...

Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan

by user

on
Category: Documents
19

views

Report

Comments

Transcript

Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan
PROGRAM BERMUTU
Better Education through Reformed Management and
Universal Teacher Upgrading
TW
URI HANDAY
AN
I
TU
PEMBELAJARAN
FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR
DAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL
DI SD
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
BADAN PENGEMBANGAN SUMBER DAYA MANUSIA PENDIDIKAN
DAN PENJAMINAN MUTU PENDIDIKAN
PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK
DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA
Modul Matematika SD Program BERMUTU
Pembelajaran
Faktor Persekutuan Terbesar
dan Kelipatan Persekutuan Terkecil
di SD
Penulis:
Pujiati
Agus Suharjana
Penilai:
Cholis Sa’diyah
Sumardi
Editor:
Sukayati
Layouter:
Anna TL
Kementerian Pendidikan Nasional
Badan Pengembangan Sumber Daya Manusia Pendidikan
dan Penjaminan Mutu Pendidikan
Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik
dan Tenaga Kependidikan Matematika
2011
Pembelajaran FPB dan KPK di SD
KATA PENGANTAR
Segala bentuk pujian dan rasa syukur kami haturkan ke hadirat Allah SWT, atas
limpahan nikmat dan rahmat-Nya PPPPTK Matematika dapat mewujudkan kembali
modul pengelolaan pembelajaran matematika untuk guru SD dan SMP. Pada tahun
2011 ini telah tersusun sebanyak dua puluh judul, terdiri dari tujuh judul untuk guru
SD, delapan judul untuk guru SMP, dan lima judul untuk guru SD maupun SMP.
Modul-modul ini disusun untuk memfasilitasi peningkatan kompetensi guru SD dan
SMP di forum Kelompok Kerja Guru (KKG) dan Musyawarah Guru Mata Pelajaran
(MGMP), khususnya KKG dan MGMP yang dikelola melalui program BERMUTU
(Better Education through Reformed Management and Universal Teacher
Upgrading). Modul yang telah disusun, selain didistribusikan dalam jumlah terbatas
ke KKG dan MGMP yang dikelola melalui program BERMUTU, juga dapat diunduh
melalui laman PPPPTK Matematika dengan alamat www.p4tkmatematika.org.
Penyusunan modul diawali dengan kegiatan workshop yang menghasilkan
kesepakatan tentang daftar judul modul, sistematika penulisan modul, dan garis besar
isi tiap judul modul. Selanjutnya secara berurutan dilakukan kegiatan penulisan,
penilaian, editing, harmonisasi, dan layouting modul.
Penyusunan modul melibatkan berbagai unsur, meliputi widyaiswara dan staf
PPPPTK Matematika, dosen LPTK, widyaiswara LPMP, guru SD, guru SMP, dan
guru SMA dari berbagai propinsi. Untuk itu, kami sampaikan terima kasih dan
teriring doa semoga menjadi amal sholih kepada semua pihak yang telah membantu
terwujudnya modul tersebut.
Semoga dua puluh modul tersebut bermanfaat secara optimal dalam peningkatan
kompetensi para guru SD dan SMP dalam mengelola pembelajaran matematika,
sehingga dapat meningkat kualitas dan kuantitas hasil belajar matematika siswa SD
dan SMP di seluruh Indonesia.
iii
Kata Pengantar Kata Pengantar Kami sangat mengharapkan masukan dari para pembaca untuk penyempurnaan
modul-modul ini demi peningkatan mutu layanan kita dalam upaya peningkatan mutu
pendidikan matematika di Indonesia.
Akhir kata, kami ucapkan selamat membaca dan menggunakan modul ini dalam
mengelola pembelajaran matematika di sekolah.
Yogyakarta, Juni 2011
Plh. Kepala
iv
Pembelajaran FPB dan KPK di SD
DAFTAR JUDUL MODUL
I. PEMBELAJARAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR
II. PEMBELAJARAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL
v
Daftar Judul Modul vi
Pembelajaran FPB dan KPK di SD
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .........................................................................................
DAFTAR JUDUL MODUL ............................................................................... .
