...

MENENTUKAN KELILING, LUAS, dan π LINGKARAN1 MELALUI

by user

on
Category: Documents
2

views

Report

Comments

Transcript

MENENTUKAN KELILING, LUAS, dan π LINGKARAN1 MELALUI
MENENTUKAN KELILING, LUAS, dan π LINGKARAN
MELALUI APROKSIMASI DUA POLIGON BERATURAN
1
Oleh :
2
Muhammad Win Afgani
E-mail : [email protected]
ABSTRAK
Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, yang dalam pencarian
keliling dan luasnya melibatkan satu elemen yang khas yaitu π (dibaca : pi). Selama ini, Para
siswa SMP kelas VIII yang pada semester 2 mempelajari tentang Lingkaran hanya
22
22
mengetahui nilai π sama dengan /7, tetapi menurut Archimedes, nilainya kecil dari /7. Ini
menunjukkan bahwa mereka tidak memahami konsep lingkaran. Jika nilai π merupakan
ketetapan dengan nilai yang tidak nyata, maka luas dan keliling lingkaran dapat dicari melalui
suatu aproksimasi poligon beraturan segi-n didalam dan diluar lingkaran. Dalam prakteknya
dapat menggunakan media berupa benda-benda yang mempunyai diameter berbeda-beda.
Kemudian, Siswa menganalisa nilai perbandingan antara keliling lingkaran dengan
diameternya. Atau, Media karton yang digambar lingkaran dan digunting menjadi delapan
bagian yang sama. Kemudian, disusun membentuk bangun jajaran genjang, yang mana
22
luasnya dianalogikan sama dengan luas lingkaran. Bilangan yang dikenal siswa dengan /7
atau 3,14 hanyalah pendekatan untuk bilangan π. Dengan konstanta ini, keliling lingkaran,
luas lingkaran, volume tabung, volume kerucut atau volume bola dapat dihitung hanya
dengan mengetahui jari-jari atau diameternya.
Key words : Lingkaran, Archimedes, dan Aproksimasi Poligon.
1
Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Pendidikan 2007 Universitas Sriwijaya tanggal 04 September 2007
2
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pascasarjana Universitas Sriwijaya Angkatan 2006.
1
PENDAHULUAN
bawah pada daerah lingkaran yang berjarijari R, dibuat suatu poligon beraturan segin didalam lingkaran dan suatu poligon
beraturan segi-n diluar lingkaran.
Karena
Lingkaran
merupakan
pokok bahasan yang diberikan pada siswa
SMP kelas VIII semester 2, maka
pendekatan Archimedes dalam mencari
luas lingkaran dengan menggunakan
poligon
beraturan
segi-n
dapat
diujicobakan kepada siswa SMP kelas VIII,
karena Archimedes hanya menggunakan
konsep segitiga, kesebangunan, dan
Teorema Pythagoras. Archimedes tidak
menggunakan trigonometri dalam mencari
keliling, luas, dan π suatu lingkaran.
Permasalahan pada makalah ini
adalah bagaimana menentukan keliling,
luas, dan π suatu lingkaran dengan
aproksimasi poligon beraturan segi-n
didalam dan diluar lingkaran.
Makalah ini bertujuan agar siswa
dapat memahami lingkaran dengan benar
dan dapat mengkaitkan konsep-konsep
segitiga pada lingkaran.
Sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak
tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu
titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran
adalah contoh dari kurva tertutup
sederhana, membagi bidang menjadi
bagian dalam dan bagian luar. Seperti
pada bidang datar lainnya, pada lingkaran
dapat juga dihitung berapa keliling dan
luasnya. Hanya saja, dalam pencarian
keliling dan luasnya melibatkan satu
elemen yang khas selain jari-jari. Elemen
itu adalah π (dibaca : pi). Bagaimana
mencari keliling dan luas lingkaran, jika π
tidak dikatahui ?. Jika hal ini ditanyakan
kepada para siswa SMP kelas VIII yang
pada semester 2 mempelajari tentang
Lingkaran, maka hampir semuanya tidak
dapat menjawab pertanyaan tersebut. Ini
menunjukkan
bahwa
mereka
tidak
memahami konsep lingkaran, yaitu bahwa
pada lingkaran, elemen π nilainya tidak
22
sama
dengan
/7 tetapi
menurut
22
Archimedes, nilainya kecil dari /7. Karena,
π yang mereka ketahui nilainya sebesar
22
/7 yang bila dinyatakan dalam bilangan
desimal sebesar 3,14....Artinya, jika
diketahui nilai jari-jari suatu lingkaran
adalah 7 satuan panjang, maka luasnya
adalah 154 satuan luas. Yang menurut
pemahaman mereka, luasnya benar-benar
154 satuan luas, tidak lebih ataupun
kurang. Padahal, luasnya tidak benarbenar 154 satuan luas, tetapi kurang dari
