...

Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
BULLETIN
Bull. Malaysian Math. Soc. (Second Series) 22 (1999) 11-22
of the
MALAYSIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
1
MASHADI DAN 2ABU OSMAN BIN MD TAP
1
Jurusan Matematika, Universitas Riau, Kampus Bina Widya Panam, Pekanbaru, Riau, Indonesia
2
Jabatan Matematik, Fakulti Sains Matematik, Universiti Kebangsaan Malaysia,
43600 UKM Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia
Abstrak. Dalam makalah ini kami perluaskan beberapa teorem titik tetap dengan
mentransformasikan ketiga-tiga titik x, y, z di dalam ruang 2-metrik. Perluasannya adalah tertakluk
kepada syarat ketaksamaan tertentu yang dinyatakan. Bentuk ketaksamaan yang dibina adalah selari
dengan idea Pachpatte dan juga Singh dan Ram.
Abstract. In this paper we extend some fixed point theorems by transforming the three points x,y,z
in the 2-metric space. The extensions are subjected to the given particular inequality condition. The
inequalities constructed are parallel to the ideas of Pachpatte and also that of Singh and Ram.
1. Pendahuluan
Misalkan X suatu set yang mengandungi sekurang-kurangnya 3 unsur. Pemetaan
ρ : X × X × X → R + yang memenuhi sifat:
M1.
M2.
M3.
M4.
Untuk setiap pasangan a, b ∈ X dengan a ≠ b , wujud c ∈ X sehingga
ρ ( a, b, c ) ≠ 0 ;
ρ ( a, b, c ) = 0 jika sekiranya sekurang-kurangnya dua unsur daripada a, b, c
adalah sama;
ρ ( a, b, c ) = ρ (b, c, a ) = ρ ( c, a, b) untuk semua a, b, c ∈ X ;
ρ ( a, b, c ) ≤ ρ ( a, b, d ) + ρ ( a, d , c ) + ρ ( d , b, c ) untuk semua a, b, c, d ∈ X ,
disebut 2-metrik pada X dan pasangan ( X ; ρ ) disebut ruang 2-metrik pada X.
Beberapa bentuk teorem titik tetap pada ruang 2-metrik telah dikaji oleh di antaranya
Gahler [3], Lal dan Singh [5], Pachpatte [8], Iseki [4], Pathak dan Dubey [9], Cho [1],
Cho dan Park [2]. Kalau diperhatikan bentuk teorem titik tetap pada ruang 2-metrik yang
dibuat oleh pengkaji di atas, kita lihat di dalam syarat ketaksamaan tersebut, hanya dua
titik sahaja ditransformasikan dan titik ketiganya selalu kekal (tidak ikut
ditranformasikan). Contohnya dalam syarat ketaksamaan pemetaan mengecut pada
untuk
ruang
2-metrik,
bagi
setiap x, y , z ∈ X , ρ (Tx, Ty , z ) ≤ αρ ( x, y , z )
suatu α ∈ (0, 1) . Selanjutnya Mashadi dan Abu Osman [6, 7] telah mengkaji titik tetap
Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap
12
yang melibatkan syarat ketiga titik x, y dan z ditransformasikan. Contohnya, Mashadi
dan Abu Osman [6] telah memberikan syarat ketaksamaan pemetaan 2-mengecut pada
ruang 2-metrik sebagai bagi setiap x, y, z ∈ X , ρ (Tx, Ty, Tz ) ≤ αρ ( x, y, z ) untuk
suatu α ∈ ( 0, 1) .
Dalam makalah ini, kami akan melanjutkan kajian tersebut dengan melihat titik tetap
sepunya bitara bagi beberapa pemetaan pada ruang 2-metrik yang tertakluk kepada syarat
ketaksamaan tertentu selari dengan idea yang diutarakan oleh Pachpatte [8] dan juga
Singh dan Ram [10].
Bagi memudahkan perbincangan selanjutnya, kami berikan beberapa takrif yang
akan digunakan selanjutnya.
Takrif 1.1. Jujukan {x n } pada ruang 2-metrik ( X ; ρ ) disebut jujukan 2-Cauchy jika
had n , m, p → ∞ ρ ( x n , x m , x p ) = 0 .
Takrif 1.2. Ruang 2-metrik ( X ; ρ ) disebut 2-lengkap bila setiap jujukan 2-Cauchy
di dalam X adalah menumpu.
