...

MENGATASI KESULITAN MAHASISWA KETIKA MELAKUKAN

by user

on
Category: Documents
4

views

Report

Comments

Transcript

MENGATASI KESULITAN MAHASISWA KETIKA MELAKUKAN
MENGATASI KESULITAN MAHASISWA KETIKA MELAKUKAN
PEMBUKTIAN MATEMATIS FORMAL
Cecep Anwar HF Santosa
Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa, Banten
ABSTRAK
Melakukan pembuktian matematis formal merupakan hal yang sentral dalam matematika. Ketika
seseorang mempunyai dugaan tentang suatu hal, salah satu cara yang paling tepat untuk meyakinkan
bahwa hal tersebut benar adalah dengan melakukan pembuktian matematis yang sah. Proses
mendefinisikan pembuktian ini berkembang dari masa ke masa sesuai dengan perkembangan jaman.
Walaupun belum ada konsensus yang disepakati oleh matematikawan secara keseluruhan tentang apa
itu bukti matematis formal, namun proses membuktikan ini merupakan suatu masalah tersendiri
ketika bukti matematis dikenalkan saat pembelajaran berlangsung. Kesulitan ini terjadi tidak hanya
pada mahasiswa tingkat pertama perkuliahan, namun ternyata mahasiswa program yang lebih tinggi
(pascasarjana) pun mengalami kesulitan dalam membuktikan walaupun dengan porsi yang lebih kecil.
Jika ditelusuri proses berpikir pembuktian matematikawan ternyata sangat berbeda dengan alur
berpikir yang disajikan pada buku-buku teks matematika saat ini. Sehingga terdapat masalah ketika
mahasiswa melakukan proses pembuktian. Tulisan ini mencoba untuk menjelaskan pembuktian
matematis secara komprehensif dimulai dari sejarah pembuktian sampai dengan masa kini, dan
mengeksplorasi kesulitan-kesulitan pembuktian yang telah diteliti oleh para peneliti. Tulisan ini pun
mencoba untuk mendiskusikan suatu cara yang paling baik yang dapat dilakukan untuk mengatasi
kesulitan ketika mahasiswa dihadapkan pada proses membuktikan. Dimulai dari aspek kognitif,
afektif, dan commognition.
Kata Kunci: afektif, aspek kognitif, bukti formal, commognition
ABSTRACT
Doing formal mathematical proof is central in mathematics. When someone has a conjecture about
something, one of the most appropriate ways to ensure that we do the right thing is to do a legitimate
mathematical proof. The process of defining formal mathematics proof is changing from time to time
in accordance with the changing times. Although there has been no consensus reached by
mathematicians as a whole about what the formal proof, but the process of proving is another issue
when mathematical proof introduced during the learning. This difficulty occurs not only in the first
years student in undergraduate, but it turned out to graduted student have difficulty proving althought
with smaller portions. If we try to trace mathematicians’ process to do prove, we can see that it turned
out very different from the logic presented in mathematics textbooks today. This paper tries to explain
in a comprehensive mathematical proof starts from the historical of proofing to the present, and
explores the difficulties of proof which has been studied by researchers. This paper attempts to
discuss the best way to solve the difficulties when students are faced with proving process. Starting
from the cognitive, affective, and commognition
Keyword: affective, cognitive aspect, commognition, formal proof
PENDAHULUAN
Kemampuan pembuktian matematis
formal merupakan kemampuan yang perlu
dimiliki oleh mahasiswa matematika dan
pendidikan matematika. Kemampuan ini
penting tidak hanya
untuk melatih
kemampuan berpikir mahasiswa, namun
untuk mengetahui alur berpikir matematika
dan
lebih
jauh
lagi
untuk
ikut
mengembangkan matematika sebagai sebuah
disiplin ilmu.
Dalam mencapai kemampuan untuk
membuktikan suatu permasalahan dalam
matematika diperlukan pemahaman dan
konsep dasar matematika yang baik. Adapun
faktor untuk meningkatkan pemahaman dan
152
Cecep Anwar HF Santosa, Mengatasi Kesulitan Mahasiswa Ketika Melakukan Pembuktian Matematis Formal
konsep dasar matematika, seseorang harus
memiliki kemampuan bahasa matematika
yang baik pula. Hal ini sesuai dengan
pernyatan Gowers dan Jamison (2000) bahwa
membuat struktur dan sintak dari bahasa
matematika dengan jelas dan eksplisit dapat
meningkatkan pemahaman dan konsep dasar
matematika.