154 satuan luas.
Jika nilai π merupakan ketetapan
dengan nilai yang tidak nyata (irrasional),
maka nilai luas dan keliling lingkaran dapat
dicari melalui suatu aproksimasi. Jika kita
melihat
kembali
pada
sejarahnya,
pendekatan
Archimedes
pada
permasalahan ini adalah dengan membuat
batas atas dan bawah pada daerah
lingkaran dalam hubungannya keliling dan
jari-jari. Dan kemudian ditunjukkan bahwa
kedua batas tersebut dapat bertemu
menutup satu sama lain, sehingga
menyisakan satu kemungkinan untuk luas
lingkaran. Untuk membuat suatu batas
PEMBAHASAN
Menurut Ausubel, agar belajar
menjadi bermakna, maka materi baru
haruslah bertalian dan sebagai bagian dari
konsep-konsep yang telah ada dalam
struktur kognisi. Proses menghubungkan
informasi baru dengan elemen-elemen
dalam struktur kognisi disebut subsumption
atau menyatukan menjadi bagian dari
struktur itu. Ausubel juga menekankan
pentingnya konsep dan prinsip umum
untuk belajar dan mengingat. Pada
makalah ini materi baru itu adalah
lingkaran dan materi lama yang akan
dikaitkan adalah segitiga. Segitiga-segitiga
itu disusun membentuk suatu poligon
beraturan segi-n. Poligon ini adalah
sederetan garis lurus (polyline) yang
sambung menyambung secara siklik
sehingga melingkupi suatu area. Garisgaris tersebut kita sebut garis tepi (edge)
yang sama panjang, dan titik pertemuan
2
setiap pasang sisi kita sebut verteks yang
semua sudutnya sama besar.
Archimedes menyatakan bahwa
nilai keliling dari poligon beraturan segi-n
didalam lingkaran akan memberikan nilai
aproksimasi pada keliling lingkaran (K).
Melalui definisi, untuk sebarang lingkaran
K = 2 π r. Pembentukan poligon ini dapat
diuraikan menjadi n-bagian segitiga yang
sama bertemu di pusat lingkaran. Misalnya
untuk n = 6 seperti yang diilustrasikan
dibawah ini.
r.K
tidak dapat kurang dari dan lebih dari / 2,
r.K
maka luasnya haruslah / 2. argumentasi
inilah yang disampaikan oleh Archimedes.
Tentu saja, ketika K = 2 π r, hasil
Archimedes adalah equivalent dengan
rumus modern sekarang yaitu luas
2
lingkaran = π r . hal ini menetapkan fakta
bahwa bilangan π didefinisikan sebagai
perbandingan keliling lingkaran dengan
diameternya, atau juga perbandingan luas
lingkaran dengan luas persegi yang sisisisinya sama dengan jari-jari lingkaran.
Sisi luar dari segitiga-segitiga ini
mengaproksimasikan keliling lingkaran.
Ketika, suatu garis lurus adalah garis
terpendek yang menghubungkan dua titik
yang diberikan, maka jumlah n segmen
garis dari poligon tersebut adalah (sedikit)
kurang dari keliling lingkaran. Tinggi dari
setiap segitiga (sisi luar sebagai alas)
adalah sedikit kurang dari jari-jari
lingkaran.
Sehingga,
dengan
menambahkan n, jumlah dari sisi luar
poligon, maka dengan sendirinya akan
mendekati pada keliling lingkaran, dan
tinggi dari segitiga-segitiga itu dengan
sendirinya akan mendekati pada jari-jari r.
Juga, ketika luas dari setiap segitiga
adalah setengah tinggi kali alas, maka
jumlah dari luas segitiga-segitiga tersebut
adalah setengah tingginya dikali jumlah
alasnya. Jadi, dapat dimungkinkan untuk
membuat suatu n-segi yang luasnya
r.K
mendekati pada / 2 . hal ini menunjukkan
bahwa luas lingkaran tidak dapat kurang
r.K
dari / 2.
Sama
juga
halnya,
dengan
membatasi lingkaran dengan poligon
beraturan segi-n diluar lingkaran, seperti
ditunjukan dibawah ini untuk n = 6.
Pada gambar diatas dapat dilihat
bahwa luas poligon tidak dapat lebih besar
r.K
dari / 2. untuk itu, ketika luas lingkaran
Berikut ini diberikan Metode
Archimedes untuk menentukan keliling,
luas, dan π suatu lingkaran dengan
aproksimasi polygon beraturan segi- 6, 12,
24, 48, dan 96 didalam dan diluar lingkaran
POLIGON
BERATURAN
DIDALAM LINGKARAN
SEGI-N
• Poligon beraturan segi-6
AOB adalah segitiga samasisi
Misal AB salah satu sisi ke-n dari poligon
beraturan segi-6 didalam lingkaran dengan
pusat O dan jari-jarinya (r) = 1 satuan
panjang.
3
Kelilingnya =
panjang
OCD merupakan garis bagi sudut AOB.
Maka ∆ AOC dan ∆ BOC kongruen. Jadi
sudut C siku-siku, dan AC = CB.
Misal AB = s1
Maka
h1 =
n s 2 = 6,211657082 satuan

