...

Page 1 of 2 Prinsip ke-Ekstriman (Poin Total: 10) 1 1 × I II A B

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

Page 1 of 2 Prinsip ke-Ekstriman (Poin Total: 10) 1 1 × I II A B
Q T-2
Page 1 of 2
Prinsip ke-Ekstriman
A
A1
A2
Prinsip ke-Ekstrim-an dalam Mekanika
(Poin Total: 10)

Tinjaulah sebuah bidang datar
yang licin seperti ditunjukkan
dalam Gambar 1. Bidang tersebut dibagi menjadi dua bagian, I and II,
oleh garis AB yang memenuhi persamaan
. Energi potensial dari
partikel titik yang bermassa
dalam daerah I adalah
sedangkan
dalam daerah II adalah
. Partikel dikirim dari titik asal O dengan
laju
sepanjang garis dengan sudut
terhadap sumbu-x. Partikel
tersebut mencapai titik P dalam daerah II yang bergerak dengan
kelajuan
sepanjang garis dengan sudut
terhadap sumbu-x.
Abaikan efek gravitasi dan efek relativistik untuk seluruh soal T2.
Tentukan
dan nyatakan dalam , and .
Nyatakan
dalam , and .
I

II
A
×




1
B
1

Gambar 1
0.2
0.3
Kuantitas
didefinisikan sebagai aksi, dimana
adalah panjang infinitesimal di sepanjang
∫
lintasan partikel yang bermassa
dan bergerak dengan kelajuan
. Nilai integral dihitung sepanjang
lintasan. Contoh, sebuah partikel yang bergerak dengan kelajuan konstan disepanjang lintasan lingkaran
dengan jari-jari , aksi untuk satu putaran adalah
. Untuk partikel dengan energi yang konstan,
dapat ditunjukkan bahwa diantara semua lintasan yang mungkin antara dua titik, lintasan sebenarnya adalah
yang membuat bernilai ekstrim (minimum atau maksimum). Prinsip ini dinamakan Principle of Least
Action (PLA).
A3
B
B1
PLA berakibat bahwa lintasan sebuah partikel yang bergerak diantara dua titik dalam daerah yang
potensialnya konstan adalah garis lurus. Misalkan dua titik
dan
dalam Gambar 1 masing-masing
mempunyai koordinat
and
dan titik batas dimana partikel berpindah dari daerah I ke daerah II
mempunyai koordinat
Perhatikan
diambil tetap dan aksi tergantung hanya pada koordinat α.
Tentukanlah aksi
. Gunakan kaidah PLA untuk memperoleh hubungan antara
dengan koordinatkoordinat tersebut.
Prinsip ke-Ekstrim-an dalam Optik
1.0

II
 
Sinar cahaya bergerak dari medium I ke medium II dengan indeks bias


masing-masing adalah
and . Kedua media tersebut dipisahkan oleh
sebuah garis yang paralel dengan sumbu-x. Sinar tersebut membuat
1
1
I
sudut terhadap sumbu-y dalam medium I and dalam medium II (lihat
Gambar 2). Untuk memperoleh lintasan sinar, kita menggunakan prinsip


ke-ekstrem-an (minimum atau maksimum) lain yang dinamakan prinsip
Gambar 2
waktu terpendek Fermat.
Prinsip tersebut mengatakan bahwa cahaya yang bergerak diantara dua titik mempunyai waktu terpendek.
0.5
Turunkan hubungan antara
dan
berdasarkan prinsip Fermat.
Gambar 3 menunjukkan sketsa lintasan laser yang datang secara
horisontal ke dalam larutan gula dimana konsentrasi larutan gula
berkurang terhadap ketinggian. Akibatnya, indeks bias dari larutan juga
berkurang terhadap ketinggian.




Gambar 3: Tangki berisi Larutan
Gula
B2
B3
Asumsikan indeks bias
hanya bergantung pada . Dengan menggunakan persamaan dalam B1, tentukan
dalam larutan gula dari lintasan cahaya, nyatakan dalam indeks bias pada y = 0, , dan
.
Sinar laser ditembakkan secara horisontal dari titik asal
ke dalam larutan gula di ketinggian
dari
dasar tangki seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3. Ambil
dimana
dan adalah
konstanta positif. Tentukan dinyatakan dalam dan kuantitas lainnya yang berhubungan dengan lintasan
real sinar laser.
1.5
1.2
Q T-2
Page 2 of 2
Gunakan: ∫
∫
B4
C
C1
C2
Carilah nilai
1⁄
, dimana
√
1
(
√
atau
1)
1
, yaitu titik dimana sinar menyentuh dasar tangki. Ambil
(1 cm = 10-2 m).
Dari soal Bagian A, dimana partikel bergerak dari ke (lihat
Gambar 4). Tinjau sebuah sekat tak tembus partikel diletakkan di
batas AB antara dua daerah. Terdapat pembukaan kecil CD
selebar
dalam AB sedemikian rupa sehingga
dan
.

I

Interferensi Gelombang dari Materi
D2
D3
D4
Jika elektron di
tersebut.
0.6
 
D
C
0.8
II
A


1.2
CD d
B


Gambar 4
I

Tinjau sebuah sumber elektron di yang diarahkan pada sebuah
celah di
dalam sekat tak tembus partikel A B di
sedemikian rupa sehingga
adalah garis lurus. adalah titik
pada layar di
(lihat Gambar 5). Kelajuan dalam I adalah
×1
dan
1
. Potensial dalam II
adalah sedemikian rupa sehingga kelajuan
1
×
1
. Jarak
adalah
(1
1
).
Abaikan interaksi antar elektron.
D1
,
Prinsip ke-Ekstrim-an dan Sifat Gelombang dari Materi
Sekarang, kita tinjau hubungan antara PLA dan sifat gelombang dari sebuah partikel yang sedang bergerak.
Untuk hal tersebut, kita anggap suatu partikel yang bergerak dari ke dapat mengambil semua lintasan
yang mungkin dan kita cari lintasan yang bergantung pada interferensi yang saling menguatkan dari
gelombang de Broglie.
Seiring dengan partikel bergerak sepanjang lintasan dengan jarak infinitesimal
, tentukan hubungan
antara perubahan fase
dari gelombang de Broglie dengan perubahan aksi
dan konstanta Planck.
Tinjaulah dua lintasan ekstrim C dan D sedemikian rupa
sehingga C merupakan lintasan klasik yang dibahas dalam
Bagian A. Tentukanlah beda fase
antara kedua lintasan
tersebut hingga orde pertama.
D
1
cm,
telah dipercepat dari keadaan diam, hitunglah potensial
A
II
215.00 nm
1
B



250 mm
Gambar 5
yang menyebabkan percepatan
Celah lain yang identik dibuat dalam partisi A B berjarak 1
(1
1
) dibawah celah
(Gambar 5). Jika beda fase antara gelombang de Broglie yang datang di P melalui celah F dan G adalah
2πβ, hitunglah β.
Berapakah jarak terkecil
dari P dimana elektron diharapkan tidak terdeteksi pada layar? [Note: kamu
dapat menggunakan pendekatan
]
Berkas elektron mempunyai penampang lintang persegi
×
dan di setup sepanjang 2 m.
Tentukan nilai densitas fluks minimum Imin (jumlah elektron per satuan penampang normal per satuan
waktu), jika rata-rata terdapat satu elektron dalam setup di atas.
0.3
0.8
1.2
0.4
Fly UP