...

Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph

by user

on
Category: Documents
3

views

Report

Comments

Transcript

Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph
METODE PELABELAN TOTAL SUPER SIMPUL AJAIB PADA GRAPHGRAPH SIKEL BERORDO SAMA
Ika Tri Munawaroh *), Dr. Julan Hernadi, M.Si *)
Prodi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Ponorogo
Abstrak
Pelabelan total super simpul ajaib (PTSSA) merupakan bentuk khusus dari pelabelan total
simpul ajaib, yang mana pada PTSSA label-label terkecilnya terletak pada simpul-simpulnya.
Selain pada graph tunggal, PTSSA juga dapat dimiliki oleh beberapa graph sejenis yang berordo
sama. Salah satunya pada beberapa graph sikel berordo sama. Pada skripsi ini dibahas tentang
metode yang digunakan untuk membentuk PTSSA pada beberapa graph sikel berordo sama.
Dalam penelitian ini, hal pertama yang diperhatikan adalah adanya PTSSA pada graph tunggal
yang akan diberi label. Kemudian dibuktikan keteraturan derajat dari simpul-simpulnya. Setelah
itu, dasar-dasar pelabelan pada graph
dianalogikan pada graph yang akan diberi label.
Akhirnya, PTSSA dikonstruksi pada graph berordo sama sebanyak . Berdasarkan penelitian ini,
metode untuk membentuk PTSSA pada beberapa graph sikel berordo sama adalah sebagai berikut:
1. Ambil sebuah graph sikel lengkap dengan PTSSA nya, 2. Tentukan nilai bilangan ajaibnya, 3.
Tentukan nilai , 4. Ubah PTSSA pada graph sikel tunggal ke label alami, 5. Bentuk himpunan
, 6. Gambar graph
sebanyak dan beri label netral pada masing-masing graph tersebut
berdasarkan anggota
sehingga terbentuk label netral pada
sebanyak , 7. Ubah label pada
dengan bilangan asli dengan aturan
dan
(
)
(
)
. Karena metode ini diperoleh dengan menurunkan dasar-dasar pelabelan
dari graph teratur, maka metode ini hanya dapat diterapkan pada graph teratur yang memiliki
PTSSA. Selain itu, pada skripsi ini juga diberikan beberapa graph yang dalam jumlah tunggalnya
tidak memiliki PTSSA. Graph tersebut adalah graph yang memuat simpul terisolasi, graph lintasan
, dan graph roda
.
Kata Kunci : Pelabelan Total Super Simpul Ajaib, Metode Pelabelan Total Super Simpul
Ajaib.
PENDAHULUAN
Dapat dikatakan bahwa Teori
Graph berawal pada tahun 1736 ketika
Leonhard
Euler
mempublikasikan
bukunya mengenai pemecahan masalah
Jembatan Königsberg yang berjudul
Solutio Problematis Ad Geometriam
Situs Pertinentis. Walaupun demikian,
minat akan Teori Graph baru
berkembang setelah tahun 1920 hingga
akhirnya buku teks tentang Teori Graph
muncul pada tahun 1936. Buku tersebut
ditulis oleh Denes König dengan judul
“The Teory of Finite and Infinite
Graphs” yang diterjemahkan dari bahasa
Jerman. Sejak itulah minat terhadap
Teori Graph berkembang pesat.
Hal lain yang menarik dari teori
graph adalah meskipun hanya berawal
dari himpunan simpul dan himpunan sisi
yang menghubungkan simpul-simpul
tersebut, darinya bisa disusun bilanganbilangan ajaib yang biasa disebut label
ajaib. Masing-masing bilangan yang
merupakan bilangan bulat positif akan
diletakkan pada setiap simpul atau sisisisinya. Dalam buku Magic Graphs
(Marr dan Wallis, 2013), inilah yang
disebut pelabelan pada graph. Ketika
bilangan tidak hanya diletakkan pada
masing-masing simpul atau sisi saja
tetapi terhadap keduanya,
maka
pelabelan ini disebut pelabelan total.
