...

ANALISIS DINAMIK MODEL TIGA SPESIES MUTUALISME DAN

by user

on
Category: Documents
3

views

Report

Comments

Transcript

ANALISIS DINAMIK MODEL TIGA SPESIES MUTUALISME DAN
ANALISIS DINAMIK MODEL TIGA SPESIES
MUTUALISME DAN AMENSALISME
Anggun Indra Ayu
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
email korespondensi: [email protected]
Abstrak. Artikel ini membahas analisis dinamik model simbiosis tiga spesies yang menggambarkan interaksi antara dua
spesies mutualisme dan satu spesies amensal. Amensal merupakan spesies yang pertumbuhannya terhambat karena
keberadaan spesies lain. Pada model simbiosis tiga spesies terdapat delapan titik kesetimbangan, yaitu satu titik
kesetimbangan trivial, enam titik kesetimbangan batas, dan satu titik kesetimbangan interior. Analisis kestabilan titik
kesetimbangan tersebut ditentukan dengan melakukan linearisasi sistem di sekitar titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan
trivial bersifat tidak stabil, titik kesetimbangan batas bersifat tidak stabil atau bersifat stabil dengan syarat tertentu, dan titik
kesetimbangan interior bersifat stabil. Kestabilan titik kesetimbangan interior dan satu titik kesetimbangan batas diperoleh
dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Kata kunci : analisis dinamik, mutualisme, amensal, titik kesetimbangan, kriteria Routh-Hurwitz.
1.
PENDAHULUAN
Simbiosis merupakan pola interaksi yang sangat erat dan khusus antara dua makhluk hidup yang
berlainan jenis. Simbiosis mutualisme merupakan interaksi antar individu di mana kedua individu
diuntungkan. Simbiosis amensalisme merupakan interaksi antar individu di mana salah satu individu
dirugikan, sedangkan individu yang lain tidak dirugikan dan tidak diuntungkan.
Berbeda dengan Reddy, dkk. (2011) yang telah melakukan analisis kestabilan model ekologi
untuk dua spesies mutualisme, pada artikel Rao dan Narayan (2012) ditambahkan spesies ketiga yang
berinteraksi amensalisme dengan dua spesies mutualisme, sehingga spesies ketiga bertindak sebagai
amensal. Penambahan spesies ketiga tidak mempengaruhi laju pertumbuhan dua spesies mutualisme.
Secara garis besar artikel ini mengulas kembali artikel Rao dan Narayan (2012).
2.
METODE PENELITIAN
Langkah awal penelitian artikel ini adalah memformulasikan model. Langkah selanjutnya lebih
ditekankan pada analisis dinamik, yaitu penentuan titik kesetimbangan, uji eksistensi titik
kesetimbangan, dan penentuan jenis kestabilan titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan diperoleh
ketika laju pertumbuhan ketiga spesies bernilai nol. Jenis kestabilan titik kesetimbangan diperoleh
dengan melakukan linearisasi di sekitar titik kesetimbangan. Pada tahap akhir dilakukan beberapa
simulasi numerik untuk mengilustrasikan hasil analisis dinamik model yang telah diperoleh.
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Asumsi dasar yang digunakan pada pembahasan artikel ini antara lain semua parameter pada
model bernilai positif dan konstan, tidak dipengaruhi migrasi, laju pertumbuhan ketiga spesies dibatasi
oleh carrying capacity.
3.1 Model Matematika
Model tiga spesies simbiosis yang terdiri dari dua spesies mutualisme dan satu spesies
amensal dinyatakan sebagai
(1)
dengan ,