DAFTAR ISI .......................................................................................................
iii
v
vii
PENDAHULUAN ...............................................................................................
1
A.
B.
C.
D.
E.
Latar Belakang ..............................................................................................
Tujuan ...........................................................................................................
Peta Kompetensi ............................................................................................
Ruang Lingkup ..............................................................................................
Saran Cara Penggunaan Modul ..... .............................................................
1
3
3
5
5
I.
PEMBELAJARAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR ...................
7
Kompetensi Guru .................................................................................................
Tujuan Belajar .....................................................................................................
A. Kegiatan Belajar 1: Pembelajaran Faktor dan Faktor Persekutuan ..............
B. Kegiatan Belajar 2: Pembelajaran Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima ..
C. Kegiatan Belajar 3: Pembelajaran Cara Menentukan Faktor Persekutuan
Terbesar ........................................................................................................
D. Kegiatan Belajar 4: Terapan Faktor Persekutuan Terbesar dalam Kehidupan
dan Permasalahan Lain yang Relevan ..........................................................
E. Ringkasan .....................................................................................................
F. Latihan 1.1. ....................................................................................................
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut ...................................................................
H. Daftar Pustaka ...............................................................................................
7
9
9
15
33
38
39
41
42
II. PEMBELAJARAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL .............
43
Kompetensi Guru .................................................................................................
Tujuan Belajar .....................................................................................................
A. Kegiatan Belajar 1: Pembelajaran Kelipatan dan Kelipatan Persekutuan .....
B. Kegiatan Belajar 2: Pembelajaran Cara Menentukan Kelipatan Persekutuan
Terkecil .........................................................................................................
C. Kegiatan Belajar 3: Terapan Kelipatan Persekutuan Terkecil dalam
Kehidupan dan Permasalahan Lain yang Relevan .......................................
D. Ringkasan .....................................................................................................
E. Latihan 2.1 .....................................................................................................
F. Umpan Balik dan Tindak Lanjut ...................................................................
H. Daftar Pustaka ...............................................................................................
43
44
44
PENUTUP ...........................................................................................................
65
A. Rangkuman ...................................................................................................
B. Tes ................................................................................................................
65
65
19
48
56
60
60
62
63
vii
Daftar Isi viii
C. Umpan Balik dan Tindak Lanjut ...................................................................
68
LAMPIRAN .......................................................................................................
69
Lampiran 1: Kunci Jawaban Latihan 1.1 .............................................................
Lampiran 2: Kunci Jawaban Latihan 2.1 .............................................................
Lampiran 3: Kunci Jawaban Tes ..........................................................................
69
72
75
PENDAHULUAN
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam rangka peningkatan kualifikasi dan penerapan sertifikasi guru sesuai dengan
Undang-Undang Nomor 14 tahun 2005 tentang Guru dan Dosen, Pemerintah
Indonesia beserta Pemerintah Belanda, dan Bank Dunia menyepakati untuk bekerja
sama dalam penyelenggaraan program BERMUTU (Better Education through
Reformed Management and Universal Teacher Upgrading). Program tersebut telah
digulirkan oleh pemerintah sejak tahun 2008 dengan tujuan difokuskan pada upaya
peningkatan mutu pendidikan melalui peningkatan kompetensi dan kinerja guru yang
secara langsung dikaitkan dengan peningkatan mutu pembelajaran di kelas.
Untuk mencapai tujuan dimaksud, kegiatan program dirancang dan dikelompokkan
ke dalam empat komponen yaitu: (1) reformasi Lembaga Pendidikan Tenaga
Kependidikan (LPTK); (2) penguatan struktur pengembangan guru di tingkat lokal;
(3) reformasi akuntabilitas guru dan sistem insentif untuk penilaian kinerja dan
pengembangan karir, serta (4) peningkatan koordinasi, pemantauan dan evaluasi
program.
Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan
(PPPPTK) Matematika ikut terlibat secara langsung dalam kegiatan-kegiatan program
BERMUTU. Kegiatan yang langsung menjadi tanggung jawab dari PPPPTK mata
pelajaran (Matematika, IPA, IPS, dan Bahasa) adalah mengembangkan modul-modul
diklat terakreditasi yang akan digunakan dalam kegiatan di KKG dan MGMP serta
menyelenggarakan pelatihan untuk Provincial Core Team (PCT) dan District Core
Team (DCT). Di samping itu PPPPTK mata pelajaran juga bertanggung jawab dalam
mengkoordinasikan pelaksanaan Monitoring dan Evaluasi (M&E) kegiatan KKG dan
MGMP secara regional (Wardhani: 2010: 1 - 5).
Agar dapat mengembangkan modul-modul sesuai dengan keperluan guru, maka pada
tanggal 23 sampai dengan 25 Maret 2011 PPPPTK Matematika menyelenggarakan
“Workshop Identifikasi Modul Program BERMUTU” bertempat di PPPPTK
Matematika Yogyakarta. Dari kegiatan Workshop teridentifikasi 40 topik berdasarkan
1
Pendahuluan pada: hasil Monitoring dan Evaluasi (M&E) yang dilakukan oleh PPPPTK
Matematika pada saat kegiatan KKG dan MGMP secara regional bagi guru sekolah
dasar (SD) dan sekolah menengah pertama (SMP) pada tahun 2009 dan 2010,
Training Need Assessment (TNA) yang dilakukan oleh PPPPTK Matematika tahun
2007, dan wawancara dengan para guru pada saat pelaksanaan diklat bagi guru
pemandu matematika SD baik yang dilaksanakan di dalam maupun di luar PPPPTK
Matematika. Dari topik-topik yang telah teridentifikasi tersebut kemudian dipilih 20
topik yang akan ditulis pada tahun anggaran 2011, yaitu 10 topik digunakan untuk SD
dan 10 topik untuk SMP. Salah satu topik SD yang perlu ditulis adalah “Pembelajaran
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)”.
Pada Standar Isi (SI) Mata Pelajaran Matematika Sekolah Dasar (SD) materi KPK
dan FPB yang dipelajari siswa di kelas IV dan V, terdiri dari 2 Standar Kompetensi
(SK) dan 4 Kompetensi Dasar (KD), meliputi:
1. memahami dan menggunakan faktor dan kelipatan dalam pemecahan masalah
(Kelas IV)
a. menentukan KPK dan FPB
b. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan KPK dan FPB
2. Melakukan operasi hitung bilangan bulat dalam pemecahan masalah (Kelas V)
a. menggunakan faktor prima untuk menentukan KPK dan FPB
b. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung, KPK dan FPB
Oleh karena itu, guru SD perlu memahami dan terampil dalam mengelola kegiatan
pembelajaran yang berhubungan dengan FPB dan KPK.
Berdasarkan uraian tersebut, maka perlu kiranya disusun modul yang akan digunakan
untuk pembelajaran FPB dan KPK di SD.
2
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD B. Tujuan
Tujuan dari penyusunan modul ini adalah sebagai bahan belajar atau bahan diskusi
bagi para guru di Kelompok Kerja Guru (KKG) penerima Dana Bantuan Langsung
(DBL) maupun yang tidak atau baik yang ikut kegiatan program BERMUTU maupun
yang tidak, agar mereka mampu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya dalam
mengelola pembelajaran matematika di SD khususnya dalam membelajarkan FPB
dan KPK. Selain itu, modul ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan referensi
bagi para guru pemandu/pengembang matematika SD khususnya dan bagi para
pemerhati matematika pada umumnya agar dapat meningkatkan pengetahuan dan
menambah wawasan mereka dalam melaksanakan tugas.
C. Peta Kompetensi
Berdasar pada Undang-Undang (UU) Republik Indonesia (RI) Nomor 14 Tahun 2005
tentang Guru dan Dosen, pada Bab IV pasal 10 disebutkan bahwa kompetensi guru
meliputi kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan
kompetensi profesional yang diperoleh melalui pendidikan profesi. Lebih lanjut
dalam penjelasan pasal 10 disebutkan bahwa yang dimaksud dengan kompetensi:
1. kompetensi pedagogik adalah kemampuan mengelola pembelajaran peserta didik.