Yerizon
(2011),
NCTM
(2000)
menyatakan bahwa proses pembelajaran
matematika
membutuhkan
kemampuan
kognitif
tingkat
tinggi,
menghasilkan
argumentasi logis dan mempresentasikan
pembuktian formal yang secara efektif
menjelaskan penalaran mereka. Kemampuan
kognitif dalam membuktikan mencakup
kemampuan analisis, sintesis, dan evaluasi,
tidak hanya sekedar ingatan pengetahuan
faktual ataupun aplikasi sederhana dari
berbagai formula atau prinsip. Mahasiswa
diharapkan mampu untuk bernalar dengan
baik dan mengekspresikan hasil penalarannya
secara tertulis, sistematis, dan ketat
(rigorous). Kegiatan ini terjadi ketika
melakukan proses pembuktian (Yerizon,
2011).
Mengembangkan argumentasi logis
sebuah pembuktian adalah suatu cara alami
berpikir melalui pemberian suatu masalah.
Sebagai contoh, seorang guru mengajukan
suatu permasalahan menemukan empat
bilangan bulat berurutan yang jumlahnya 144.
Siswa
mencoba
menyelesaikan
dan
menyatakan bahwa ini merupakan hal yang
tidak mungkin. Guru merespon, “Baiklah, jadi
anda tidak dapat menemukan bilanganbilangan tersebut. Bagaimana anda tahu
bahwa pasti orang lain pun tidak akan
menemukannya?” Kemudian siswa tersebut
berusaha menyelesaikannya beberapa menit,
dan seseorang berkata, “Perhatikan, misalkan
bilangan pertama tersebut adalah n, tiga
bilangan selanjutnya adalah n+1, n+2, dan
n+3. Tambahkan keempatnya dan hasilnya
adalah 44. Sehingga diperoleh 4n+6=44, dan
solusinya adalah n = 9 ½. Artinya tidak ada
bilangan bulat yang memenuhi.”
Disini
pekerjaan membuktikan siswa sangat baik
untuk menjelaskan bahwa tidak ada bilangan
bulat yang memenuhi. Pada saat tersebut
seorang guru membantu siswa untuk berpikir
bagaimana
caranya
menumbuhkan
153
kemampuan membuktikan mereka (NCTM,
2000).
Martin dan Harel (1989), Moore (1994),
dan Epp (2003) melakukan penelitian
terhadap mahasiswa matematika yang
mengalami kesulitan dalam mengkonstruksi,
memahami,
dan
melakukan
validasi
pembuktian. Martin dan Harel (1989)
menemukan bahwa sebanyak 52% mahasiswa
matematika dalam pembelajaran menerima
sebuah argumen yang keliru sebagai sebuah
bukti dari pernyataan yang tidak familiar.
Moore (1994) melakukan observasi bahwa
beberapa mahasiswa pada kuliah transisi yang
sebelumnya mengambil kuliah tingkat atas
yang menuntut pembuktian, hampir semua
mahasiswa menyatakan bahwa mereka telah
bersandar pada menghafalkan bukti sebab
mereka tidak pernah sama sekali memahami
apa itu bukti maupun bagaimana cara
menuliskannya. Sedangkan Epp (2003)
menyatakan bahwa mahasiswa “miskin” akan
pembuktian
matematika
dan
usaha
menuliskan bukti tersebut.
Beberapa penelitian pun menyatakan
bahwa beberapa mahasiswa hanya dapat
menuliskan bukti hanya pada beberapa level
pembuktian. Penelitian ini dilakukan oleh Van
Dormolen (1977) yang mendefinisikan bahwa
terdapat tiga level pembuktian, yaitu level
dasar (ground level), level pertama (first
level), dan level kedua (second level). Selain
Van Dormolen, Balacheff (1988) pun
mendefinisikan level pembuktian yang serupa:
naïve empiricsm, crucial experiment, generic
example, dan thought experiment. Begitupun
Harel and Sowder (2003), Knuth (2002),
Martin and Harrel (1989), Almeida (2003)
melakukan hal yang serupa
Tentunya orang-orang yang sukses
memiliki
kemampuan
membuktikan
matematika dulunya merupakan seorang
pembelajar (siswa/mahasiswa). Mereka dapat
memiliki kemampuan tersebut tentunya
melakukan suatu proses pembelajaran baik di
suatu lembaga ataupun lainnya. Artinya
kemampuan
membuktikan
matematika
seharusnya dapat dimiliki oleh mahasiswa jika
kita dapat mereplikasi cara matematikawan
membuktikan
matematika.
Sehingga
pertanyaan yang muncul adalah bagaimana
154
Jurnal Pengajaran MIPA, Volume 18, Nomor 2, Oktober 2013, hlm. 152-160
para
matematikawan
bisa
memiliki
kemampuan tersebut? Apakah sebenarnya
metode yang mereka lakukan? Pertanyaan
tersebut tentunya harus bisa dijawab oleh
setiap orang yang mengajarkan matematika.
Apa yang harus dilakukan? Sekarang kita
telah melakukan apa untuk mengatasi masalah
tersebut?
Almeida (2003) dan Sriraman (2004)
menyatakan bahwa proses pembuktian
matematis yang dilakukan matematikawan
sangat berbeda dengan logika yang ada di
buku teks dan apa yang diajarkan di kelas.
