...

Simulasi Interpolasi Lagrange dalam Penentuan Umur Fosil

by user

on
Category: Documents
2

views

Report

Comments

Transcript

Simulasi Interpolasi Lagrange dalam Penentuan Umur Fosil
SEMINAR NASIONAL FISIKA DAN PEMBELAJARANNYA 2015
Simulasi Interpolasi Lagrange dalam Penentuan Umur Fosil (Carbon
Dating)
WIDJIANTO, SULUR, NUGROHO ADI PRAMONO, ERA BUDI PRAYEKTI
Dosen Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang,
E-mail: [email protected]
TEL: 081274478849
ABSTRAK: Penelitian ini bertujuan untuk membuat simulasi interpolasi lagrange dalam
penentuan umur fosil. Umur fosil merupakan salah satu bagian penting dalam arkeologi antara
lain untuk mengetahui sejarah batuan sedimen bumi, menentukan kaitan antar jenis batuan
pada satu tempat/lapisan dengan tempat/lapisan lain, dan mengajukan atau membuktikan
sebuah teori. Salah satu cara untuk menentukan umur fosil adalah dengan mendeteksi
keberadaan unsur radioaktif karbon–14 (C14), yang sering disebut carbon dating. Laju peluruhan
C14 berkurang seiring pertambahan waktu sebanding dengan waktu paronya. Rasio C14 sisa/C14
awal umumnya tidak merupakan kelipatan waktu paro, sehingga diperlukan metode interpolasi
untuk menentukan nilai rasio tersebut. Proses peluruhan dapat disimulasikan dengan gambar
grafik fn(x) versus x, dimana fn(x) menyatakan Rasio C14 sisa/C14 awal, x menyatakan umur fosil
yang akan dicari, dan x0, x1, x2,… merupakan titik-titik acuan perhitungan pada koordinat
waktu paro. Data yang disajikan dalam bentuk grafik kemudian di analisis. Analisis dilakukan
dengan membandingkan data grafik dengan hitungan secara analitis. Analisis ini diarahkan
untuk memberi gambaran lengkap tentang keakuratan program setelah dibandingkan dengan
penghitungan secara analitis.
Kata Kunci: Simulasi interpolasi lagrange, carbon dating
PENDAHULUAN
Umur fosil merupakan salah satu
bagian penting dalam arkeologi antara
lain untuk mengetahui sejarah batuan
sedimen bumi, menentukan kaitan antar
jenis batuan pada satu tempat/lapisan
dengan
tempat/lapisan
lain,
dan
mengajukan atau membuktikan sebuah
teori. Oleh karena itu penentuan umur
fosil secara akurat sangat diperlukan.
Salah satu cara untuk menentukan umur
fosil
adalah
dengan
mendeteksi
keberadaan unsur radioaktif. Salah satu
contoh adalah keberadaan radioaktif
karbon–14 (C14), yang sering disebut
carbon dating (Yuliati et al, 2005).
Ketika organisme mati, maka
konsumsi
karbon
berhenti.
Karbon
memiliki dua isotop yaitu karbon–12 (C12)
yang bersifat stabil dan karbon–14 (C14). .
Untuk menyingkat penulisan karbon-12
dan karbon-14 berturut-turut ditulis
dengan C12 dan C14 (Suyarso, 2010) (Yusuf
et al, 2015).
merupakan
radioisotop
yang
bersifat tak stabil dan meluruh dalam
fungsi waktu. Perbandingan C14 dengan
ISBN978-602-71273-1-9
C12 pada saat organisme mati sama dan
tetap untuk setiap organisme. Tetapi
karena C14 meluruh, perbandingannya
akan
berkurang
seiring
dengan
14
pertambahan waktu . Kuantitas C pada
suatu fosil dapat dihitung berdasarkan
pengukuran laju peluruhannya yang
dapat dihitung
dengan alat pencacah.
Berdasarkan hasil pengukuran maka akan
diperoleh rasio C12 dan C14 dan
selanjutnya membandingkannya dengan
rasio dalam organisme sesaat setelah
mati maka umur fosil dapat ditentukan
(Suci et al, 2013).
Umur fosil dapat diperoleh dari
grafik yang menghubungkan persentase
kuantitas
C14 dengan waktu paro.
Persamaan yang mengatur hubungan
kedua variabel ini dapat diperoleh dengan
perhitungan analitik atau numerik
dengan pola interpolasi.
Metode numerik jauh lebih mudah
dan sederhana dibandingkan dengan
penyelesaian analitik dengan akurasi
yang cukup tinggi. Banyak interpolasi
yang dapat diterapkan antara lain
interpolasi linier, kuadratik, polinom, dan
F-TK -18
SEMINAR NASIONAL FISIKA DAN PEMBELAJARANNYA 2015
Lagrange. Interpolasi linier menggunakan
dua titik untuk menentukan persamaan
garis
lurus
sedangkan
interpolasi
kuadratik menggunakan tiga titik untuk
persamaan kuadrat. Interpolasi polinom
menggunakan
polinom
sedangkan
interpolasi
Lagrange
menggunakan
pendekatan deret untuk penentuan
persamaan garis.
Para ahli arkeologi ingin mengetahui dan
menggambarkan peradaban dan kurun
waktu
zaman
purba,
untuk
membandingkan dengan peradaban saat
ini, serta mempelajari proses evolusi yang
terjadi di bumi ini
sedangkan jumlah C14 berkurang karena
mengalami peluruhan, yang sering disebut
dengan carbon dating.
Avogadro telah menemukan bahwa
dalam 1 mol zat mengandung 6,03.1023
atom. Berdasarkan perhitungan penelitian
sifat radioaktivitas diperoleh waktu-paro
C14 (Tparo) sebesar 5730 tahun.
Laju peluruhan R ditulis dengan