1
z 2 s 2  = 3 satuan luas

2
Luasnya = n 
1
s1 = 0,5
2
Menggunakan
π ≈ 3,105828541
z 1 = r 2 − h 2 = 0,866025404
pendekatan
keliling,
Menggunakan pendekatan luas, π ≈ 3
Artinya,Keliling lingkaran > 6,211657082
satuan panjang. Luas lingkaran > 3 satuan
luas. Maka, π > 3,105828541
CE = 1- z1
Kelilingny
a = n s1 = 6 satuanpanjang

1
Luasnya = n  z1 s 1  = 2,598076211 satuan luas
• Poligon beraturan segi-24

2
Menggunakan
π≈
pendekatan
keliling,
Kelilingny
a
=3
2r
Menggunakan
pendekatan
luas,
Luasnya
π≈
= 2,598076211
r2
Artinya,
Keliling lingkaran > 6 satuan panjang
Luas lingkaran > 2,598076211 satuan luas
Maka, π > 3
s 3 = h 2 + (1 − z 2 ) 2 = 0,261052384
1
h 3 = s 3 = 0,130526192
2
2
• Poligon beraturan segi-12
OAE adalah segitiga samakaki
AE = s2
z 3 = r 2 − h 3 = 0,991444861
2
Kelilingnya = n s3 = 6,265257227 satuan
panjang
s 2 = h 1 + (1 − z 1 ) 2 = 0,51763809
1
h 2 = s 2 = 0,258819045
2
2
Luasnya

1
n  z 3 s 3  = 3,105828541

2
satuan luas
Menggunakan pendekatan keliling,
z 2 = r − h 2 = 0,965925826
2
=
2
4
π ≈ 3,132628613
Menggunakan pendekatan luas,
π ≈ 3,105828541
Artinya,
Keliling lingkaran > 6,265257227 satuan
panjang
Luas lingkaran > 3,105828541 satuan luas
Maka, π > 3,132628613
• Poligon beraturan segi-96
• Poligon beraturan segi-48
s 5 = h 4 + (1 − z 4 ) 2 = 0,065438166
1
h 5 = s 5 = 0,032719083
2
2
z 5 = r 2 − h 5 = 0,999464587
2
Kelilingnya = n s5 = 6,282063902 satuan
Panjang.
s 4 = h 3 + (1 − z 3 ) = 0,130806258
2
2