Takrif 1.3. Ruang 2-metrik ( X ; ρ ) disebut terbatas jika wujud nombor nyata K > 0
sehingga ρ ( x, y , z ) ≤ K untuk semua x, y , z di X.
2. Hasil
Dalam bahagian ini, kami andaikan yang ( X ; ρ ) merupakan ruang 2-metrik terbatas
2-lengkap. Kami akan perhatikan masalah titik tetap sepunya bitara bagi beberapa
pemetaan pada ( X ; ρ ) kepada dirinya sendiri tertakluk kepada syarat ketaksamaan
tertentu.
Teorem 2.1.
Misalkan T1 , T2 dan T3 tiga pemetaan pada ruang 2-metrik terbatas
2-lengkap ( X ; ρ ) kepada dirinya sendiri dan memenuhi syarat:
ρ (T1 x, T2 y , T3 z ) ≤ k maks
{ ρ ( x, y, z ), ( 12 ) [ ρ ( x, T1 x, T2 y ) + ρ ( y, T2 y, T3 z )] ,
( 12 ) [ ρ ( y, T1 x, T2 y ) + ρ ( y, T1 x, T3 z ] }
untuk semua x, y , z ∈ X yang k ∈ ( 0, 1). Maka T1 , T2 dan T3 mempunyai titik tetap
sepunya yang bitara.
Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
13
Bukti. Pilih sebarang titik x 0 ∈ X dan takrifkan
x 3n + 1 = T1 x 3n , x 3n + 2 = T2 x 3n + 1 dan x 3n + 3 = T3 x 3n + 2 .
Maka diperoleh
ρ ( x1 , x 2 , x p ) = ρ (T1 x 0 , T2 x1 , T3 x p − 1 ) ; dengan x p = T3 x p − 1
{
≤ k maks ρ ( x 0 , x1 , x p ),
( 12 ) [ ρ ( x0 , T1 x0 , T2 x1 ) + ρ ( x1 , T2 x1 , T3 x p −1 ) ] ,
( 12 ) [ ρ ( x1 , T1 x 0 , T2 x1 ) + ρ ( x1 , T1 x 0 , T3 x p −1 )] }
{
= k maks ρ ( x 0 , x1 , x p ),
( 12 ) [ ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ] , 0 }
Jika
{
maks ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
maka
( 12 ) [ ρ ( x0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ] , 0 } = ρ ( x0 , x1 , x p ) ,
ρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤ kρ ( x 0 , x1 , x p ) .
Jika sebaliknya,
{
maks ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
=
( 12 ) [ ρ ( x0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ] , 0 }
( 12 ) [ ρ ( x0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p )]
maka
ρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤
,
( k2 ) [ ρ ( x0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ]
sehingga
ρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤
k
(2 − k )
ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) ≤ kρ ( x 0 , x1 , x 2 ) .
Juga
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) = ρ (T2 x1 , T3 x 2 , T1 x p −1 ) ; dengan x p = T1 x p − 1
⎧
= k maks ⎨ ρ ( x1 , x 2 , x p ),
⎩
( 12 ) [ ρ ( x1 , T2 x1 , T3 x 2 ) + ρ ( x 2 , T3 x 2 , T1 x p −1 )] ,
(12 ) [ ρ ( x2 , T2 x1, T3 x2 ) + ρ ( x2 , T2 x1, T1x p −1 )] }
{
= k maks ρ ( x1 , x 2 , x p ),
( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x3 ) + ρ ( x 2 , x3 , x p ) , 0] } .
Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap
14
Jika
{
maks ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x3 , x p ) ] , 0 } = ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
maka
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ kρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x p )
atau
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) .
Sebaliknya jika
{
maks ρ ( x1 , x 2 , x p )
maka ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ k
( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x3 , x p ) ] , 0 }
= ( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ] ,
( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x 3 , x p )]
sehingga
ρ ( x2 , x3 , x p ) ≤
k
(2 − k )
ρ ( x1 , x 2 , x 3 )
≤ kρ ( x1 , x 2 , x 3 ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
atau
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) .
Jika proses ini kita ulangi sebanyak n kali, maka akan diperoleh
ρ ( x n , x n + 1 , x p ) ≤ k n ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) atau ρ ( x n , x n + 1 , x p ) ≤ k n ρ ( x 0 , x1 , x p ) .