2. kompetensi kepribadian adalah kemampuan kepribadian yang mantap, berakhlak
mulia, arif, dan berwibawa serta menjadi teladan peserta didik.
3. kompetensi profesional adalah kemampuan penguasaan materi pelajaran secara
luas dan mendalam.
4. kompetensi sosial adalah kemampuan guru untuk berkomunikasi dan berinteraksi
secara efektif dan efisien dengan peserta didik, sesama guru, orangtua/wali
peserta didik, dan masyarakat sekitar.
Kompetensi guru di atas diperjelas dalam Permendiknas Nomor 16 tahun 2007
tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru (2007: hal 11-17) yang
berhubungan dengan kompetensi pedagogik dan professional guru kelas SD/MI
terkait dengan pembelajaran Matematika.
Standar kompetensi guru yang akan
3
Pendahuluan ditingkatkan terkait dengan ditulisnya modul ini adalah kompetensi profesional,
pedagogik, dan sosial sebagai berikut.
20.7 Menguasai pengetahuan konseptual dan
prosedural serta keterkaitan keduanya
dalam konteks materi aritmetika, aljabar,
geometri, trigonometri, pengukuran,
statistika, dan logika matematika.
20.8 Mampu
menggunakan
matematisasi horizontal dan
vertikal untuk menyelesaikan
masalah
matematika
dan
masalah dalam dunia nyata.
Modul
Pembelajaran
FPB dan KPK
di SD
20.9 Mampu menggunakan pengetahuan
prosedural,
dan
konseptual,
keterkaitan
keduanya
dalam
pemecahan masalah matematika,
serta
penerapannya
dalam
kehidupan sehari-hari.
3.4
Memilih materi lima mata pelajaran
SD/MI yang terkait dengan
pengalaman belajar dan tujuan
pembelajaran
3.5 Menata materi pembelajaran secara
benar sesuai dengan pendekatan
yang dipilih dan karakteristik peserta
didik usia SD/MI
3.6
Kompetensi
Pedagogik
Memahami prinsip-prinsip
perancangan pembelajaran yang
mendidik
17.1 Berkomunikasi dengan teman
sejawat dan komunitas ilmiah
lainnya secara santun, empatik
dan efektif
4
Kompetensi
Profesional
Kompetensi
Sosial
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Sebelum mempelajari modul ini diharapkan Anda sudah menguasai atau memahami
tentang uraian materi dan prosedur pembelajaran yang terkait dengan kemampuan
siswa dalam hal sebagai berikut.
1. Melakukan operasi hitung pengurangan, penjumlahan, perkalian, dan pembagian
suatu bilangan.
2. Menentukan luas daerah persegi dan persegi panjang.
D. Ruang Lingkup
Pembahasan dalam modul ini mencakup uraian materi tentang pembelajaran FPB dan
KPK di SD dan alternatif proses pembelajarannya. Pembahasan dikemas dalam 2
modul, yang dijabarkan sebagai berikut.
1. Pembelajaran FPB , meliputi:
a. Pembelajaran faktor dan faktor persekutuan
b. Pembelajaran Bilangan prima dan faktorisasi prima
c. Pembelajaran FPB
d. Terapan FPB dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevan.
2. Pembelajaran KPK, terdiri dari:
a. Pembelajaran kelipatan dan kelipatan persekutuan
b. Pembelajaran KPK
c. Terapan KPK dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevan
E. Saran Cara Penggunaan Modul
Modul ini disusun untuk para guru matematika yang sedang mengikuti program
BERMUTU di KKG sebagai bahan pelengkap (suplemen). Modul ini dapat
digunakan secara bersamaan dengan modul-modul lain dan Bahan Belajar Mandiri
(BBM) yang disusun oleh Direktorat Pembinaan Diklat, Direktorat Profesi Pendidik,
Direktorat Tenaga Kependidikan (dalam Wardhani, 2011: 1). Selain itu, modul ini
juga dapat digunakan para guru di KKG yang tidak mengikuti program BERMUTU.
Oleh karena itu modul ini dapat dipelajari secara mandiri atau dapat pula
mendiskusikannya dengan teman sejawat.