Pelabelan pada graph pertama kali
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
diperkenalkan oleh Sadlàčk (1964),
kemudian Stewart (1966), Kotzig dan
Rosa (1970).
pelabelan total simpul ajaib. Selain itu,
mereka juga memberikan sebuah
konjektur bahwa jika
, maka
mempunyai sebuah
PTSSA. Kemudian Gómez (2007)
memunculkan sebuah proposisi bahwa
jika adalah sebuah graph
yang mempunyai PTSSA dan adalah
sebuah bilangan bulat positif sedemikian
hingga
adalah bilangan bulat,
maka
juga mempunyai PTSSA.
Sebagai akibat dari proposisi ini,
diperoleh bahwa jika
dan
adalah
bilangan ganjil atau jika
dan
, maka
mempunyai
sebuah PTSSA. Akibat ini, oleh Gómez
diperkuat dengan menunjukkan sebuah
metode
yang
digunakan
untuk
membentuk PTSSA pada graph
.
Menurut Stewart, sebuah graph
terhubung disebut pelabelan ajaib jika
label pada semua sisi yang terhubung
dengan sebuah simpul
jumlahnya
sama seperti ketika hal yang serupa
diterapkan untuk semua simpul pada
graph tersebut. Dimana semua label
pada sisi tersebut adalah bilangan bulat
yang berbeda. (Galli, 2012)
Selanjutnya, ketika jumlah dari
label simpul dengan label semua sisi
yang terhubung pada simpul tersebut
adalah sama seperti saat hal serupa
diterapkan untuk semua simpul pada
graph tersebut, maka pelabelannya
disebut pelabelan total simpul ajaib
(PTSA). Sebaliknya, saat jumlah label
sisi dengan label pada kedua simpul
yang dihubungkan oleh sisi tersebut
adalah sama seperti saat hal serupa
diterapkan untuk semua sisi pada graph
tersebut, maka pelabelannya disebut
pelabelan total sisi ajaib. (Marr dan
Wallis, 2013).
Dari proposisi yang diungkapkan
oleh Gómez tersebut, dan berdasarkan
fakta bahwa graph
merupakan graph
serta untuk ganjil graph
mempunyai PTSSA, maka kita
mempunyai sebuah akibat yang lain,
yaitu jika
dan
adalah bilangan
ganjil, maka
mempunyai sebuah
PTSSA. Selanjutnya menimbulkan suatu
permasalah baru yaitu, apakah metode
yang digunakan untuk membentuk
PTSSA pada graph
juga dapat
diterapkan pada graph
, untuk suatu
bilangan bulat positif, dimana
menghasilkan bilangan bulat?
Selain itu, graph apa saja yang memiliki
dan yang tidak memiliki PTSSA? Pada
skripsi ini akan dibahas mengenai hal
tersebut.
Selain itu, dalam sebuah penelitian
yang berjudul Two new methods to
obtain super vertex-magic total labelings
of graphs (Gómez, 2008), pada
pelabelan terhadap unsur-unsur graph
juga dikenal pelabelan total super
simpul ajaib (PTSSA), yaitu pelabelan
total simpul ajaib di mana label
terkecilnya terletak di salah satu
simpulnya.
Banyak matematikawan yang telah
mengadakan
penelitian
mengenai
pelabelan total super simpul ajaib.
Diantaranya adalah penelitian yang
dilakukan oleh Mac Dougal, Miller, dan
Sugeng dalam (Joseph A Gallian, 2012).
Mereka menunjukkan bahwa
mempunyai PTSSA jika dan hanya jika
bernilai ganjil, dan tidak ada graph
bipartit lengkap yang mempunyai
HASIL PENELITIAN
Definisi 3.1 [Ribhan, 2004]. Sebuah
PTSSA adalah sebuah PTSA dengan
penambahan sifat,
{
{
2
}
}
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Sifat di atas menyiratkan bahwa label
terkecilnya terletak pada simpulsimpulnya dan label terbesarnya terletak
pada sisi-sisinya.