1
z 5 s 5  = 3,139350203

2
Luasnya = n 
1
h 4 = s 4 = 0,065403129
2
satuan luas.
Menggunakan pendekatan keliling,
π ≈ 3,141031951
Menggunakan pendekatan luas,
π ≈ 3,139350203
Artinya,
Keliling lingkaran > 6,282063902 satuan
panjang
Luas lingkaran > 3,139350203 satuan luas
Maka, π > 3,141031951
Dan seterusnya untuk perhitungan poligon
beraturan segi-2n didalam lingkaran.
z 4 = r − h 4 = 0,997858923
2
2
Kelilingnya = n s4 = 6,278700406 satuan
panjang

1
z 4 s 4  = 3,132628613

2
Luasnya = n 
satuan luas
Menggunakan pendekatan keliling,
π ≈ 3,139350203
Menggunakan pendekatan luas,
π ≈ 3,132628613
Artinya,
Keliling lingkaran > 6,278700406 satuan
panjang
Luas lingkaran > 3,132628613 satuan luas
Maka, π > 3,139350203
5
POLIGON BERATURAN SEGI-N DILUAR
LINGKARAN
• Poligon beraturan segi-12
Berdasarkan proposisi 3 dari Euclid’s
elements :
“If an angle of a triangle is bisected by a
straight line cutting the base, then the
segments of the base have the same ratio
as the remaining sides of the triangle; and,
if segments of the base have the same
ratio as the remaining sides of triangle,
then rhe straight line joining the vertex to
the point of section bisects the angle of the
triangle”
• Poligon beraturan segi-6
HOD adalah segitiga samasisi
u v1
=
r v2
v
u
+1 = 1 +1
r
v2
u r v1 v 2
+ =
+
r r v2 v2
u + r v1 + v 2
=
r
v2
u+r
v
=
r
v2
rv
v2 =
r+u
Maka
Misal HD salah satu sisi ke-n dari poligon
beraturan segi-6 diluar lingkaran dengan
pusat O dan jari-jarinya (r) = 1 satuan
panjang.
OA merupakan garis bagi sudut HOD.
Maka ∆ OAH dan ∆ OAD kongruen. Jadi
sudut A siku-siku, dan HA = AD.
Misal AD = v
Maka
u=
r 2 + v 2 = 1,154700538
v2 = 0,267949192
1
v = u = 0,577350269
2
u 1 = r 2 + v 2 = 1,03527618
2
Kelilingnya = n (2.v2) = 6,430780618
satuan panjang
Kelilingnya = n(2v) = 6,92820323 satuan
panjang

1
r ( 2.v 2 )  = 3,215390309

2
Luasnya= n 

1
Luasnya = n  r ( 2 v)  = 3,464101615

2
satuan luas
Dan, π ≈ 3,21539030 9
Artinya,
Keliling lingkaran < 6,430780618 satuan
panjang
Luas lingkaran < 3,215390309 satuan luas
Maka, π < 3,215390309
satuan luas
dan, π ≈
Kelilingny
a
= 3,464101615
2r
Artinya,
Keliling lingkaran < 6,92820323 satuan
panjang
Luas lingkaran < 3,464101615 satuan luas
Maka, π < 3,464101615
6
Artinya,
Keliling lingkaran < 6,29217243 satuan
panjang
Luas lingkaran < 3,146086215 satuan
luas
Maka, π < 3,146086215
• Poligon beraturan segi-24
• Poligon beraturan segi-96
v4 =
r v2
= 0,131652498
r + u1
u 2 = r 2 + v 4 = 1,008628961
2
Kelilingnya = n (2.v4) = 6,319319884
satuan panjang

1
r (2.v 4 )  = 3,159659942

2
Luasnya = n 
v8 =
satuan luas
Dan, π ≈ 3,15965994 2
Artinya,
Keliling lingkaran < 6,319319884 satuan
panjang
Luas lingkaran < 3,159659942 satuan luas
Maka, π < 3,159659942
u 4 = r 2 + v 8 = 1,000535699
2
Kelilingnya = n (2.v8) = 6,285429199
satuan panjang