Almeida
(2003)
menyatakan
bahwa
serangkaian proses
untuk
memahami
matematika (intuisi, trial dan error,
spekulasi, dugaan, bukti) yang dilakukan
matematikawan lebih banyak berbeda
diajarkan kepada siswa/mahasiswa. Saat ini
secara
tradisional
diajarkan
kepada
siswa/mahasiswa adalah
mengenalkan
teorema, bukti, dan kemudian contoh.
Maksudnya bahwa proses pembuktian yang
dilakukan oleh para matematikawan, tentunya
merupakan suatu proses yang meliputi proses
intuisi, trial dan error, spekulasi, dugaan, dan
kemudian pembuktian,
namun
ketika
pembuktian
itu
diajarkan
kepada
siswa/mahasiswa kita lebih memfokuskan
kepada
mengenalkan
teorema,
membuktikannya, dan kemudian memberikan
contoh yang terkait dengan teorema tersebut.
Artinya terdapat proses, alur berpikir, dan
kegiatan-kegiatan lain yang dilakukan oleh
matematikawan
yang
telah
mampu
membuktikan matematika tidak sepenuhnya
dipahami oleh mahasiswa kita. Sesuai dengan
hal
tersebut,
proses
meningkatkan
kemampuan pemahaman pembuktian formal
matematis (teori dan strategi mengajar) sangat
terbuka untuk diteliti yang pada gilirannya
akan meningkatkan kemampuan mahasiswa
terhadap pembuktian matematis formal.
Dari paparan singkat di atas, artinya
bahwa kemampuan pembuktian matematis
merupakan kemampuan yang penting dimiliki
oleh mahasiswa matematika dan pendidikan
matematika. Namun terdapat masalah dalam
proses dan hasil dari upaya membuktikan
pernyataan matematika.
Tulisan ini mencoba untuk menggali
upaya mengatasi kesulitan yang dihadapi
mahasiswa dalam melakukan pembuktian.
Artinya akan dicoba dijelaskan sebab
kesulitan dan bagaimana cara untuk
mengatasinya.
EVOLUSI BUKTI MATEMATIKA
Sebelum lebih jauh mengidentifikasi
sebab dan cara mengatasi kesulitan
membuktikan matematis, akan dijelaskan
terlebih dahulu sejarah dari pembuktian
Jika kita tarik ke masa lalu sejarah
pembuktian matematika, tentunya kita tidak
akan terlepas dari sejarah matematika. Tujuan
dari melakukan tinjauan sejarah adalah untuk
mencoba melihat perubahan pandangan dari
proses membuktikan sepanjang sejarahnya.
Kleiner (1991) menyatakan bahwa
gagasan pembuktian itu bukanlah hal yang
absolut. Matematikawan memandang bahwa
apa yang mendasari keterterimaan bukti
semakin meningkat. Masih menurut Kleiner
(1991) matematika rigor mirip seperti
memakai pakaian, gayanya hendaknya
disesuaikan dengan kesempatan tertentu, hal
ini akan mengurangi kenyamanan dan
menghalangi kebebasan bergerak jika terlalu
longgar atau terlalu ketat. Dari dua pernyataan
Kleiner tersebut bisa kita katakan bahwa
standar dari kerigoran dari bukti matematika
dapat berubah-ubah dan tidak harus dari yang
kurang rigor menuju ke yang lebih rigor.
Pada bagian ini kita akan mencoba menelusuri
secara ringkas evolusi tersebut.
Di mulai pada masa Babylonia (sekitar
2000 SM), pada masa ini matematika
berkembang sangat menakjubkan, namun
kurang mengenal konsep pembuktian. tidak
terdapat pernyataan umum pada matematika
Babylonia dan tidak ada usaha untuk
membuatnya deduktif, atau tidak ada validitas
dari hasil yang diperoleh. Matematika pada
masa ini menjadi landasan bagi konsep
matematika Yunani yaitu munculnya konsep
teorema dan konsep dari sebuah bukti.
Pandangan pembuktian berubah pada
masa Yunani. Orang Yunani mempelajari
aksioma-aksioma dan menghasilkan teorema-
Cecep Anwar HF Santosa, Mengatasi Kesulitan Mahasiswa Ketika Melakukan Pembuktian Matematis Formal
teorema yang merupakan hasil kerja keras
yang dikembangkan dalam buku karya Euclid,
Elements (unsur-unsur). Euclid mendesain
sebuah struktur logika yang didasarkan pada
sebuah kumpulan aksioma-aksioma yang
didefinisikan sebagai kumpulan pernyataan
yang tidak didasarkan pada aksioma yang
lain. Euclid menggambarkan sebuah sistem
geometris yang seluruhnya berdasarkan pada
aksioma-aksioma yang dibangunnya. Periode
panjang ini masih sedikit aktivitas yang
menekankan pada kerigoran (dari validitas
bukti) (Kleiner, 1991).