{
(3.5)
Teorema 3.1 [Gómes, 2007]. Jika
mempunyai sebuah PTSSA, maka
Jika graph sikel
mempunyai
PTSSA maka
merupakan bilangan
ganjil. Ambil
yaitu bobot dari
masing-masing simpul pada sikel
,
maka
Berdasarkan definisi 2.37, cara lain
untuk menghitung bobot dari setiap
simpulnya adalah
Lemma 3.1 [Ribhan, 2004]. Jika
mempunyai sebuah PTSA, maka
Akibat 3.1 [Ribhan, 2004]. Jika
mempunyai PTSSA dengan konstanta
ajaib , maka
Untuk ganjil, suku yang kedua adalah
pelabelan sisi untuk genap dan suku
ketika adalah pelabelan sisi untuk
ganjil. Sehingga persamaan menjadi
Akibat 3.2 [Ribhan, 2004]. Jika
mempunyai sebuah PTSSA, maka
untuk
ganjil, dan
untuk genap.
Teorema 3.2 [Ribhan, 2004]. Jika
sebuah graph
yang
berordo
mempunyai sebuah PTSSA
maka dan mempunyai paritas yang
berbeda dan
Jika
maka
Jika
maka
Karena
, maka itu harus
merupakan bilangan bulat. Untuk
membuat hasilnya berupa bilangan bulat
maka haruslah ganjil. Untuk genap,
suku yang kedua adalah pelabelan sisi
untuk ganjil dan suku ketika adalah
pelabelan sisi untuk genap. Sehingga
persamaan menjadi
Teorema 3.3 [Ribhan, 2004]. Graph
sikel
mempunyai PTSSA jika dan
hanya jika
merupakan bilangan
ganjil.
Bukti: Andaikan
Ambil
label sisi
.
dengan
. Didefinisikan
sebagai berikut,
3
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Karena
, maka itu harus
merupakan bilangan bulat. Untuk
membuat hasilnya berupa bilangan bulat
maka haruslah ganjil.
Menggunakan teorema 3.2 kita
dapat mengetahui bahwa ketika sebuah
graph
dengan ordo
mempunyai sebuah PTSSA maka dan
memiliki paritas yang berlawanan.
Graph sikel
merupakan graph
, artinya
genap, maka
berdasarkan teorema 3.2 haruslah
ganjil. Sehingga kita menyimpulkan
bahwa jika ada graph
di mana
genap maka disana tidak ada PTSSA.
*
Nilai dari konstanta ajaib pada graph
+
*
Untuk
sebuah bilangan positif,
pertama kita bentuk
, konstanta
ajaib dari graph
sebagai sebuah
fungsi dari
, yaitu konstanta ajaib
dari graph yang termasuk PTSSA.
*
Lemma 3.2 [Gómes, 2008]. Ambil h(G)
sebagai konstanta ajaib dari sebuah rteratur graph G, dengan ordo n dan m
sisi. Konstanta ajaib dari graph kG
diberikan oleh
(
Karena
+
+
)
adalah
,
Bukti: Dari
mempunyai
teorema
3.1
kita
diperoleh,
(
Sehingga,
)
(
)
(
)
(
)
Persamaan 3.6 terbukti benar.
4
, maka
sehingga
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Bukti: Karena
genap, untuk
Pelabelan alami pada graph
Definisi 3.2 [Gómes, 2008]. Ambil
sebagai sebuah graph
dengan ordo , yang mana termasuk
PTSSA, dengan pemetaan
. Maka
label alami dari
adalah sebuah
pemetaan
injektif
{
}
yang memenuhi
{
}
maka jumlah semua elemen
dengan banyak ganjil tidak ada yang
sama dengan nol untuk suatu bilangan
genap. Oleh karena itu kita punya bahwa
disana tidak ada pelabelan netral dari
dengan unsur
untuk
genap.
Sehingga jelas bahwa tidak ada
pelabelan netral pada
dengan genap dan genap.