Maka untuk sebarang n, m dan p, dengan p > m > n , diperoleh
ρ ( x n , x m , x p ) ≤ ρ ( x n , x n +1 , x m ) + ρ ( x n +1 , x n + 2 , x m ) + L + ρ ( x m − 2 , x m −1 , x m )
+ ρ ( x n , x n +1 , x p ) + ρ ( x n +1 , x n + 2 , x p ) + L + ρ ( x m − 2 , x m −1 , x p ) .
Oleh itu,
ρ ( xn , xm , x p ) ≤
m−2
∑ ( k n + i ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) + k n + i ρ ( x 0 , x1 , x 2 ))
i =0
ρ ( x n , x m , x p ) ≤ 2.M
=
m−2
∑
i =0
( 2.M k n )
(1 − k )
k n+i
Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
atau
m−2
∑
ρ ( xn , xm , x p ) ≤
i =0
ρ ( x n , x m , x p ) ≤ 2.M
=
(k
n +i ρ(
m−2
∑
15
x 0 , x1 , x m ) + k n + i ρ ( x 0 , x1 , x p )
)
k n +i
i =0
( 2. M k n )
(1 − k )
Oleh kerana M > 0 adalah suatu pemalar dan kerana had
k n = 0 , maka {x n }
merupakan jujukan 2-Cauchy. Oleh kerana ( X ; ρ ) merupakan ruang 2-metrik yang
2-lengkap, maka wujud u ∈ X sehinggakan jujukan {x n } menumpu ke u.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahawa u merupakan titik tetap sepunya bagi T1 , T2
dan T3 . Pilih sebarang z ∈ X . Maka
ρ (T1u, u, z ) ≤ ρ (T1u, u, x 3n + 2 ) + ρ (T1u, x 3n + 2 , z ) + ρ ( x 3n + 2 , u, z ) .
(2.1)
Jadi
ρ ( T1u, x 3n + 2 , z ) = ρ (T1u, T2 x 3n + 1 , T3 c ) ; dengan T3 c = z
≤ k maks { ρ (u, x 3n + 1 , c ),
( 12 ) [ ρ ( u, T1u, T2 x3n + 1 ) + ρ ( x 3n +1 , T2 x 3n +1 , T3 c] ,
( 12 ) [ ρ ( x3n + 1 , T1u, T2 x 3n +1 ) + ρ ( x 3n +1 , T1u, T3 c )] }
= k maks { ρ (u, x 3n + 1 , c ),
( 12 ) [ ρ (u, T1u, x 3n + 2 ) + ρ ( x 3n + 1 , x 3n + 2 , z )] ,
( 12 ) [ ρ ( x3n + 1 , T1u, x3n + 1 ) + ρ ( x 3n + 1 , T1u, z )] }.
(2.2)
Jika diambil had pada ketaksamaan (2.2) dan digantikan ke dalam ketaksamaan
(2.1), akan diperoleh ρ (T1u, u, z ) ≤ ( 12 ) kρ (T1u, u, z ) . Oleh kerana k ∈ ( 0, 1) , maka
ρ (T1u, u, z ) = 0 .
Maknanya T1u = u . Dengan cara yang sama boleh ditunjukkan
bahawa T2 u = u dan juga T3 u = u .
Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap
16
Berikut ini akan ditunjukkan bahawa u bitara. Misalkan wujud v ∈ X yang juga
titik tetap bagi T1 , T2 dan T2 . Pilih sebarang z ∈ X . Maka
ρ (u, v, z ) = ρ (T1u, T2 v, T3 c ); T3 c = z
{
≤ k maks ρ ( u, v, c ) ,
( 12 ) [ ρ ( u, T1u, T2 v ) + ρ (v, T2 v, T3 c)] ,
( 12 ) [ ρ ( v, T1u, T2 v) + ρ (v, T2 u, T3 c)] }
{
( 12 ) [ ρ (u, u, v) + ρ (v, v, z )] ,
( 12 ) [ ρ (v, u, v ) + ρ (v, u, z )] }
= k maks { ρ (u, v, c ), 0 , ( 12 ) ρ (v, u, z ) }.
= k maks ρ (u, v, c ),
{
( 12 ) ρ (v, u, z ) } = ρ (u, v, c) , maka
ρ ( u , v , z ) ≤ kρ ( u , v , c ) .