Era selanjutnya adalah era notasi
simbolik. Dikembangkannya teori fungsi
kompleks oleh Riemann, Weierstrauss, dan
Cauchy. Selama masa ini menjadi jelas bahwa
bukti-bukti Euclid secara actual mengandung
argumentasi yang didasarkan pada asumsiasumsi yang tidak tertulis. Sebagai hasilnya
matematikawan seperti David Hilbert (18621943) berusaha untuk membuat suatu sistem
matematika (sistem aksiomatik) yang lengkap
dan tidak overlap antara satu aksioma dengan
aksioma lainnya. Hilbert menuliskan secara
eksplisit semua aksioma yang diperlukan
untuk membuat landasan yang kuat.
Selanjutnya pada tahun 1930-an,
matematikawan lain seperti Borel, membuat
bukti matematika dari sudut pandang yang
lebih formal. Dikembangkannya beberapa
buku-buku teks seperti Teori Himpunan,
Aljabar, Topology, Fungsi bilangan riil satu
peubah, Topologi ruang vektor, dan
Pengintegralan
(Borel,
1998
dalam
Vanspronsen, 2008).
Pada masa yang hampir bersamaan, di
awal abad 20, berkembang tiga filsafat
matematika yang berbeda, yaitu formalisme,
logisisme, dan intuisionisme.
Ketiganya
sejatinya merupakan formalis, namun
memiliki perbedaan pandangan. Formalisme
lebih pada permainan simbol dalam
pembuktian, logisisme memandang bahwa
matematika harus bisa diterima sebagai
bentuk-bentuk logika, dan intuisionis lebih
menyatakan bahwa matematika harus bisa
dikonstruksi oleh akal budi manusia. Menurut
Hanna (1991), ketiganya memandang bahwa
matematika
dan
bahasa
matematika
merupakan entitas yang terpisah, matematika
155
adalah aktivitas yang mengandung konstruksi
intropektif daripada aksioma-aksioma dan
teorema-teorema.
Pandangan-pandangan ini setidaknya
membawa perubahan pada kurikulum
pembelajaran matematika, yaitu dengan
adanya kurikulum Matematika Baru (New
Math) di Amerika Serikat sekitar tahun 1960an. Intinya kurikulum SMP akan lebih baik
jika dikenalkan sistem yang formal dan rigor.
New Math ini mendapatkan respon sekitar
tahun 1970-an dengan adanya gerakan back
to basic (Ruseffendi, 2006). Kurikulum pada
periode waktu ini difokuskan pada
kemampuan prosedural untuk matematika
dasar
(kembali
kepada
kemampuan
menghitung). Kemudian beralih kepada isu
mengenai kemampuan pemecahan masalah
(problem solving) dan berpikir kritis (critical
thinking) yang dimulai pada akhir 1970 dan
awal 1980.
Masalah pembuktian pun menjadi
perhatian NCTM (1989, 2000). Namun
paradigmanya bergeser ke kemampuan
pemecahan masalah dan berpikir kritis. Pada
NCTM (2000), ruang lingkup menuliskan
bukti dikembangkan kepada semua level
pendidikan, dari mulai pre-K (pra-TK) sampai
kelas 12 (SMA). Sebagai tambahan, sebuah
perubahan terjadi sehingga siswa di sekolah
menengah atas harus berhadapan dengan
konstruksi bukti yang lebih sulit. Pada saat
yang sama definisi NCTM mengenai bukti
bergeser dari argumen-argumen yang ketat
dan rigor. Menurut NCTM (2000:341) anak
Pra-TK sampai kelas 12 siswa harus dapat
mengenal penalaran dan bukti sebagai aspek
dasar dari matematika, membuat dan
menginvestigasi
konjektur
matematika,
mengembangkan dan mengevaluasi argumenargumen dan bukti matematika, memilih dan
menggunakan berbagai tipe penalaran dan
metoda pembuktian.
Pengembangan komputer pun ternyata
memainkan peranan dalam pembuktian,
menurut Hanna (1995) dalam Vanspronsen
(2008)
terdapat
beberapa
ide
baru
pembuktian, diantaranya adalah zeroknowledge proof dan holographic proof.
Salah satu kegunaan komputer dalam
membuktikan adalah bukti dari teorema
156
Jurnal Pengajaran MIPA, Volume 18, Nomor 2, Oktober 2013, hlm. 152-160
empat-warna
(merupakan
permasalahan
diskrit) oleh Appel dan Haken pada tahun
1976. Komputer dengan kemampuannya
untuk menghitung dengan cepat dan tanpa
lelah memeriksa berbagai kemungkinan yang
sangat sulit jika dikerjakan dengan tangan.
Namun tentunya cara seperti ini tidak
sepenuhnya diterima oleh matematikawan,
mereka meragukan bahwa komputer dapat
mengambil alih peran dalam pembuktian. Isu
keterterimaan ini (social acceptance) menjadi
isu yang penting dalam proses dan hasil
membuktikan matematika.