Definisi 3.4 [Gómes, 2008]. Dua label
netral dari
, dan
adalah
compactible jika hanya jika
untuk masing-masing
dan
untuk masingmasing
Pelabelan netral pada graph
Definisi 3.5 [Gómes, 2008]. Sebuah
himpunan dari
label netral dari
dengan
anggota
adalah
compactible jika dan hanya jika mereka
merupakan pasangan yang compactible.
{
Didefinisikan
ganjil, ketika
} dengan
Definisi 3.3 [Gómes, 2008]. Ambil
sebagai bilangan bulat positif. Sebuah
pelabelan netral dari
dengan unsur
dari
adalah pemetaan
yang
memenuhi
Teorema 3.4 [Gómes, 2008]. Ambil
sebagai bilangan bulat positif dan ambil
sebagai graph
. Jika
adalah sebuah bilangan
bulat, maka mempunyai label netral
yang compactible dengan element dari
.
Untuk masing-masing
Bukti: Teorema Vizing mengatakan
bahwa sebuah graph dapat diberikan
pewarnaan sisi dengan
atau
warna, di mana
adalah derajat
maximum dari suatu graph. Sehingga
pada kasus ini
bias ditulis
.
Disamping
itu,
berdasarkan teorema Vizing untuk suatu
graph yang merupakan
,
disana ada sebuah partisi
dari
sedemikian hingga
di mana
adalah bobot pemetaan
pada simpul .
Proposisi 3.1 [Gómes, 2008]. Ambil
sebagai sebuah graph teratur dengan
derajat genap . Di sana tidak ada
pelabelan netral dari
dengan unsur
dari
untuk genap.
5
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
setiap
dan
{
} berlaku
dan tidak ada sisi
yang terkait dengan
yang sesuai
dengan
, atau
dan disana
terdapat tepat satu sisi yang terkait
dengan yang sesuai dengan
Disini dibagi menjadi dua kasus
KASUS I
Ketika
genap.
Pada kasus
pelabelan
oleh:
Itu
{
ini,
kita
kembali ke
didefinisikan
Seperti sebelumnya, jika
{
mempunyai
. Bahkan, jika
{
|
} {
sedangkan
{
|
}
dapat
diperiksa
bahwa
}
untuk
.
Bahkan,
untuk
masing-masing
dan untuk
masing-masing
,
. Sehingga,
label
merupakan
pelabelan netral yang compactible untuk
setiap bilangan bulat positif.
{
jika
{
Terakhi
r, jika
kita
}
himpunan
},
himpunan
}. Disamping itu,
kita
mempunyai
}
.
KASUS II
Ketika
ganjil. Pada kasus ini
adalah bilangan ganjil, dan kita kembali
ke
pelabelan
didefinisikan oleh:
himpun
an
{
|
}
{
,
sedang
kan himpunan
}
{
|
}
{
}. Disamping
itu, jika
kita mempunyai
{
}
. Bahkan
untuk masing-masing
dan untuk
6
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
masing-masing
. Sehingga,
label
merupakan
pelabelan netral yang compactible untuk
setiap
bilangan bulat positif. Jadi
terlihat jelas bahwa ada
label yang
compactible.
Yang mana sesuai dengan lemma 3.1.
Jadi terbukti bahwa
mempunyai
sebuah
PTSSA.
Teorema 3.5 [Gómes, 2008]. Ambil
sebagai sebuah bilangan bulat positif.
Jika graph adalah graph
yang memiliki sebuah PTSSA dan
adalah sebuah bilangan
bulat, maka graph
mempunyai
sebuah PTSSA.
Akibat 3.3 Ambil dan sebagai dua
bilangan bulat positif. Jika
dan
merupakan bilangan ganjil, maka graph
mempunyai PTSSA.
Bukti: Karena
merupakan bilangan
ganjil, berdasarkan teorema 3.3 graph
memiliki PTSSA. Kemudian ketika
merupakan bilangan ganjil,
merupakan bilangan bulat. Sehingga,
berdasarkan teorema 3.5, graph
memiliki PTSSA jika
dan
merupakan bilangan ganjil.