.sebanding
dengan
banyaknya
partikel/inti. Jika N(t) adalah jumlah atom
pada saat t, maka laju peluruhan zat
radioaktif dapat ditulis
=



= − ,
(1)
dimana  konstanta peluruhan.
Integrasi
dengan
variabel
terpisah
diperoleh persamaan analitis
N(t)= N(0) −/ ,
(2)
dengan N(0) adalah jumlah inti pada saat
t = 0. Persamaan ini dapat dikembangkan
dengan mengambil kondisi paro, yaitu
saat inti meluruh hingga sisa separo,
dimana t dinamakan waktu paro ( ).
Dengan menggunakan persamaan (2)
diperoleh hubungan  = τ. ln2 , atau
=Tparo /ln2. Sehingga persamaan (1)
dapat ditulis menjadi


Gambar 1. Contoh gambar temuan fosil
Gambar 1 di atas adalah empat
contoh temuan fosil yang pernah
ditemukan oleh para ahli arkeologi. Cara
menentukan atau menghitung umur fosil
tersebut dapat dilakukan dengan berbagai
metode ilmiah, dan perlu uraian yang
cukup panjang. Fosil diyakini berasal dari
mahluk hidup yang mati ribuan tahun
lalu. Dalam fosil terdapat unsur carbon,
yang merupakan kunci dari penentuan
umur fosil (Suci, 2013) (Suyarso, 2010).
Unsur C12 yang stabil dan C14 yang
bersifat radioaktif dalam perbandingan
yang selalu konstan sebesar
1,3.10-12,
11
setara dengan 7,826.10 atom/mol akan
terbentuk pada tulang organisme yang
masih hidup (Cromer et al, 1974).
Sedangkan ketika organisme mati proses
pembentukan
kedua
unsur
karbon
tersebut terhenti. Jumlah C12
tetap,
ISBN978-602-71273-1-9
=


(3)
Atau
R = 0,693 N/Tparo peluruhan/s.
(4)
Sehingga laju peluruhan C14 maksimum,
yaitu sesaat setelah organisme mati
menjadi
Rmak=0,693*7,826*1011/(5.730*365*24*60)
=180,079/mol.menit. Laju peluruhan ini
dapat ditentukan dengan pemindai cacah
seperti Geiger Counter atau sejenisnya.
Laju peluruhan C14 berkurang
seiring pertambahan waktu sebanding
dengan waktu paronya. Setelah 5.730
tahun jumlah atom C14 akan bersisa
separonya atau 3,913. 1011 atom/mol dan
setelah 11.460 tahun akan bersisa
1,9565.1011 atom/mol. Begitu seterusnya
setiap pertambahan waktu kelipatan
5.730 tahun, sisa C14 menjadi satu per dua
dipangkatkan banyaknya kelipatan 5.730
dikalikan jumlah atom awal. Dalam
pernyataan matematis dapat ditulis jika
waktu bertambah sebanyak 5.730 x n
F-TK -19
SEMINAR NASIONAL FISIKA DAN PEMBELAJARANNYA 2015
tahun maka sisa atom C14 menjadi 1/2n x
7,826.1011 atom/mol.
Data dari pemindai cacah (R)
dipakai untuk menghitung banyaknya
atom C14 yang tersisa. Dari persamaan (1)
diperoleh
N(C14) tersisa = R .Tparo /0,693.
(5)
Normalnya 1 mol zat mengandung 6,03.
1023 atom.
Rasio C14/C12 tersisa = R .Tparo /0,693/
6,03.1023
(6)
Sehingga rasio C14 tulang mati dengan C14
tulang hidup:
Rasio C14 sisa/C14 awal = R .Tparo /0,693/
6,03.1023 / 1,3.10-12
(7)
Interpolasi dalam metode numerik
dipergunakan untuk menentukan nilai
antara dari sejumlah titik acuan. Salah
satu metode interpolasi yang mudah dan
sederhana adalah Interpolasi Lagrange,
yang mereduksi deferensiasi terbagi dari
Newton (Sauer et al, 1995).
Rasio C14 sisa/C14 awal umumnya
tidak merupakan kelipatan waktu paro,
sehingga diperlukan metode interpolasi
untuk menentukan nilai rasio tersebut.
Metode interpolasi yang digunakan adalah
interpolasi Lagrange dengan rumus
 () = ∑=  ()() ,   () =
−
∏=0
(8)(8)
 −
≠