1
r (2.v 8 )  = 3,14271460

2
Luasnya = n 
• Poligon beraturan segi-48
v6 =
r v6
= 0,03273661
r + u3
satuan luas
Dan, π ≈ 3,1427146
Artinya,
Keliling lingkaran < 6,285429199 satuan
panjang
Luas lingkaran < 3,14271460 satuan luas
Maka, π < 3,1427146
Dan seterusnya untuk perhitungan poligon
beraturan segi-2n diluar lingkaran.
Dari aproksimasi poligon beraturan
segi-96 didalam dan diluar lingkaran
didapatkan nilai keliling, luas, dan π
lingkaran dengan jari-jari 1 satuan panjang
adalah :
r v4
= 0,065543463
r + u2
u 3 = r 2 + v 6 = 1,002145671
2
Kelilingnya = n (2.v6) = 6,29217243 satuan
panjang
6,282063 < Keliling lingkaran < 6,285429
3,139350 < Luas Lingkaran < 3,142715
3,141031951 < π < 3,14271460

1
r (2.v 6 )  = 3,146086215

2
Luasnya = n 
Bilangan yang dikenal siswa
22
dengan /7 atau 3,14 hanyalah pendekatan
untuk bilangan. Bilangan ini adalah nilai
satuan luas
Dan, π ≈ 3,14608621 5
7
Penulis
menyadari
bahwa
aproksimasi yang dilakukan dalam mencari
keliling, luas, dan π suatu lingkaran akan
cukup menyulitkan bagi siswa SMP.
Tetapi, hal ini dapat dicobakan dengan
terlebih
dahulu
guru
menceritakan
sejarahnya,
bagaimana
Archimedes
melakukan
pendekatan
tersebut.
Kemudian, guru memberikan contoh
perhitungan awal dari aproksimasi polygon
tersebut dan untuk perhitungan selanjutnya
diserahkan
kepada
siswa
sampai
aproksimasi polygon beraturan segi-96.
Kegiatan ini dapat dilakukan dengan
membentuk paling sedikit dua kelompok.
Kelompok pertama melakukan aproksimasi
polygon
beraturan
segi-n
didalam
lingkaran, sedangkan kelompok kedua
untuk aproksimasi polygon beraturan segi-
perbandingan keliling lingkaran dengan
diameter lingkaran. Perbandingan tersebut
tetap untuk setiap lingkaran, berapapun
besarnya.
Metode yang dapat diterapkan
kepada siswa untuk mencari nilai π adalah
dengan menggunakan media berupa
gelas, uang logam, atau benda-benda
yang mempunyai diameter berbeda-beda,
tali, gunting, dan selotip. Caranya adalah
menahan ujung tali yang ditempelkan pada
gelas dengan menggunakan selotip
kemudian tali tersebut dilingkarkan pada
gelas. Ketika telah bertemu dengan ujung
tali, maka tali tersebut digunting. Setelah
digunting, tali tersebut direntangkan dan
diukur berapa panjangnya. Kemudian,
diukur juga diameter lingkaran benda
tersebut (Lihat gambar ). Hal ini dilakukan
1
Gelas
Selotip
Gunting
Tali
2
3
n diluar lingkaran. Metode Archimedes
dalam mencari keliling, luas dan π
lingkaran yang penulis uraikan diatas dapat
dijadikan suatu Lembar Kerja Siswa, yang
mana pada aproksimasi pertama telah ada
penyelesaiannya, dan kemudian pada
aproksimasi berikutnya dapat dilanjutkan
oleh siswa sendiri.
juga pada benda-benda berikutnya.
Kemudian, dicari perbandingan antara
panjang
tali
dengan
diameternya.
Selanjutnya, siswa dapat menganalisa nilai
perbandingan tersebut. Apakah nilainya
selalu tetap seperti yang diaproksimasikan
oleh Archimedes ?.
8
5. Bimbinglah anak membentuk bangun
jajaran genjang.
(lihat gambar di bawah ini)