Bukti: Berdasarkan teorema 3.3,
termasuk pelabelan netral. Ambil
dan
sebagai label
alami dari
dan label netral yang
compactible dari . Kita definisikan
pemetaan
sebagai
Metode Pelabelan Total Super Simpul
Ajaib
{
}
1.
Ambil sebuah graph
dengan PTSSAnya.
Sedemikian hingga,
(
)
(
Berdasarkan teorema 3.3, graph
yang
memiliki PTSSA hanyalah graph
yang berordo ganjil. Maka, disini
sebagai contoh diambil graph
berikut
lengkap dengan label total super simpul
ajaibnya.
)
Sehingga
2.
Tentukan nilai
teorema 3.1.
∑
(
lengkap
berdasarkan
Karena disini yang digunakan adalah
graph
, maka nilai dari
.
Sehingga diperoleh
)
.
∑
(
∑
(
3.
Tentukan nilai
, kemudian
hitung kemungkinan nilai
.
)
( (
))
Sesuai teorema 3.4 dan 3.5, nilai harus
memenuhi
, dan sesuai
)
7
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Penyelidikan 2 nilai
dipilih
.
ganjil. Disini
Selanjutnya menentukan nilai
berdasarkan lemma 3.1.
sehingga diperoleh,
dan karena disini yang digunakan adalah
graph
maka
berdasarkan
Penyelidikan 1 diperoleh
.
Sehingga kemungkinan nilai bilangan
ajaib untuk masing-masing graph
pada
nanti adalah 89.
4.
Ubah PTSSA pada
label alami.
ke dalam
5.
Bentuk himpunan
.
{
Awalnya kita memiliki sebuah PTSSA
pada . Dari sana kita ubah labelnya
menjadi label alami dengan berdasarkan
definisi 3.2. Label ini digunakan untuk
gambaran secara umum dari bilanganbilangan asli yang nantinya digunakan
pada PTSSA pada
.
} dengan
Karena
diperoleh,
, maka himpunan
,
{
}
6.
Gambar graph
sebanyak
dan beri label netral pada masingmasing graph
, berdasarkan anggota
yang sudah terbentuk, sehingga
terbentuk label netral pada
yang
compactible sebanyak .
Sesuai definisi 3.4 dan 3.5, disini ada
label netral yang compactible. Dan
berdasarkan definisi 3.3
label netral
yang compactibel yang terbentuk adalah
sebagai berikut,
8
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
. Sedang untuk label
sisinya adalah
.
Untuk
simpulnya
, label
adalah
pada
simpul-
. Sedang untuk label
sisinya adalah
.
7.
Ubah label pada
bilangan
asli
menurut
dengan
aturan
dan
.
(
)
(
)
Sehingga untuk masing-masing graph
sikel dari , di mana dihitung dari kiri
atas hingga kanan bawah akan berubah
menjadi seperti berikut:
Untuk
, label
simpulnya adalah
pada
simpul-
.Untuk label sisinya
8.
PTSSA pada
sudah
terbentuk dengan nilai sesuai dengan
perkiraan pada langkah ke 2.
adalah
.
Untuk
, label
simpulnya adalah
label
sisinya
pada
Gambar di atas merupakan graph
dengan PTSSAnya. Terlihat untuk
bilangan ajaibnya adalah
sesuai
dengan bilangan ajaib yang kita peroleh
menggunakan lemma 3.1 pada langkah
ke 2.
simpul-
. Sedang
adalah
untuk
.
Untuk
, label
simpulnya adalah
.
pada
Sedang
GRAPH YANG TIDAK MEMILIKI
PTSSA
simpul-
1. Graph yang memiliki simpul
berderajat satu
Teorema 3.6 [Super Vertex-magic
Total Labelings of Graph, 2004].
Jika
mempunyai sebuah simpul
berderajat satu, maka
tidak
mempunyai pelabelan super simpul
ajaib.
untuk
label sisinya adalah
.
