
R(s)
+

-
K
ss 2  s  1s  2
C(s)
Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, cari harga K
agar sistem stabil.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Penyelesaian
CLTF :
Cs
K
 2
R s ss  s  1s  2  K
Persamaan karakteristik :
Susunan koefisiennya :
s4
1
s3
3
2
s2
7/3
K
s
9
2 K
7
s0
K
3
K
0
s 4  3s 3  3s 2  2s  K  0
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Penyelesaian
14
 K0
Sistem stabil :
9
Apabila K =14 9 , maka sistem menjadi berisolasi dan secara
matematis osilasi tersebut pada amplitudo tetap.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
1. Kriteria kestabilan Routh memberi informasi tentang
kestabilan mutlak suatu sistem pengendalian berdasarkan
koefisien persamaan karakteristik
2. Penerapan kriteria kestabilan Routh memungkinkan kita
menentukan pengaruh perubahan satu atau dua parameter
sistem dengan menentukan nilai yang menyebabkan
sistem tidak stabil
Asesmen
Ringkasan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Periksa kondisi kestabilan persamaan polinomial berikut,
s 4  10s 3  35s 2  50s  24  0
s 4  4s 3  7s 2  22s  24  0
Periksa
2 kondisi kestabilan persamaan polinomial berikut,
s  5s  20s  24  0
4
Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh.
Assessment
Asesmen
Latihan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Asesmen
Pengantar
Fly UP