Jika kegiatan tersebut masih juga
membuat
siswa
kesulitan
ataupun
kebingungan, maka dapat dilakukan suatu
permainan
dengan
langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Mintalah anak menggambar lingkaran di
sehelai karton.
2. Mintalah anak membagi lingkaran
tersebut menjadi delapan bagian yang
sama dan sebangun, seperti gambar di
bawah ini.
6. Bimbinglah anak mengingat kembali
rumus luas jajaran genjang.
7. Bimbinglah anak menganalogikan luas
jajaran genjang, yaitu alasnya adalah ½
keliling lingkaran atau (½ x 2πr satuan
atau πr) dan tingginya r satuan.
8. Simpulkan bahwa luas lingkaran = luas
jajaran genjang.
Dari kegiatan tersebut, siswa diharapkan
dapat memahami luas lingkaran, yang
mana luasnya dapat diaproksimasi melalui
rumus luas jajaran genjang. Hanya saja,
luas jajaran genjang yang dihasilkan tidak
cukup mendekati luas lingkaran yang
2
menggunakan rumus πr .
Bilangan π dapat dikatakan
sebagai karakteristik dari kurva lengkung.
Tanpa adanya bilangan π maka kita tidak
dapat menangani dengan baik bangunbangun geometri yang memuat permukaan
lengkung atau sisi lengkung, seperti
lingkaran. Namun, untuk memudahkan
perhitungan,
biasanya
konstanta
Pi
22
disederhanakan dengan /7 atau 3,14 saja.
Tanpa konstanta ini, maka kita tidak dapat
menangani dengan baik bangun-bangun
geometri
yang
memuat
permukaan
lengkung atau sisi lengkung, seperti
lingkaran, ellips, bola, dan lain-lain.
Aproksimasi nilai π dapat dilihat pada tabel
berikut ini.
3. Mintalah anak memotong lingkaran
tersebut sepanjang diameternya.
4. Mintalah anak memotong kedua daerah
setengah lingkaran tersebut di sepanjang
jari-jarinya. (lihat gambar).
9
6
12
24
48
96
192
384
768
1536
3072
6144
12288
24576
49152
98304
196608
393216
786432
…
Inscribe Regular
Circumscribe Regular
Polygon with n sides
Polygon with n sides in
in a circle
a circle
3,0000000000
3,4641032303
3,1058285412
3,2153910049
3,1326286133
3,1596606025
3,1393502030
3,1460868671
3,1410319509
3,1427152495
3,1414524723
3.1418736993
3,1415576079
3,1416633963
3,1415838921
3,1416108285
3,1415904632
3,1415976835
3,1415921060
3,1415943979
3,1415925167
3,1415935765
3,1415926194
3,1415933712
3,1415926450
3,1415933199
3,1415926514
3,1415933070
3,1415926530
3,1415933038
3,1415926534
3,1415933030
3,1415926536
3,1415933028
3,1415926536
3,1415933028
…
…
Tabel Aproksimasi nilai π dengan poligon beraturan segi-n
didalam (inscribe) dan diluar (circumscribe) lingkaran
22
Tetapi, bagaimana Archimedes dari
Syracause (287-212 SM) mendapatkan
nilai aproksimasi π dalam bentuk bilangan
223
22
pecahan, bahwa
/7 < π <
/7.
Sebenarnya, pada poligon beraturan segi6 didalam lingkaran didapatkan nilai z1 =
/7 merupakan suatu kesalahan yang
harus diluruskan.
Sejak dibahas secara matematik
oleh Archimedes, “pencarian” bilangan ini
pun mulai mendapat perhatian serius.
Mulai dengan metode menghitung luas,
penggunaan deret bilangan, trigonometri,
hingga mengunakan metode peluang,
yang untuk lebih jelasnya dapat dilihat di