Pada tahun yang sama (1976), Michael
Rabin, juga mengajukan tipe lain dari
membuktikan matematika, yang dinamakan
probabilistic proof (Kleinner, 1991). Dia
menemukan cara cepat untuk menentukan
pembuktian, dengan menghitung peluang
kesalahan sehingga minimal (misalkan 10-12).
Bukti yang diajukan oleh Rabin tersebut pun
tidak sepenuhnya diterima oleh sebagian
matematikawan, namun hal ini memberikan
pandangan
baru
tentang
pembuktian
matematika dengan menggunakan komputer
dan teori baru tentang pembuktian.
Dari paparan di atas, dapat kita ambil
kesimpulan bahwa pembuktian matematika
berkembang dari masa ke masa. Artinya
pandangan
tentang
menuliskan
bukti
matematika
dan
keterterimaan
dari
pembuktian tersebut bukanlah suatu hal yang
tetap, namun berubah dan mengalir sesuai
dengan perubahan dunia di sekitarnya.
PEMBUKTIAN MASA KINI
Definisi tepat tentang bukti formal
matematis sepertinya belum ada atau
setidaknya terdapat perbedaan tergantung
sudut pandang tertentu. Untuk memberikan
gambaran tentang definisi bukti, berikut akan
dituliskan beberapa definisi bukti formal:
Kassios (2009) menyatakan bahwa bukti
formal bukanlah sebuah argument bahasa
natural. Hal ini adalah perhitungan yang
mengikuti aturan-aturan yang tepat. Hal ini
merupakan inti dari metode formal. Sebagai
pengganti dari penggunaan bahasa natural
(informal) untuk alasan tentang kebenaran
suatu program (pernyataan), digunakan
notasi-notasi formal yang rigor (ketat), tidak
ambigu (jelas), dan dapat diperiksa secara
mekanis.
Hanna (2004) dalam Vanspronsen (2008)
menyatakan bahwa bukti matematis diperoleh
dari sekumpulan pernyataan eksplisit (seperti
aksioma, prinsip-prinsip yang diterima, atau
hasil yang sudah dibuktikan sebelumnya)
kemudian
menggunakannya,
dengan
menerapkan prinsip-prinsip logika untuk
membentuk sebuah argument deduktif yang
sahih.
Hanna dan Barbeau (2002) dalam
Vanspronsen (2008) menyatakan bahwa bukti
adalah serangkaian jumlah hingga dari
langkah-langkah logika dari apa yang
diketahui
menuju
sebuah
kesimpulan
menggunakan aturan-aturan inferensia.
Weber (2005) menyatakan bahwa
konstruksi bukti matematika merupakan
sebuah tugas matematika yang mana
mahasiswa disediakan beberapa informasi
awal (asumsi, aksioma, definisi) dan diminta
untuk
menerapkan
aturan
inferensia
(menggunakan
fakta-fakta
sebelumnya,
menerapkan teorema) sampai diperoleh
kesimpulan yang diharapkan.
Dari beberapa definisi bukti tersebut
dapat kita tentukan ciri-ciri dari bukti formal,
yaitu; notasi yang digunakan menggunakan
notasi-notasi formal (melibatkan variabel,
operator, Λ, V, --, ↔, →, tanda kesamaan
“=”, pengkuantifikasi
); logika yang
dibangun harus ketat (rigor), tidak ambigu,
menerapkan dan menggunakan prinsip logika
(inferensia),
dapat
divaliditas
secara
mekanistis; dan yang terakhir adalah cara
pembuktian diperoleh dari sekumpulan
pernyataan eksplisit (aksioma, definisi) dan
pernyataan yang sudah terbukti sebelumnya.
KESULITAN MAHASISWA DALAM
MEMBUKTIKAN
Walaupun belum terdapat konsensus
final dari definisi bukti matematis, namun
yang dirasakan oleh semua pihak yang
bergelut di dunia matematika dan pendidikan
matematika, bahwa proses mengkonstruksi
Cecep Anwar HF Santosa, Mengatasi Kesulitan Mahasiswa Ketika Melakukan Pembuktian Matematis Formal
bukti dan menuliskan bukti
merupakan masalah tersendiri.
matematis
Beberapa penelitian yang membahas
kesulitan bukti ini diantaranya oleh Moore
(1994). Moore melakukan penelitian dari 16
mahasiswa sarjana, 8 diantaranya adalah
mahasiswa matematika, 6 diantaranya adalah
mahasiswa pendidikan matematika, dan 2
mahasiswa adalah mahasiswa yang telah lulus
sarjana. Temuan penelitian Moore adalah
terdapat tujuh kesulitan yaitu:
D1. Mahasiswa tidak mengetahui definisi dan
mereka tidak dapat menyatakan definisi.