Untuk
, label
simpulnya adalah
pada
simpul-
9
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Bukti: Ambil
sebagai graph
dengan ordo
dan
sebagai
sebuah simpul berderajat satu di .
Maka
mempunyai sebuah
tetangga yang unik yaitu
dengan
.
Ambil
sebagai sisi yang terkait dengan
di mana
. Anggap
mempunyai sebuah PTSSA, maka
{
Berdasarkan lemma 3.1, kita tidak
menemukan bilangan ajaibnya,
sehingga
tidak mempunyai
PTSSA.
3. Graph Roda
Teorema 3.8 [Super Vertex-magic
Total Labelings of Graph, 2004].
Tidak ada graph roda yang
mempunyai PTSSA.
sehingga,
. Karena
adalah PTSSA, semua bentuk di
ruas kanan harus lebih besar dari
dengan kata lain bentuk di sisi kiri
kurang dari
. Jelas terjadi
kontradiksi, sehingga seharusnya
tidak memiliki PTSSA.
Bukti: Anggap
dengan
mempunyai sebuah PTSSA. Maka
dan
, sehingga
2. Graph Lintasan
Teorema 3.7 [E-Super Vertex
Magic Labeling and V-Super Vertex
Magic Labeling, 2014]. Tidak ada
graph lintasan
yang memiliki
PTSSA.
Bukti: Ambil
berupa
bilangan bulat ganjil, himpunan sisi,
dan himpunan simpul dari
yang
diberikan oleh
{
((
dan
Definisikan
{
)
Karena untuk
,
tidak
selalu
habis
membagi
mengakibatkan
bukan berupa
anggota bilangan bulat.
}
{
)
}
Sehingga tidak ada graph roda yang
dapat mempunyai sebuah PTSSA.
} sebagai berikut,
,
untuk
KESIMPULAN
,
10
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Berdasarkan pembahasan pada bab
sebelumnya,
dapat
disimpulkan
beberapa hal sebagai berikut:
graph yang memiliki pelabelan total
super simpul ajaib. Jadi untuk graph
diluar itu, metode ini tidak bisa
diterapkan. Adapun metode untuk
pelabelan total super simpul ajaib adalah
sebagai berikut:
Pelabelan total super simpul ajaib
adalah bentuk khusus dari pelabelan
total simpul ajaib dengan penambahan
sifat label-label terkecilnya terletak pada
simpul-simpulnya. Kemudian nilai
bilangan ajaib dari pelabelan total super
simpul
ajaib
adalah
. Selain itu tidak semua
graph memiliki pelabelan total super
simpul ajaib. Ada beberapa syarat yang
harus dipenuhi sehingga darinya bisa
dibentuk pelabelan total super simpul
ajaib. Syarat-syarat itu diantaranya
adalah banyaknya sisi paling sedikit
adalah
, batasan nilai bilangan
ajaibnya adalah
banyak simpul dan
harus memenuhi
ganjil, dan
genap.
1. Ambil sebuah graph
lengkap
dengan pelabelan total super simpul
ajaibnya.
2. Tentukan nilai
berdasarkan
teorema 3.1.
3. Tentukan nilai , kemudian hitung
kemungkinan nilai
.
4. Ubah pelabelan total super simpul
ajaib pada
ke dalam label alami.
5. Bentuk himpunan
.
6. Gambar graph
sebanyak dan
beri label netral pada masingmasing graph
, berdasarkan
anggota
yang
sudah
terbentuk, sehingga terbentuk label
netral pada
yang compactible
sebanyak .
7. Ubah label pada
dengan
bilangan asli dengan aturan
dan
(
)
(
)
.
8. Pelabelan total super simpul ajaib
pada
sudah terbentuk dengan
nilai
sesuai dengan perkiraan
pada langkah ke 2.