5
Pendahuluan Modul ini terdiri dari dua modul, Modul 1 terdiri dari 4 kegiatan belajar (KB),
sedangkan Modul 2 terdiri dari 3 KB. Pembahasan tiap KB pada modul ini dimulai
dengan memberikan pemicu/trigger diikuti dengan tujuan pembelajaran dan
informasi banyaknya kegiatan belajar. Setelah itu, dilanjutkan dengan membahas cara
membelajarkan FPB dan KPK serta terapan penggunaan FPB maupun KPK dalam
kehidupan maupun permasalahan lain yang relevan.
Setelah Anda, para peserta kegiatan di KKG memahami penjelasan yang ada pada
setiap KB, maka selanjutnya Anda diminta untuk mengembangkan contoh-contoh
permasalahan yang terkait dengan FPB dan KPK. Tiap modul diakhiri dengan
rangkuman, tugas/latihan untuk mengukur ketercapaian tujuan, umpan balik sebagai
penjelasan yang terkait dengan jawaban tugas/latihan, dan daftar pustaka. Hendaknya
Anda, para guru di KKG, mengerjakan sendiri latihannya. Jika pada saat mengerjakan
latihan Anda mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman sejawat.
Apabila ingin mengetahui pencapaian pemahaman pada tiap-tiap modul, maka Anda
dapat mencocokkan dengan kunci tugas/latihan yang terdapat pada lampiran sebagai
bahan refleksi. Namun, jika Anda masih mengalami kesulitan dan memerlukan
klarifikasi, maupun memiliki saran atau kritik yang membangun, sudilah kiranya
menghubungi penulis melalui:
Email
: [email protected] atau [email protected]
[email protected]
HP
: 08157919102 atau 08121553534
Surat
: PPPPTK Matematika, Kotak Pos 31 YK-BS, Yogyakarta
Website
: www.p4tkmatematika.com
Faks
: (0274) 885752
Tanggapan dari para guru atau pembaca modul ini selalu kami nantikan.
6
I
PEMBELAJARAN FAKTOR
PERSEKUTUAN TERBESAR
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD I. PEMBELAJARAN FAKTOR
PERSEKUTUAN TERBESAR
Kompetensi Guru
Kompetensi guru yang ingin dicapai dalam kegiatan ini adalah sebagai
berikut.
1. Memilih materi lima mata pelajaran SD/MI yang terkait dengan
pengalaman belajar dan tujuan pembelajaran (3.4)
2. Menata materi pembelajaran secara benar sesuai dengan pendekatan
yang dipilih dan karakteristik peserta didik usia SD/MI (3.5)
3. Memahami prinsip-prinsip perancangan pembelajaran yang mendidik
(3.6)
4. Berkomunikasi dengan teman sejawat dan komunitas ilmiah lainnya
secara santun, empatik dan efektif (17.1)
5. Menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural serta keterkaitan
keduanya dalam konteks materi aritmetika, aljabar, geometri,
trigonometri, pengukuran, statistika, dan logika matematika (20.7)
6. Mampu menggunakan matematisasi horizontal dan vertikal untuk
menyelesaikan masalah matematika dan masalah dalam dunia
nyata(20.8)
7. Mampu menggunakan pengetahuan konseptual, prosedural, dan
keterkaitan keduanya dalam pemecahan masalah matematika, serta
penerapannya dalam kehidupan sehari-hari (20.9)
Sistem bilangan merupakan topik yang menarik selama ribuan tahun yang lalu. Salah
satu yang menarik diantaranya adalah bilangan prima. Ternyata manusia telah
mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun
1960 (sekarang disimpan di Musee d’Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal
tersebut. Tulang Ishango memiliki 3 baris takik. Salah satu kolomnya memiliki 11,
13, 17, dan
19 takik, yang merupakan bilangan prima antara 10 hingga 20.