Orde pertama dirumuskan dengan
−
 () = 
 −
−
( ) + 
 −
( ) (9)
Sedangkan orde kedua rumusnya
(− )((− )
 () = (
( ) +
 − )( − )
(− )((− )
(− )((− )
( − )( − )
( ) + (
 − )(− )
( )
(10)
Dan seterusnya, sampai orde ke-n.
Proses
peluruhan
dapat
disimulasikan dengan gambar grafik fn(x)
versus x. Dimana fn(x) menyatakan Rasio
C14 sisa/C14 awal, x menyatakan umur fosil
yang akan dicari dan x0, x1, x2,…
merupakan titik-titik acuan perhitungan
pada koordinat waktu paro.
Kepresisian
dan
keakurasian
pemilihan titik-titik acuan inilah yang
merupakan
kunci
dari
ketelitian
perhitungan. Semakin presisi titik-titik
ISBN978-602-71273-1-9
acuan mempunyai nilai yang sangat
berdekatan (closed) akan semakin teliti
perhitungannya.
Penelitian
ini
menggunakan
interpolasi Lagrange karena lebih tepat
untuk
menentukan
persamaan
radioaktivitas karbo C14 yang berbentuk
eksponensial. Interpolasi Lagrange juga
memiliki tingkat akurasi yang tinggi
karena menggunakan deret untuk mencari
titik-titik antara n buah titik.
Tujuan khusus penelitian ini
adalah
1. Mengembangkan program komputer
untuk simulasi interpolasi Lagrange
pada formula Carbon Dating untuk
menentukan umur fosil.
2. Menguji
keakuratan
program
komputer untuk simulasi interpolasi
Lagrange pada formula Carbon Dating
untuk menentukan umur fosil.
Penelitian
ini
berbasis
pada
penyelesaian
numerik.
Teknik
penyelesaian numerik merupakan teknik
yang berguna untuk menyelesaikan
permasalahan fisika yang kompleks dan
rumit secara sederhana dan mudah.
Teknik ini juga bermanfaat untuk
membangun model dan alur pikir untuk
menyelesaikan permasalahan. Dengan
demikian
penelitian
ini
memiliki
keutamaan
untuk
menyelesaikan
permasalahan
fisika
lain
dengan
pengembangan pola/alur pikir yang
mendukungnya.
Penelitian merupakan terobosan
baru sehingga memiliki urgensi untuk
pengembangan penyelidikan aspek-aspek
lain dari fosil dengan bantuan simulasi
komputer.
PROSES DAN METODE
Berdasarkan masalah penelitian
dan
tujuan
yang
akan
dicapai,
pelaksanaan penelitian ini dirancang
sebagai berikut
1. Implementasi Metode Numerik
1) Menetapkan Sistem Fisis
Sistem fisis yang ditinjau adalah
sebuah obyek berupa fosil dengan
rasio C14 dan C12 yang setimbang
sebagai nilai awal. Rasio yang
setimbang dipilih karena pada saat
organisme tersebut masih hidup
F-TK -20
SEMINAR NASIONAL FISIKA DAN PEMBELAJARANNYA 2015
rasio C14 dan C12 setimbang. Ketika
mati,
kandungan
C12
tetap
14
sedangkan C meluruh sehingga
perbandingan C14 dan C12 tidak
sama lagi.
Berdasarkan
perbandingan
tersebut, maka akan diketahui
berapa lama C14
melakukan
peluruhan. Dengan mengetahui
berapa lama fosil meluruh, maka
kita akan tahu sejak kapan
makhluk yang ditinjau tersebut
mati.
2) Pendekatan
Untuk mendapatkan hasil yang
akurat,
sebelum
dilakukan
interpolasi Lagrange pada titik t,
perlu
dicari titik-titik bantu
sebagai titik acuan yang relatif
lebih dekat dengan titik t. Titiktitik acuan ini dicari berdasarkan
