...

International Mathematical Olympiad

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

International Mathematical Olympiad
Language: Indonesian
Day: 1
49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008
Rabu, 16 Juli 2008
Soal 1. Misalkan H adalah titik potong garis-garis tinggi (orthocentre) dari segitiga lancip ABC.
Lingkaran yang melalui H dan berpusat pada titik tengah BC memotong garis BC di A1 dan A2 .
Secara serupa, lingkaran yang melalui H dan berpusat pada titik tengah CA memotong garis CA di
B1 dan B2 , dan lingkaran yang melalui H dan berpusat pada titik tengah AB memotong garis AB
di C1 dan C2 . Buktikan bahwa A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 terletak pada suatu lingkaran.
Soal 2.
(a) Buktikan bahwa
x2
y2
z2
+
+
≥1
(x − 1)2
(y − 1)2
(z − 1)2
untuk semua bilangan real x, y, z, yang masing-masing tidak sama dengan 1, dan memenuhi xyz = 1.
(b) Buktikan bahwa kesamaan di atas berlaku untuk tak hingga banyak tripel bilangan rasional
x, y, z, yang masing-masing tidak sama dengan 1, dan memenuhi xyz = 1.
Soal 3. Buktikan bahwa ada tak hingga banyak √
bilangan bulat positif n sehingga n2 +1 mempunyai
suatu pembagi prima yang lebih besar dari 2n + 2n.
Language: Indonesian
Waktu: 4 jam dan 30 menit
Masing-masing soal bernilai 7 angka
Language: Indonesian
Day: 2
49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008
Kamis, 17 Juli 2008
Soal 4. Cari semua fungsi f : (0, ∞) → (0, ∞) (yaitu, f adalah suatu fungsi dari himpunan
bilangan real positif ke himpunan bilangan real positif) sehingga
f (w)
2
+ f (x)
f (y 2 ) + f (z 2 )
2
=
w 2 + x2
y2 + z2
untuk semua bilangan real positif w, x, y, z, dengan wx = yz.
Soal 5. Misalkan n dan k bilangan bulat positif dengan k ≥ n dan k − n suatu bilangan genap.
Misalkan 2n lampu dilabeli 1, 2, . . . , 2n, masing-masing bisa hidup or mati. Mula-mula semua lampu
mati. Diberikan barisan langkah: pada masing-masing langkah salah satu lampu diubah (dari hidup
ke mati atau dari mati ke hidup).
Misalkan N adalah cacah dari barisan yang terdiri dari k langkah dan menghasilkan keadaaan
dimana lampu-lampu 1 sampai n semuanya hidup, dan lampu-lampu n + 1 sampai 2n semuanya
mati.
Misalkan M adalah cacah dari barisan yang terdiri dari k langkah, menghasilkan keadaaan dimana
lampu-lampu 1 sampai n semuanya hidup, dan lampu-lampu n + 1 samapi 2n semuanya mati, tetapi
tidak ada lampu n + 1 sampai 2n yang pernah dihidupkan.
Tentukan ratio N/M .
Soal 6. Misalkan ABCD adalah segiempat konveks dengan |BA| =
6 |BC|. Lingkaran dalam
segitiga-segitiga ABC dan ADC berturut-turut adalah ω1 dan ω2 . Misalkan terdapat suatu lingkaran
ω menyinggung sinar BA ke arah A dan menyinggung sinar BC ke arah C, juga menyinggung garisgaris AD dan CD. Buktikan bahwa garis-garis singgung luar sekutu dari ω1 dan ω2 berpotongan
pada ω.
Language: Indonesian
Waktu: 4 jam dan 30 menit
Masing-masing soal bernilai 7 angka
Fly UP