Eratosthenes (276 SM - 194 SM) adalah seorang ilmuwan Yunani kuno yang
7
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar memberikan sumbangan cara sederhana dan efisien dalam menemukan bilangan
prima terkecil dengan menggunakan saringan Eratosthenes.
http://darkwing.uoregon.edu/~moursund/Math/notch
Gambar1.1
http://www.gap-system.org/ ~history/
BigPictures/ Eratosthenes.jpeg
Gambar1.2
Semakin pesat perkembangan komputer, semakin terasalah pentingnya peranan
bilangan
prima,
ditemukannya
publik
seperti
kriptografi
(public-key
kunci
cryptography)
pada akhir tahun 1970. Dengan
ditemukannya
kriptografi,
maka
transaksi bank melalui internet dan
pembelian melalui internet menjadi
kenyataan.
Dalam
kriptografi,
bilangan prima dapat digunakan
untuk
melakukan
enkripsi
http://www.google.com/imgres?q=publickey+cryptography&hl=en&gbv=2&tbm=isch&tbnid=PEv9QQdL2WIeI
Gambar1.3
dan
dekripsi informasi dengan nyaman. Enkripsi adalah transformasi data ke bentuk yang
tidak mungkin dibaca pihak lain tanpa mengetahui kuncinya. Sedangkan dekripsi
merupakan kebalikannya, yaitu mengembalikan data yang ditransformasi ke bentuk
semula. Baik enkripsi maupun dekripsi selalu membutuhkan suatu informasi rahasia
yang disebut kunci.
Bilangan prima yang dulunya dianggap sebagai sesuatu yang tidak memiliki manfaat,
kini menjadi bagian yang tak terpisahkan dalam keamanan data. Bilangan prima juga
bermanfaat untuk materi lain dalam mata pelajaran matematika, antara lain: penarikan
8
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD akar pangkat dua dan pangkat tiga, menentukan kelipatan persekutuan terkecil,
menentukan faktor persekutuan terbesar, dan sebagainya.
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari modul ini, Anda
menjelaskan tentang cara
diharapkan mampu memahami dan
menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dan
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan FPB serta pembelajarannya.
Untuk membantu Anda menguasai kemampuan tersebut, maka bacalah dengan
cermat uraian materi dalam modul ini yang terdiri atas empat kegiatan belajar (KB)
sebagai berikut.
A. KB 1: Pembelajaran faktor dan faktor persekutuan
B. KB 2: Pembelajaran bilangan prima dan faktorisasi prima
C. KB 3: Pembelajaran cara menentukan FPB
D. KB 4: Terapan FPB dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevan
A. Kegiatan Belajar 1 : Pembelajaran Faktor dan Faktor Persekutuan
1.
Faktor Suatu Bilangan
Perhatikan permasalahan berikut ini.
http://www.google.co.id/imgres?q=marching+
band&hl=id&gbv=2&tbm=isch&tbnid
Masalah:
Formasi marching band.
Pemain-pemain musik dalam
marching band dapat
dimungkinkan membentuk
berbagai formasi baris berbaris.
Jika ada 18 pemain musik dalam
marching band tersebut ada
berapa formasi baris berbaris
(tetap dalam parade) yang dapat
mereka susun?
Gambar 1.4
9
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Kemampuan apa saja yang diperlukan untuk menyelesaikan soal tersebut? Untuk
menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi dunia
nyata ke dalam pengalaman matematis. Kecuali itu juga diperlukan kemampuan
mengoperasikan bilangan. Operasi hitung yang digunakan dalam menyelesaikan soal
tersebut adalah perkalian dan pembagian yang memunculkan pembagi atau faktor.
Apakah siswa Anda mengalami kendala dalam menentukan faktor suatu bilangan?
Apakah Anda sudah membelajarkan kemampuan menentukan faktor suatu bilangan
sesuai dengan kaidah-kaidah yang berlaku dalam pembelajaran?
Berikut ini adalah alternatif proses pembelajaran faktor suatu bilangan, yang
diharapkan dapat memudahkan siswa dalam menjawab permasalahan di atas. Guru
dapat memandu siswa dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan yang lebih
sederhana dengan menyediakan persegi satuan sebanyak 24 sampai 72
untuk tiap
kelompok agar mereka dapat melakukan eksplorasi.