D2. Mahasiswa
mempunyai
sedikit
pemahaman intuitif dari konsep
D3. Gambar konsep mahasiswa tidak
memadai untuk melakukan pembuktian.
D4. Mahasiswa tidak dapat atau tidak ingin
membangun dan menggunakan contoh
mereka sendiri.
D5. Mahasiswa tidak mengetahui bagaimana
menggunakan definisi untuk menentukan
keseluruhan struktur pembuktian.
D6. Mahasiswa tidak mampu mengerti dan
menggunakan bahasa
dan notasi
matematika.
D7. Mahasiswa tidak tahu bagaimana cara
memulai bukti.
Masih menurut Moore (1994) sulitnya
mahasiswa dalam membuktikan pun tidak
hanya karena kurangnya pengetahuan
terhadap
konten
materi.
Kadangkala
mahasiswa mengetahui definisi dan dapat
menjelaskannya secara informal namun tidak
dapat menggunakan definisi untuk menuliskan
bukti (D5). Moore pun menyatakan bahwa
sumber kesulitan itu disebabkan oleh tiga
aspek, yaitu pemahaman konsep (definisi,
gambar,
dan
kegunaan),
kekurangan
pengetahuan logika dan metode pembuktian,
juga keterbatasan dari bahasa dan notasi.
Mahasiswa pun lebih fokus pada prosedur
dibandingkan konten. Lebih jauh lagi,
mahasiswa menyadari bahwa mereka lebih
menghafal bukti karena mereka tidak
mengerti apa itu bukti dan bagaimana
menuliskannya.
Baker (1996) dalam Vanspronsen (2008)
pada penelitiannya terhadap 40 siswa SMA
dan 13 mahasiswa menemukan bukti bahwa
siswa dan mahasiswa hanya fokus kepada
157
prosedur dibandingkan konten. Mereka lebih
fokus pada bentuk dibandingkan pemahaman
konsep yang harus ada dalam pembuktian.
hanya 4 mahasiswa dan 5 siswa SMA yang
membuat referensi tertulis dalam menuliskan
bukti terhadap apa yang mereka tunjukkan
sebagai bukti. Artinya mahasiswa hanya
memfokuskan perhatian kognitif mereka pada
prosedur dibandingkan pada konsep atau
aplikasinya. Baker menyatakan bahwa
kesulitan itu disebabkan lebih karena
kurangnya pengetahuan konten matematika.
Mingus and Grassl (1999) dalam
Vanspronsen (2008) dalam sebuah penelitian
pada 30 calon guru dan 12 guru matematika
sekolah menengah menemukan fakta bahwa
kurangnya pengetahuan atau pengalaman
bukan satu-satunya masalah, namun perlu
paparan berulang-ulang kepada siswa untuk
mendapatkan kepercayaan yang merupakan
masalah yang krusial. Penelitian ini diawali
dengan mengeksplorasi keyakinan dalam
pembuktian,
pengalamannya
dalam
membuktikan, dan keyakinan mereka tentang
aturan pembuktian dalam matematika dan
mengajar. 69% calon guru sekolah menengah
menyatakan bahwa pembuktian seharusnya
diajarkan jauh sebelumnya, jika mungkin di
kelas 10, karena hal ini yang menurut mereka
menjadikan
pembuktian
matematika
merupakan hal yang sulit dilakukan ketika
sekolah menengah atas dan bahkan di tingkat
perguruan tinggi.
Weber (2011) melakukan penelitian pada
4 mahasiswa sarjana dan 4 mahasiswa
program doktoral yang menunjukkan fakta
bahwa mereka mengalami kesulitan dalam
pembuktian khususnya pada tujuh proporsi
homomorfisme. Hasilnya adalah mahasiswa
program doktor mencapai hasil yang
mendekati sempurna sekitar 95% berhasil
dibuktikan. Pada mahasiswa sarjana hanya
mampu membuktikan 30% proposisi yang
diberikan. Kesulitan dikarenakan oleh
kemampuan dan pengetahuan memilih fakta
dan teorema untuk diterapkan.
Remillard (2010) menyatakan bahwa
kesulitan mahasiswa berhubungan dengan
pembuktian matematika sudah banyak diteliti,
isu tentang prosedur, konsep, dan komunikasi
selalu menjadi isu dalam membahas kesulitan
158
Jurnal Pengajaran MIPA, Volume 18, Nomor 2, Oktober 2013, hlm. 152-160
membuktikan matematis. Mahasiswa bergelut
dengan proses memahami konstruksi bukti
dan ketepatan dalam menuliskan bukti
matematis, begitupun dengan aturan logika
dalam konstruksi bukti.
Fakta-fakta yang telah diungkapkan
dalam berbagai penelitian tersebut tentunya
menjadikan informasi dan menambah
pemahaman kita dalam memahami bagaimana
kesulitan yang terjadi ketika mempelajari
bukti matematis dan sebagai konsekuensinya
bagaimana cara yang paling baik untuk
mengajarkan bukti matematis.