Apabila proses ini dilakukan sebanyak n kali, maka akan diperoleh
Jika maks ρ (u, v, c ), 0,
ρ (u, v, z ) ≤ k n ρ (u, v, x ) untuk suatu x ∈ X .
Oleh kerana k ∈ (0, 1) , maka ρ (u, v, z ) = 0 . Maknanya u = v .
Catatan:
1.
Jika semua T1 , T2 , T3 merupakan pemetaan 2-mengecut, maka syarat ketaksamaan
di dalam Teorem 2.1. akan dipenuhi. Oleh yang demikian Teorem 2.1. di atas
merupakan perluasan kepada teorem yang dibuktikan oleh Mashadi dan Abu Osman
[6].
3.
Jika dalam teorem di atas T1 = T2 = T3 , maka teorem tersebut juga benar, yang
mana bentuknya menjadi seperti berikut:
Teorem 2.2. Misalkan T suatu pemetaan pada ruang 2-metrik terbatas 2-lengkap
( X ; ρ ) kepada dirinya sendiri dan memenuhi ketaksamaan
ρ (Tx, Ty, Tz ) ≤ k maks { ρ ( x, y , z ) , ( 12 ) [ ρ ( x, Tx, Ty ) + ρ ( y , Ty, Tz )] ,
( 12 ) [ ρ ( y, Tx, Ty ) + ρ ( y, Tx, Tz)] }
untuk semua x, y , z ∈ X dan k ∈ ( 0, 1) . Maka T mempunyai titik tetap bitara.
Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
17
Misalkan T1 , T2 dan T3 tiga pemetaan pada ruang 2-metrik terbatas
Teorem 2.3.
2-lengkap ( X ; ρ ) kepada dirinya sendiri dan memenuhi ketaksamaan
{
ρ (T1 x, T2 y, T3 z ) ≤ k maks ρ ( x, y, z ) , ( 12 ) [ ρ ( x, T1 x, T2 y ) + ρ ( y, T2 y, T3 z )] ,
( 12 ) [ ρ ( y, T1 x, T2 y ) + ρ ( y, T1 x, T3 z )] ,
( 12 ) ρ ( y,T1 x,T2 y ) [ 1 + ρ ( x,T1 x,T2 y ) + ρ ( y,T1 x,T3 z)]
1 + ρ ( x, y, z )
,
( 12 ) ρ ( y,T1 x,T3 z ) [ 1 + ρ ( y,T2 y,T3 z ) + ρ ( y,T1 x,T2 y )] ⎫⎪
⎬
⎪⎭
1 + ρ ( x, y, z )
untuk semua x, y , z ∈ X dan k ∈ ( 0, 1) . Maka T1 , T2 dan T3 mempunyai titik tetap
bitara sepunya.
Bukti.
Pilih sebarang titik
x 0 ∈ X dan takrifkan
x 3n + 1 = T1 x 3n + 2 = T2 x 3n + 1 dan
x 3n + 3 = T3 x 3n + 2 . Maka diperoleh
ρ ( x1 , x 2 , x p ) = ρ (T1 x 0 , T2 x1 , T3 x p − 1 ) ; dengan x p = T3 x p −1
≤ k maks { ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
( 12 ) [ ρ ( x 0 , T1 x0 , T2 x1 ) + ρ ( x1 , T1 x1 , T3 x p −1 )] ,
1
2
1
2
[ ρ(x , T x , T x ) + ρ(x , T x , T x
1
1 0
2 1
1
1 0
3
p −1
]
) ,
ρ ( x1 ,T1 x 0 ,T2 x1 ) [1 + ρ ( x 0 ,T1 x 0 ,T2 x1 ) + ρ ( x1 ,T1 x 0 ,T3 x p − 1 )]
1 + ρ ( x 0 ,x1 ,x p )
1
2
,
ρ ( x1 ,T1 x 0 ,T3 x p − 1 ) [1 + ρ ( x1 ,T2 x1 ,T3 x p − 1 ) + ρ ( x1 ,T1 x 0 ,T2 x1 )] ⎫⎪
⎬
⎪⎭
1 + ρ ( x 0 ,x1 ,x p )
{
= k maks ρ ( x 0 , x1 , x p ),
( 12 ) [ ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ] , 0, 0, 0 }.
Jika
{
maks ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
( 12 ) [ ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p )] , 0 }
maka ρ ( x1 , x 2 x 3 ) ≤ kρ ( x 0 , x1 , x p ) .
= ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap
18
Sebaliknya jika
{
maks ρ ( x 0 , x1 , x p ) ,
=
1
2
maka ρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤ k
[ ρ(x , x , x
0
1
2
]
) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
( 12 ) [ ρ ( x0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p ) ]
sehingga ρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤
Begitu juga
( 12 ) [ ρ ( x0 , x1 , x 2 ) + ρ ( x1 , x 2 , x p )] , 0 }
k
(2 − k )
ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) ≤ kρ ( x 0 , x1 , x 2 ) .
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) = ρ (T2 x1 , T3 x 2 , T1 x p − 1 ) ; x p = T1 x p − 1
≤ k maks ⎧⎨ ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
⎩
{
= k maks ρ ( x1 , x 2 , x p
( 12 ) [ ρ ( x1 , T2 x1 , T3 x 2 ) + ρ ( x 2 , T3 x 2 , T1 x p −1 )],
[ ρ ( x , T x , T x ) + ρ ( x , T x , T x )] }
) , ( ) [ ρ ( x , x , x ) + ρ ( x , x , x )] , 0 }.
1
2
2
2 1
1
2
1
2
3 2
3
2
2
3
2 1
1 p −1
p
Jika
{
maks ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x3 , x p )] , 0 } = ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
maka
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ kρ ( x1 , x 2 , x p ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x p )
atau
ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) .
Sebaliknya jika
{
maks ρ ( x1 , x 2 , x p ) ,
[
( 12 ) [ ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x3 , x p )] , 0 }
]
= (1 / 2) ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x 3 , x p ,
maka ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ k
( 12 ) ρ ( x1 , x 2 , x p ) + ρ ( x 2 , x3 , x p ) ]
sehingga ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤
k
(2 − k )
ρ ( x1 , x 2 , x 3 ) ≤ kρ ( x1 , x 2 , x 3 ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x p )
atau ρ ( x 2 , x 3 , x p ) ≤ k 2 ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) .
Jika proses ini diulangi sebanyak n kali, maka akan diperoleh
ρ ( x n , x n + 1 , x p ) ≤ k n ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) atau ρ ( x n , x n + 1 , x p ) ≤ k n ρ ( x 0 , x1 , x p ) .
Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
19
Maka untuk sebarang n, m dan p yang p > m > n , diperoleh
ρ ( x n , x m , x p ) ≤ ρ ( x n , x n +1 , x m ) + ρ ( x n +1 , x n + 2 , x m ) + L + ρ ( x m − 2 , x m −1 , x m ) +
ρ ( x n , x n +1 , x p ) + ρ ( x n +1 , x n + 2 , x p ) + L + ρ ( x m − 2 , x m −1 , x p )
maka ρ ( x n , x m , x p ) ≤
m−2
∑
i =0
( k n + i ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) + k n + i ρ ( x 0 , x1 , x 2 ) ) ,
sehingga ρ ( x n , x m , x p ) ≤ 2.M
atau ρ ( x n , x m , x p ) ≤
m−2
∑
i =0
m−2
∑
k n +i =
i =0
( 2. M k n )
(1 − k )
( k n + i ρ ( x 0 , x1 , x m ) + k n + i ρ ( x 0 , x1 , x p ))
sehingga ρ ( x n , x m , x p ) ≤ 2.M
m−2
∑
k n+i =
i =0
( 2.M k n )
.
