...

Integral Bagian

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

Integral Bagian
Matematika Dasar
INTEGRAL BAGIAN
Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan. Maka dengan
teorema rantai dapat diperoleh turunan dari hasilkali kedua fungsi, yaitu :
d ( g ( x ))
d ( f (x ) )
d
f (x ) g (x ) ] = f ( x )
+ g (x )
[
dx
dx
dx
Bila dilakukan integrasi pada kedua ruas maka didapatkan :
d ( g (x ))
d ( f ( x ))
dx + ∫ g ( x )
dx
dx
dx
d ( g (x ))
d ( f ( x) )
f ( x) g( x ) + C = ∫ f ( x)
dx + ∫ g ( x)
dx
dx
dx
∫ dx [ f ( x )g ( x )] = ∫ f ( x )
d
atau
∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = f ( x ) g (x ) − ∫ g ( x ) f ' ( x ) dx + C .
Karena integral pada kedua ruas juga akan menghasilkan konstanta C, maka dapat
dituliskan sebagai berikut :
∫ f ( x ) g '( x) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ g( x ) f '( x ) dx
Misal u = f(x)
du = f’(x) dx
v = g(x)
dv = g’(x) dx
Substitusi ke dalam rumus integral di atas didapatkan rumus integral bagian untuk
integral tak tentu adalah :
∫ u dv = uv − ∫ v du
Bila f(x) dan g(x) integrabel pada [ a,b ] maka rumus integral bagian untuk
integral tentu dapat dituliskan :
b
∫ u dv = uv
a
b b
− ∫ v du
a a
Contoh
Hitung integral berikut
a.
∫ x ex dx = ∫ x d ( e x ) = x ex − ∫ e x dx = x ex − e x + C
e
e
e
e
b. ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x d ln x = x ln x − x = 1
1
1
1
1
(
) [
]
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
∫ ex sin x dx = −∫ ex d (cos x) = − ex cos x + ∫ ex cos x dx = − e x cos x + ∫ e x d (sin x )
= − ex cos x + ex sin x − ∫ ex sin x dx
c.
Bila suku paling kanan dipindah ke ruas kiri maka didapatkan :
1
∫ e x sinx = 2 ex (− cos x + sin x) + C.
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 13 ) Gunakan metode integral bagian untuk menyelesaikan integral
berikut:
1.
∫ x e− x dx
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
∫ x e 3x dx
∫ ln( 2 x + 3) dx
∫ x sec 2 x dx
∫ x 2 cos x dx
∫ sin−1 x dx
∫ tan −1 x dx
∫ x tan −1 x dx
∫ e − x cos x dx
2
10.
∫ ln( x 2 + 1) dx
0
e
11.
∫
ln x
2
e x
dx
π /2
12.
∫ x sin 4x dx
0
π
13.
2
∫
π
x csc 2 x dx
6
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Fly UP