Dari
penelitian-penelitian
tersebut
terdapat beberapa penyebab dari kegagalan
atau ketidaksempurnaan mahasiswa ketika
melakukan pembuktian, yaitu berkaitan
dengan beberapa variabel, diantaraya
1. Kurangnya pemahaman konsep
2. Kurangnya pengetahuan logika dan
metode pembuktian
3. Keterbatasan
mahasiswa
dalam
memahami bahasa dan notasi matematika
4. Kemampuan dan pengetahuan memilih
fakta dan teorema untuk diterapkan
5. Aspek afektif berupa keyakinan dalam
membuktikan
Bagaimana mengatasi kelima penyebab
tersebut? Seperti disinggung di awal tulisan
ini, tentunya proses pembuktian yang
dilakukan mahasiswa ketika belajar mengajar
di kelas berbeda dengan proses pembuktian
yang dilakukan oleh matematikawan yang
sudah
berhasil
memiliki
kemampuan
membuktikan matematis.
Untuk
mengetahui
bagaimana
matematikawan melakukan bukti, Sriraman
(2004) melakukan penelitian kepada 5
matematikawan,
dalam
melakukan
pembuktian para matematikawan tersebut
terlibat dalam interaksi sosial, melakukan
perumpamaan
(imagery),
intuisi
dan
kemampuan heuristik seringkali mengawali
konstruksi pembuktian. Sriraman menyatakan
bahwa pendekatan matematikawan untuk
melakukan pembuktian sangat berbeda
dengan
pendekatan
logika
yang
dipresentasikan oleh kebanyakan buku-buku
teks.
Dalam melakukan validasi bukti,
matematikawan melakukan banyak macam
strategi. Termasuk di dalamnya adalah
penalaran formal, pengkonstruksian bukti
yang rigor, penalaran deduktif informal, dan
penalaran berbasis contoh. Begitu pula
kemampuan konseptual matematikawan,
domain pembuktian matematis, dan status
bukti merupakan faktor yang penting dalam
melakukan validasi.
Sfard (2002, 2008) dalam Remilard
(2010) mengungkapkan suatu gagasan
commognition atau pendekatan komunikasi
terhadap aspek kognitif. Menampilkan aspek
teoritik dan pandangan penelitian tentang hal
tersebut. Ringkasnya, akar pendekatannya
adalah pada psikologi sosial budaya. Sebagai
ganti dari berfokus kepada aspek yang sulit
diukur seperti skema mental siswa, Sfard
berfokus pada sesuatu yang dapat dilihat
perubahannya, yaitu konteks sosial.
Dalam
membuktikan
matematis,
mahasiswa perlu berinteraksi antar mereka
dan berinteraksi aktif dengan pengajarnya.
Sehingga ketika pembelajaran di kelas dengan
membuat diskusi grup kecil diyakini dapat
membantu
mahasiswa
dalam
proses
membuktikan, dimana terdapat interaksiinteraksi yang alami dan menyenangkan. Hal
ini ternyata dapat meningkatkan kemampuan
mahasiswa dalam membuktikan dibandingkan
mereka bekerja sendiri-sendiri.
Disamping itu, Vanspronsen (2008)
menyatakan bahwa strategi individu juga
merupakan hal yang penting dalam
melakukan pembuktian. Beberapa strategi
individu
tersebut
adalah;
pertama,
penggunaan contoh, ketika melakukan bukti,
penggunaan contoh merupakan suatu hal yang
lazim dilakukan oleh individu, hal ini penting
untuk mendapatkan ide dan mendalami
pemahaman bukti, dan hal ini membentuk
bagian dari suatu bukti. Kedua, menggunakan
kesamaan-kesamaan, ketika melakukan bukti
harus melakukan manipulasi yang digunakan
ketika melakukan bukti. Ketiga, visualisasi,
ketika melakukan bukti penting bagi individu
untuk membuat visualisasi yang akan menuju
ke bukti yang diinginkan. Keempat adalah self
regulation (kemandirian). Salah satu isu yang
penting
dalam
membuktikan
adalah
kemandirian belajar, kebanyakan mahasiswa
yang melakukan bukti tidak mampu tetap
Cecep Anwar HF Santosa, Mengatasi Kesulitan Mahasiswa Ketika Melakukan Pembuktian Matematis Formal
pada jalur menuju pembuktian. Beberapa
mahasiswa ketika melakukan pembuktian
tidak mampu memanggil kembali apa yang
telah dilakukannya sebelumnya, dan tersesat
saat membuktikan dan gagal menemukan
bukti. Beberapa mahasiswa pun tidak dapat
melihat ide kunci dan gambaraan umum yang
diperlukan untuk melengkapi bukti. Kelima,
mengenali ide kunci. Aspek ini penting dalam
membuktikan. Karena ide kunci pembuktian
untuk masing-masing bukti berbeda dengan
pembuktian untuk soal yang berbeda. Artinya
ide ini merupakan hal yang krusial untuk
dapat sukses dan merupakan komponen utama
dalam melakukan pembuktian.