(1 − k )
Oleh kerana M > 0 adalah suatu pemalar dan kerana had
k n = 0 , maka {x n }
merupakan jujukan 2-Cauchy. Oleh kerana ( X ; ρ ) merupakan ruang 2-metrik yang
2-lengkap, maka wujud u ∈ X sehinggakan jujukan {x n } menumpu ke u.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahawa u merupakan titik tetap sepunya dari T1 , T2
dan T3 . Pilih sebarang z ∈ X . Maka
ρ (T1u, u, z ) ≤ ρ (T1u, u, x 3n + 2 ) + ρ (T1u, x 3n + 2 , z ) + ρ ( x 3n + 2 , u, z )
(2.3)
Jadi ρ (T1u, x 3n + 2 , z ) = ρ (T1u, T2 x 3n + 1 , T3 c ) ; dengan T3 c = z
{
≤ k maks ρ (u, x 3n + 1 , c ) ,
( 12 ) [ ρ (u, T1u, T2 x 3n + 1 ) + ρ ( x3n + 1 , T2 x 3n + 1 , T3 c) ] } ,
( 12 ) [ ρ ( x 3n + 1 , T1u, T2 x 3n + 1 ) + ρ ( x 3n + 1 , T2 u, T3 c) ] ,
1
2
ρ ( x 3n+1 , T1u, T2 x 3n+1 ) [1 + ρ (u, T1u, T2 x 3n+1 ) + ρ ( x 3n+1 , T1u, T3 c ) ]
,
1 + ρ (u, x 3n+1 ,c )
1
2
ρ ( x 3n+1 , T1u, T3 c ) [ 1 + ( x 3n+1 , T2 x 3n+1 , T3 c ) + ρ ( x 3n+1 , T1 u, T3 x 3n+1 ) ] ⎫⎪
⎬
1 + ρ ( u, x 3n+1 ,c )
⎪
⎭
Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap
20
{
= k maks ρ (u, x 3n + 2 , c ) ,
( 12 ) [ ρ (u, T1u, x 3n + 2 ) + ρ ( x 3n + 1 , x 3n + 2 , z ) ] ,
( 12 ) [ ρ ( x 3n + 1 , T1u, x 3n + 2 ) + ρ ( x3n + 1 , T1u, z ) ] ,
1
2
ρ ( x 3n+1 , T1u, x 3n+2 ) [1 + ρ (u, T1u, x 3n+2 ) + ρ ( x 3n+1 , T1u, z ) ]
,
1 + ρ (u, x 3n+1 ,c )
1
2
ρ ( x 3n+1 , T1u, z ) [1 + ρ ( x 3n+1 , T2 x 3n+1 , z ) + ρ ( x 3n+1 , T1u, x 3n+2 ) ] ⎫⎪
⎬
1 + ρ (u, x 3n+1 ,c )
⎪⎭
(2.4)
Jika diambil had pada ketaksamaan (2.4) dan digantikan ke dalam ketaksamaan
(2.3), maka akan diperoleh ρ (T1u, u, z ) ≤ k2 ρ (T1u, u, z ) .
( )
Oleh kerana k ∈ ( 0, 1) , maka ρ (T1u, u, z ) = 0. Maknanya T1u = u . Dengan cara
yang sama boleh ditunjukkan bahawa T2 u = u dan juga T3 u = u .
Berikut ini akan ditunjukkan bahawa u bitara. Misalkan wujud v ∈ X yang juga
titik tetap sepunya bagi T1 , T2 dan T3 . Pilih sebarang z ∈ X . Maka
ρ (u, v, z ) = ρ (T1u, T2 v, T3 c ) ; dengan T3 c = z
{
( 12 ) [ρ (u, T1u, T2 v ) + ρ (v, T2 v, T3 c)] ,
( 12 ) [ ρ (v, T1u, T2 v ) + ρ (v, T1u, T3 c) ] ,
1
ρ ( v, T1u, T2 v ) [1 + ρ (u, T1u, T2 v ) + ρ ( v, T1u, T3 c )]
2
≤ k maks ρ (u, v, c ) ,
,
1 + ρ ( u, v , c )
1
2
ρ ( v, T1u, T3 c ) [ 1 + ρ ( v, T2 v, T3 c ) + ρ ( v, T1u, T2 v )] ⎫⎪
⎬
1 + ρ (u, v, c )
⎪⎭
⎧⎪
= k maks ⎨ ρ (u, v, c ) , 0 ,
⎪⎩
Jika maks { ρ (u, v, c ) , 0 ,
maka ρ (u, v, z ) ≤
()
1
2
⎫
( 12 ) ρ (v, u, z ) , 0 , 12+ρρ((uu, ,vv, ,cc)) ⎪⎬ .
1
⎪⎭
⎫
(12 ) ρ (v, u, z ) , 0 , 12+ρρ(u(u, ,vv, ,cc)) ⎪⎬ = ( 12 ) ρ (u, v, z ) ,
1
⎪⎭
ρ (u, v, z ) dan hal ini mustahil. Sebaliknya jika
⎧⎪
maks ⎨ ρ (u,v,c ) , 0 ,
⎪⎩
⎫
( 12 ) ρ (v, u, z ) , 0 , 1 2+ρρ(u(u, ,vv, ,cc)) ⎪⎬ = 12+ρρ(u(u, ,vv, ,cc))
1
⎪⎭
1
,
Teorem Titik Tetap Pada Ruang 2-Metrik
ρ ( u, v , c )
. Ini bererti 1 + ρ (u, v, c ) ≤
1 + ρ (u, v, c )
1
2
maka ρ (u, v, z ) ≤
21
( 12 ) dan hal ini mustahil.