http://en.wikipedia.org/Pi.
1
3 dan pada poligon beraturan segi-6
2
diluar lingkaran didapatkan nilai u =
2
3.
3
Archimedes
aproksimasi bahwa
menggunakan
PENUTUP
265
1351
< 3<
.
153
780
Bilangan yang dikenal siswa
22
dengan
/7 atau
3,14
hanyalah
pendekatan untuk bilangan π. Oleh
karena itu, ketika menuliskan nilai π,
sebaiknya guru tidak lagi menuliskan ”π =
22
”
22
/7”, tetapi π ≈ /7”. Dengan konstanta
ini, kita sangat terbantu untuk menghitung
keliling lingkaran, luas lingkaran, volume
tabung, volume kerucut atau volume bola
hanya dengan mengetahui jari-jari atau
diameternya. Secara matematik, keliling,
Inilah
aproksimasi
akar
kuadrat
pertamanya
yang
misterius,
tetapi
merupakan pendekatan yang baik.
http://itech.fgcu.edu
(sumber
:
/faculty/clindsey
/mhf4404/Archimedes
/archimedes. html). Sehingga, Archimedes
tidak membuat tuntutan untuk ditemukan
nilai π yang tepat. Oleh karena itu,
Adanya anggapan dari siswa bahwa π =
10
MODERN. Universitas Ahmad
Dahlan Press : Yogyakarta.
luas dan π suatu lingkaran dapat dicari
dengan mengunakan aproksimasi poligon
beraturan segi-n didalam dan diluar
lingkaran
seperti
yang
dilakukan
Archimedes. Nilai π tersebut menghasilkan urutan angka yang acak, tidak pernah
berulang, dan tak terbatas. Dari angka
yang seacak itu muncul bentuk lengkung
sempurna yang menghasilkan lingkaran
(infinity (ketidakterbatasan) menghasilkan
finity (keterbatasan)).
Pi. http://en.wikipedia.org/Pi. diakses 22
Maret 2007.
Pidarta,
Made.
2000.
LANDASAN
KEPENDIDIKAN Stimulus Ilmu
Pendidikan Bercorak Indonesia.
RINEKA CIPTA : Jakarta.
Primitif Grafika Poligon. 2000. Fakultas
Ilmu
Komputer
Universitas
Indonesia
:
Jakarta.
http://www.cs.ui.ac.id/kuliah/IKI3
0500/2000/Poligon.PDF diakses
29 maret 2007
DAFTAR PUSTAKA
Archimedes’s Approximation of Pi. 1997.
http://itech.fgcu.edu
/faculty
/clindsey /mhf4404 /Archimedes
/archimedes. html diakses 20
Maret 2007.
Shadiq, Fadjar. 2004. Geometri. PPPG
Matematika : Yogyakarta. http://
www.p3gmatyo.go.id/download/
SD/Geometri.pdf diakses 29
maret 2007
Arhimedes on Spheres and Cylinders.
http:// www. mathpages. com
/home /kmath 343.htm diakses
22 maret 2007.
Sumardyono. 2005. Mengenal 7 Raja
Dalam
Matematika.
PPPG
Matematika
:
Yogyakarta.
http://www.p3gmatyo.go.id
/download
/Limas
/7%20
raja%20
matematika.pdf
diakses 20 Maret 2007.
Erdelsky, Philip J. 2001. A Piece of Pi.
http://www.efgh.com/math/pi.ht
m diakses 24 Maret 2007.
Gaze, Eric. 2005. Archimedes and Pi.
Alfred University : New York.
www.
evergreen.
edu
/washcenter /resources /upload
/Gaze- Archimedes- StudentFinal.ppt diakses 26 Maret
2007.
Sutan, Firmanawaty. 2003. Matematika
Melalui
Permainan.
Puspa
Swara : Jakarta.
Kopdar-nya Para Pecinta Konstanta Pi.
Jakarta. http:// www. kompas.
com/ ver1/ Iptek/ 0703/ 13/
174845.htm diakses 19 maret
2007
Lingkaran. http:// id.wikipedia.org /wiki/
Lingkaran diakses 19 januari
2007
Ngatoillah, I. Subandiati, D. Haza’a,
Salah K. 2007. SEJARAH
MATEMATIKA KLASIK DAN
11
Fly UP