dua titik T/2 yang mengurung titik
t.
3) Implementasi Interpolasi Lagrange
Interpolasi Lagrange dilakukan
dengan menggunakan titik-titik
bantu.
2. Strategi Pemecahan Masalah
1) Menggambar kurva N vs T/2.
2) Menentukan titik di mana akan
dicari umur fosil (jumlah C14
tersisa)
3) Menentukan letak titik diantara
dua titik paruh sebagai titik acuan,
apakah mendekati batas bawah
atau batas atas
4) Membuat titik tepat diantara titik
paruh, jadikan titik acuan baru
5) Meninjau kedudukan titik yang
dicari, jika belum cukup dekat
dengan salah satu titik acuan,
ulangi langkah 3), jika tidak
lanjutkan ke langkah 6)
6) Terapkan interpolasi Lagrange
untuk menentukan nilai fungsi dari
titik
yang
dicari
dengan
menggunakan titik-titik acuan
terakhir
7) Algoritma
- Mulai
- Inputkan hasil pencacah Geiger
(R).
- Diketahui avogadro, rasio C14
seimbang, waktu paro.
ISBN978-602-71273-1-9
-
Hitung
banyaknya inti C14
yang tersisa.
Hitung rasio C14 tersisa = C14
tersisa/Avogadro.
Fraksi
C14
=
rasio
C14
14
tersisa/rasio C seimbang.
Jika fraksi C14 kelipatan (1/2)n
maka umur fosil = n.Tparo.
Jika fraksi C14 bukan kelipatan
(1/2)n maka umur fosil dihitung
dengan interpolasi.
Gambarkan grafik.
Selesai.
HASIL DAN SIMPULAN
1) Pengkodean dan Eksekusi
Kode dituliskan dalam bahasa
pemrograman Delphi. Data yang
terkait dengan penentuan carbondating
diperoleh
dengan
menjalankan program. Luaran
utama adalah rasio C14 dan C12 (N)
pada waktu yang ditentukan saat
menjalankan program (sebagai
input).
2) Penyajian Data
Data yang dihasilkan ditampilkan
dalam bentuk kurva N-T/2
3) Analisis
Analisis dilakukan terhadap kurva N-T/2
dengan
membandingkannya
dengan
hitungan
secara
analitis.
Analisis
diarahkan untuk memberi gambaran
lengkap tentang keakuratan program
setelah
dibandingkan
dengan
penghitungan secara analitis.
DAFTAR PUSTAKA
Cromer, H, Allan.1974. Physics For The
Life Sciences.Mc Graw Hill. New York.
Sauer, T, dkk. 1995. On Multivariate
Lagrange Interpolation. Mathematics
F-TK -21
SEMINAR NASIONAL FISIKA DAN PEMBELAJARANNYA 2015
of Computation Volume 64, Number
211, Page 1147-1170, July 1995.
Suci, A, dkk. 2013. Pembuatan Standar
Modern Karbon Gula Pasir Indonesia
untuk Menentukan Umur Fosil Kayu
dan Moluska Menggunakan Metode
Radio Karbon. Prosiding Seminar
Nasional Sains dan Teknologi Nuklir
PTNBR-BATAN Bandung, 4 Juli
2013.
Suyarso. 2010. Melacak Perubahan Muka
Laut Masa Laut Masa Lampau
Berdasar
Fosil
Kerang-kerangan
(Ostrea.Sp)
di
Pulau
Belitung.
ISBN978-602-71273-1-9
Indonesian Journal of Marine Sciences
September 2010 Vol 15 (3) 135-142
ISSN 0853-7291
Yuliati, H, dkk. 2005.
Radionuklida
Kosmogenik Untuk Penanggalan.
Buletin Alara, Volume 6 No.3 April
2005 Hal 163-171.
Yusuf, A, dkk. 2015. Penggunaan
Etanolamin Sebagai Absorber CO2
Pada Penentuan Umur Terumbu
Karang di Kepulauan Spermonde
Melalui
Metode
LSC
(Liquid
Scintillation
Counting).
Skripsi
Universitas Hasanuddin.
F-TK -22
Fly UP