Jadi haruslah
⎧⎪
maks ⎨ ρ (u, v, c ) , 0 ,
⎪⎩
sehingga
Apabila
ρ (u, v, z )
ρ (u, v, z )
(12 ) ρ (v, u, z ) , 0 ,
ρ (u, v, c ) ⎫⎪
⎬ = ρ ( u, v , c ) ,
1 + ρ ( u, v , c ) ⎪
⎭
1
2
ρ ( u , v , z ) ≤ k ρ ( u, v , c ) .
proses ini dilakukan sebanyak n kali, maka akan diperoleh
≤ k n ρ (u, v, x ) untuk suatu x ∈ X . Oleh kerana k ∈ ( 0, 1) , maka haruslah
= 0 . Maknanya u = v .
Catatan. Untuk sebarang x 0 ∈ X , takrifkan x 2 n − 1 = T0 x 2 n − 2 dan x 2 n = Tn x 2 n − 1 .
Maka Teorem 2.3 di atas boleh dikembangkan menjadi teorem berikut yang buktinya
kami tinggalkan kerana serupa dengan pembuktian Teorem 2.3.
Teorem 2.4. Misalkan T0 , Tn , n = 1, 2, 3 , L masing-masingnya pemetaan pada ruang
2-metrik terbatas 2-lengkap
ketaksamaan
( X : ρ ) kepada dirinya sendiri dan memenuhi syarat
ρ (T0 x, Tn y, Tm z ) ≤ k maks { ρ ( x, y, z ) , ( 12 ) [ρ ( x, T0 x, Tn y ) + ρ ( y, Tn y, Tm z )] ,
( 12 ) [ ρ ( y, T0 x, Tn y ) + ρ ( y, T0 x, Tm z ] ,
1
2
ρ ( y,T0 x,Tn y ) [1 + ρ ( x,T0 x,Tn y ) + ρ ( y,T0 x,Tm z ) ]
,
1 + ρ ( x,y,z )
1
2
ρ ( y,T0 x,Tm z ) [1 + ρ ( y,Tn y,Tm z ) + ρ ( y,T0 x,Tn y ) ] ⎫⎪
⎬
1 + ρ ( x,y,z )
⎪⎭
untuk semua x, y , z ∈ X dan k ∈ ( 0, 1) . Maka wujud u ∈ X sehinggakan Tn u = u
untuk semua n = 1, 2, L .
22
Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap
Rujukan
1.
2.
Y.J. Cho, Fixed point for compatible mapping of type (A), Math. Japon 38 (1993), 497-508.
Y.J. Cho dan S.C. Park, Coincidence theorem in 2-metric space, SEAMS Bull. Math.
20 (1995), 127-133.
3. S. Gahler, 2-metrische raume und ihr topologische struktur, Math. Nachr. 26 (1963-64),
115-148.
4. K. Iseki, Fixed point theorem in 2-metric space, Math. Sem. Note 3 (1985), 133-136.
5. S.N. Lal and A.K. Singh,. An analogue of Banach’s contraction principle for 2-metric spaces,
Bull. Austral. Math. Soc. 18 (1978), 137-143.
6. Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap, Teorem titik tetap pemetaan 2-mengecut pada ruang
2-metrik. Akan terbit dalam J. Matematika UTM.
7. Mashadi dan Abu Osman bin Md Tap, Teorem titik tetap pemetaan selanjar 2-orbital pada
ruang 2-metrik. Pracetak, diserah untuk penerbitan J. Sains Malaysiana.
8. B.G. Pachpatte, Fixed point theorems for contraction type mapping on 2-metric space,
Proc. Nat. Acad. Sci. India 14 II (1978), 94-102
9. H.K. Pathak. dan R.P. Dubey, Some fixed point theorem in 2-metric space, The Math. Edu.
115 (1991), 1-16.
10. S.L. Singh dan B. Ram, A note on the convergence of sequences of mapping and their
common fixed point in 2-metric space, Math. Sem. Note 9 (1981), 181-185.
Fly UP