dan adalah populasi spesies pertama, populasi spesies kedua dan populasi spesies
ketiga, dan
tingkat pertumbuhan intrinsik populasi ke-i,
,
tingkat pengurangan spesies ke-i karena keterbatasan sumber daya lingkungan
,
tingkat penambahan spesies pertama karena berinteraksi dengan spesies kedua,
tingkat penambahan spesies kedua karena berinteraksi dengan spesies pertama,
tingkat pengurangan spesies ketiga karena berinteraksi dengan spesies ke-i,
.
3.2 Titik Kesetimbangan Model
Titik kesetimbangan sistem (1) diperoleh ketika
(2)
Berdasarkan persamaan (2), terdapat delapan titik kesetimbangan yaitu
1. Titik kesetimbangan
2. Titik kesetimbangan
, menunjukkan bahwa ketiga populasi punah.
), menunjukkan bahwa hanya amensal yang bertahan hidup,
(
sedangkan populasi yang lain punah.
3. Titik kesetimbangan
(
), menunjukkan bahwa spesies pertama dan spesies amensal
punah, sedangkan spesies kedua dapat bertahan hidup.
4. Titik kesetimbangan (
), menunjukkan bahwa spesies kedua dan spesies amensal punah,
sedangkan spesies pertama dapat bertahan hidup.
5. Titik kesetimbangan
(
̅), menunjukkan bahwa spesies kedua dan amensal bertahan
hidup, sedangkan spesies pertama punah. Titik
6. Titik kesetimbangan
(
ada jika
.
̅), menunjukkan bahwa spesies pertama dan amensal bertahan
hidup, sedangkan spesies kedua punah. Titik
ada jika
.
7. Titik kesetimbangan
̅ ̅ , menunjukkan bahwa spesies pertama dan kedua bertahan hidup,
sedangkan spesies amensal punah. Titik
ada jika
.
8. Titik kesetimbangan
̅ ̅ ̅ , menunjukkan bahwa ketiga spesies hidup berdampingan. Titik
ada jika
dan
.
3.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Kestabilan titik kesetimbangan diperoleh dengan linearisasi sistem (1), sehingga diperoleh
matriks Jacobi.
[
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅
̅
]
(3)
(Boyce dan DiPrima, 2008).
|
Nilai eigen dari persamaan (3) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan |
. Titik
kesetimbangan dikatakan stabil jika bagian riil dari ketiga ketiga nilai eigen bernilai negatif.
Kestabilan lokal titik , , , , , dan
adalah tidak stabil, sedangkan titik
dan
bersifat
stabil dengan syarat-syarat tertentu.
3.3.1
Titik kesetimbangan
Jika titik kesetimbangan
disubstitusi ke persamaan (3) maka diperoleh
̅
̅
̅
̅
[
]
̅
̅
65
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan |
Nilai eigen
[
̅
̅
̅ ̅]
|
̅
, yaitu
̅
(4)
Berdasarkan persamaan karakteristik (4), salah satu nilai eigen dari matrik adalah
̅
̅
dan dua nilai eigen lainnya didapat dengan mencari akar-akar dari persamaan sebagai
berikut.
̅
̅
̅̅
(5)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar persamaan (5) memiliki bagian riil negatif jika
dan hanya jika
̅̅
̅
dan
̅
(6)
Karena semua parameter bernilai positif, maka persamaan (6) terpenuhi sehingga persamaan (5)
memiliki akar-akar dengan bagian riil negatif. Oleh karena itu, kestabilan titik kesetimbangan
akan
stabil asimtotik jika
atau
̅
̅.
3.3.2
Titik kesetimbangan
Jika titik kesetimbangan
disubstitusi ke persamaan (3) maka diperoleh
̅
̅
[
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
]
̅
̅
̅
]
̅
̅
Nilai eigen
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan |
didapat persamaan karakteristik sebagai berikut.
[
̅
|
, sehingga
(7)
dengan:
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅̅
̅̅ ̅