Moore (1994) lebih menekankan pada
aspek kognitif yang dikaitkan dengan adanya
beban kognitif (cognitive load) ketika
mahasiswa
dihadapkan
pada
proses
membuktikan. Skema yang terbentuk pada
mahasiswa belum padu dan terpisah-pisah, hal
tersebut berbeda dengan skema pembuktian
yang ada pada matematikawan yang telah
padu dan berkaitan kuat. Sehingga Moore
menyarankan untuk dilakukannya sebuah
kuliah transisi bagi mahasiswa yang terfokus
pada pembahasan bahasa matematika dan
pembuktian yang akan menurunkan beban
kognitif mahasiswa ketika melakukan
pembuktian.
Sebagai penutup dari tulisan ini, masalah
pembuktian matematis ini belum terjawab
secara keseluruhan. Banyak aspek dan sudut
pandang lain yang dapat digali dan dijadikan
sebagai bahan penelitian yang berkaitan
dengan bukti matematis formal. Permasalahan
mengajarkan bukti formal yang lebih
menekankan pada teori mengajar perlu
kiranya dikembangkan lebih baik sehingga
akan mengatasi permasalahan ini secara lebih
baik dan komprehensif.
DAFTAR PUSTAKA
Almeida, D. (2003). Engendering proof
attitudes: Can the genesis of
mathematical knowledge teach us
anything? International Journal of
Mathematical Education in Science and
Technology, 34(4), 479-488
159
Balacheff, N. (1988). Aspect of proof in
pupils’ practice of school mathematics.
In D. Pimm (Ed.), Mathematics,
Teachers and Children (pp. 216-236).
Great Britain: Hodder and Stoughton
Educational.
Epp, S. (2003). The role of logic in teaching
proof. The American Mathematics
Monthly, 110(10), 886-899.
Gowers, W.T. The Language and Grammar
in Mathematics. Diunduh dari
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/
grammar.pdf tanggal 8 Mei 2013.
Hanna, G. (1991). Mathematical Proof. In
David Tall, Advanced Mathematical
Thinking (p.54-61). The Netherland:
Kluwer Academic Publisher.
Jamison, R.E. (2000). Learning and Language
in Mathematics in Language and
Learning Across the Disciplines.
Diunduh dari wac.coloasate.edu.
tanggal 10 Mei 2013.
Kassios, Y. 2009. Formal Proof. Diunduh
dari
http://www.cs.toronto.edu/~hehner/
aPToP/formal proof-1.pdf tanggal 26
Maret 2012.
Kleiner, I. (1991). Rigor and proof in
mathematics: A historical perpective.
Mathematics Magazine.
Knuth, E. (2002). Secondary school
mathematics teachers’ conception of
proof. Dalam Journal for Research in
Mathematics Education, 33(5), 379405.
Martin, W. G,, & Harel, G. (1989). Proof
frames of preservice elementary
teachers. Journal for Research in
Mathematics Education, 20(1), 41 – 51.
Moore, R.C., 1994. Making Transition to
Formal Proof. Journal of Educational
Studies in Mathematics 27: 249-266.
Kluwer Academic Publisher:
Netherlands.
NCTM (2000). Principles and Standar for
School Mathematics. Reston, VA: The
National Council of Teachers of
Mathematics, Inc.
160
Jurnal Pengajaran MIPA, Volume 18, Nomor 2, Oktober 2013, hlm. 152-160
Remillard, K.S. (2010). Exploring the
learning of mathematicak proof by
undergraduate mathematics majors
through discourse analysis.
Proceedings of the 13th Annual
Conference in Researh in
Undergraduate Mathematics Education.
Ruseffendi, E.T. (2006). Pengantar Kepada
Membantu Guru Mengembangkan
Kompetensinya dalam Pengajar
Matematika untuk Meningkatkan
CBSA. Tarsito: Bandung
Sowder, L., & Harel, G. (2003). Case studies
of Mathematics majors’ proof
understanding, production, and
appreciation. Canadian Journal of
Science, Mathematics, and Technology,
3, 251-267.
Sriraman, B. 2004. The Characteristics of
Mathematical Creativity. The
Mathematics Educator, Vol 14, No.1
(19-34).
Van Dormolen, J. (1977). Learning to
understand what giving a proof really
means. Educational Studies in
Mathematics, 8, 27-34.
Vanspronsen, H.D. 2008. Proof Processes Of
Novice Mathematics Proof Writers.
Dissertation University of Montana,
Missoula.
Yerizon (2011). Peningkatan Kemampuan
Pembuktian Dan Kemandirian Belajar
Matematik Mahasiswa Melalui
Pendekatan M-Apos. Disertasi UPI
Bandung.
Fly UP