, untuk
banyak sisi, maka
untuk
untuk
Sedang untuk graph-graph khusus
yang memiliki pelabelan total super
simpul ajaib antara lain adalah graph
teratur dengan syarat
dan
mempunyai peritas yang berbeda dan
jika
maka
,
jika
maka
. Kemudian graph sikel dengan
syarat memiliki ordo ganjil.
Dan adapun graph yang tidak
memiliki pelabelan total super simpul
ajaib antara lain adalah graph yang
memiliki simpul berderajat 1, graph
lintasan , dan graph roda
.
Berikutnya ketika sebuah graph
memiliki pelabelan total super simpul
ajaib, belum tentu ia memiliki pelabelan
total super simpul ajaib untuk
.
Begitu juga sebaliknya. Misalnya pada
graph sikel
,
akan memiliki
pelabelan total super simpul ajaib jika
dan hanya jika
dan
merupakan
bilangan ganjil.
SARAN
Untuk penelitian selanjutnya disarankan
membahas tentang metode pelabelan
pada graph selain pelabelan total,
misalnya
pelabelan
graceful,
Harmonious, prime, vertex prime, dan
masih banyak lagi. Selain itu graph yang
diteliti adalah graph yang masih jarang
digunakan seperti graph bintang,graph
Selanjutnya, untuk dasar-dasar dari
metode penyusunan pelabelan total
super simpul ajaib, terlihat bahwa
semuanya berawal dari graph teratur dan
11
Metode Pelabelan Total Super Simpul Ajaib Pada Graph-graph Sikel 2014
Kumari, N. 2013. “ E-Super Vertex
Magic Labeling and V-Super
Vertex Magic Labeling”. India:
International Journal of Scientific
& Engineering Research
kubik, graph Petersen, graph bipartite,
dan lain-lain.
Dafar Pustaka
Agus, Nuniek. A. 2008. “Mudah Belajar
Matematika 2”. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan
Nasional.
Jonathan, L dan Gross, Y. Z. 2003.
“Hand Book Of Graph Theory”.
Florida: CRC Press.
Airha. 2012. “Studi Kepustakaan”.
http://phairha.blogspot.com diakses
tanggal 13 Januari 2014.
Marr, Alison M dan Wallis. 2013.
“Magic Graph”. New York:
Springer.
Vasudev, C. 2006. “Graph Theory With
Application”. New Delhi: New Age
International.
Nuharini, D. 2008. “Matematika Konsep
dan Aplikasinya”. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan
Nasional.
Gómes, J. 2007. “Two new methods to
obtain super vertex-magic total
labelings of graphs”. Spanyol:
Universitat
Politècnica
de
Catalunya.
Ribhan Y. P. 2005. “Super Vertexmagic Total Labeling on Cycles
and Complete Graphs”. Skripsi S-1
Program
Studi
Matematika,
Universitas Indonesia.
Gupta,
M.K.
2009.
“Discrete
Mathematics”.
India:
Krishna
Prakashan Media (P) Ltd., Meerut.
Samatova, N. F. 2004. “Practical Graph
Mining”. Florida: CRC Press.
Harris, John M. 2008. “Combinatorics
and Graph Theory”. New York:
Springer.
Suryadi, D. 2002. “Pengantar Teori
Graph”.
Jakarta:
Universitas
Terbuka.
MacDougall, J. A, Miller, Sugeng. 2004.
“ Super Vertex-magic Total
Labelings of Graph”. Newcastle:
Proc. 15th Australasian Workshop
on Combinatorial Algorithms.
Wallis, W. D. 2007. “A Beginner’s
Guide
to
Graph
Theory”.
Carbondale: Birkhauser Boston.
Wibowo, F. W. 2013. “Matematika
Diskret
(Graph
I)”.
www.elearning.amikom.ac.id
diakses tanggal 13 Januari 2014.
Gallian, J. A. 2005. “A dynamic survey
of graph labeling”. Duluth:
Department of Mathematics and
Statistics University of Minnesota
Duluth.
Zed, Mestika. 2008. “Metode Penelitian
Kepustakaan”. Jakarta: Yayasan Obor
Indonesia.
12
Fly UP