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar persamaan (7) memiliki bagian riil negatif jika
dan hanya jika
i.
ii.
̅̅ ̅
iii.
̅ ̅
̅
̅
̅
̅ ̅
Jadi, titik kesetimbangan
̅
̅
̅̅
bersifat stabil.
3.4 Simulasi Numerik
Untuk memperjelas hasil analisis pada Subbab 3.3, maka dilakukan simulasi numerik dengan
menggunakan nilai parameter yang diberikan di Tabel 1. Hasil simulasi ditunjukkan oleh Gambar 1
dan Gambar 2.
Tabel 1. Nilai parameter yang digunakan untuk simulasi.
Parameter
Simulasi Gambar
I
1
3
6
9
0.2
0.6
0.8
0.4
0.06
0.08
0.05
II
2
6
7
5
1.3
1.6
2.4
0.4
0.7
0.4
0.7
66
12
10
2.5
Nilai awal 1
(2,30,11)
2
Nilai awal 4
(8, 1, 2)
Nilai awal 1
(2, 8, 1.5)
E8 (43.75,14.37,5.97)
E5
6
1.5
z(t)
z(t)
8
E2
1
E6
4
Nilai awal 4
(50,3,2)
2
0.5
E2
E6
E7
0
30
E5
0
8
Nilai awal 2
(0.1,20,0.1)
20
E3
10
E7 (6.88, 7.38, 0)
Nilai awal 4
(0.1, 8, 0.2)
Nilai awal 3
(5,0.1,0.1)
y(t)
E1
0
50
40
E4
30
E3
6
20
2
10
0
x(t)
Gambar 1. Potret fase model simulasi I
y(t)
6
4
E1
0
8
E4
Nilai awal 3
(2, 0.1, 0.1)
4
2
0
x(t)
Gambar 2. Potret fase model simulasi II
Gambar 1 menunjukkan bahwa semua titik kesetimbangan ada. Namun, potret fase model
dengan berbagai nilai awal hanya menuju ke titik kesetimbangan
. Hal ini
berarti bahwa kedua spesies mutualisme dan amensal akan hidup berdampingan dalam waktu
berhingga. Sementara itu, potret fase model dengan berbagai nilai awal pada Gambar 2 hanya menuju
ke titik kesetimbangan
. Hal ini berarti bahwa kedua spesies mutualisme akan
bertahan hidup, sedangkan amensal akan punah dalam waktu berhingga.
4.
KESIMPULAN
4.
Berdasarkan pembahasan dalam artikel ini diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Model simbiosis tiga spesies dengan dua spesies mutualisme dan spesies ketiga amensal
merupakan sistem autonomous nonlinear.
Pada model tiga spesies terdapat delapan titik kesetimbangan, yaitu satu titik kesetimbangan
trivial
, enam titik kesetimbangan batas (
sampai dengan
) yang masing-masing
menggambarkan kepunahan pada salah satu spesies, dan satu titik kesetimbangan interior
yang menunjukkan ketiga spesies hidup secara berdampingan.
Semua titik kesetimbangan tidak stabil, kecuali
dan
bersifat stabil asimtotik jika memenuhi
syarat kestabilan dari masing-masing titik kesetimbangan.
Hasil simulasi numerik yang diperoleh sesuai dengan perhitungan secara analitik.
5.
UCAPAN TERIMA KASIH
1.
2.
3.
Penulis berterima kasih kepada Isnani Darti, Trisilowati, dan M. Muslikh atas segala
bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini. Penulis juga
berterima kasih kepada Agus Djiwandono dan Pahriah atas doa dan motivasi yang telah diberikan.
DAFTAR PUSTAKA
Boyce, W.E. dan DiPrima, R.C., (2008), Elementary Differential Equations and Boundary Value
Problems, Ninth Edition, John Willey & Sons, Inc. New York, hal. 511.
Rao, K.K. dan Narayan, K.L., (2012), Stability Analisys of A Three Species Syn-eco Dynamical
System With Limited Alternative Food for All The Three Species, Bulletin of society for
mathematical services & standards, I(1), hal. 38-48.
Reddy, B.R., Kumar, N.P. dan Pattabhiramacharyulu, N.Ch., (2011), A Model of Two Mutually
interacting Species with Limited Resources of First Species and Unlimited for Second Species,
ARPN Journal of Enginnering and A pplied Sciences, 6(1), hal. 61-66.
67
Fly UP