Gambar 1.5
Pertanyaan yang diajukan guru antara lain adalah sebagai berikut. Guru memberi
pertanyaan: “Ibu/Bapak guru mempunyai model persegi-persegi satuan sebanyak 24
(Gambar 1.5). Ibu/Bapak guru ingin kalian menyusun semua persegi satuan tersebut
menjadi suatu bangun persegi panjang. Ada berapa cara yang dapat kalian lakukan
untuk menyusun semua persegi satuan tersebut?”
Diharapkan dengan model-model persegi siswa dapat menyusunnya membentuk
suatu persegi panjang yang berbeda-beda. Dalam hal ini siswa bebas mengemukakan
cara mereka masing-masing. Alternatif kemungkinan jawaban siswa yang diharapkan
adalah sebagai berikut.
Alternatif 1
Gambar 1.6
Gambar di atas menunjukkan bentuk perkalian dari 1 × 24 = 24
10
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Alternatif 2
Gambar 1.7
Gambar tersebut di atas menunjukkan bentuk perkalian dari 2 × 12 = 24
Alternatif 3
Gambar 1.8
Gambar 1.8 di atas menunjukkan bentuk perkalian dari 3 × 8 = 24
Alternatif 4
Gambar 1.9
Gambar di atas menunjukkan bentuk perkalian dari 4 × 6 = 24
Ada kemungkinan siswa memperoleh bentuk persegi panjang yang sama dengan
gambar di atas, namun dalam bentuk memanjang ke bawah bukan ke samping. Jika
demikian apa yang harus dilakukan oleh guru? Dari hasil-hasil yang diperoleh kita
dapat membawa siswa untuk memahami dan mendata apa yang telah mereka peroleh
seperti berikut.
24 = 1 × 24
= 24 × 1
24 = 2 × 12
= 12 × 2
11
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar 24 = 3 × 8
=8×3
24 = 4 × 6
=6×4
Dari hasil kegiatan tersebut, siswa ditanya hubungan apa yang diperoleh antara
bentuk perkalian dan hasilnya? Ternyata jika 24 dibagi 1 ataupun 24 dibagi 24, maka
tidak akan ada sisa. Dapat dikatakan bahwa 24 terbagi habis oleh 1 dan 24. Maka 1
dan 24 disebut faktor dari 24.
24 : 24 = 1
1 adalah faktor dari 24
24 : 1 = 24
24 adalah faktor dari 24
Jadi 24 dapat ditunjukkan sebagai bentuk perkalian dari dua bilangan dan keduanya
merupakan faktor dari 24. Sebagai contoh 1 × 24 = 24, maka 1 dan 24 adalah faktor
dari 24. Diharapkan siswa dapat mengisikan bentuk perkalian dan faktor-faktornya
pada tabel berikut.
Ekspresi bilangan sebagai
perkalian dua bilangan
1 × 24
2 × 12
3×8
4×6
6×4
8×3
12 × 2
24 × 1
Bilangan
24
Faktor dari 24
1 dan 24
2 dan 12
3 dan 8
4 dan 6
6 dan 4
8 dan 3
12 dan 2
24 dan 1
Tabel di atas dapat disederhanakan seperti yang ditunjukkan dalam bentuk tabel
berikut.
24
×
1
2
3
4
12
Perhatikan bahwa kolom pertama dan kedua pada tabel
24
12
8
6
di samping menunjukkan perkalian dua bilangan dengan
hasil seperti pada baris paling atas
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Dari tabel tersebut kita dapat mendata faktor dari 24, yaitu: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24.
Siswa hendaknya dapat memverifikasi bahwa bilangan antara 1 dan 24 selain 1, 2, 3,
4, 6, 8, 12, dan 24 bukan merupakan faktor dari 24 karena tidak membagi habis 24.
Setelah siswa paham dengan contoh di atas, maka cobalah siswa diminta untuk
menyelesaikan masalah di awal kegiatan, yaitu masalah tentang formasi marching
band. Pada kegiatan ini guru sebaiknya tidak hanya menanyakan kepada siswa
tentang hasilnya saja, namun juga menanyakan bagaimana cara memperoleh hasilnya.
Dalam hal ini siswa bebas mengemukakan cara mereka masing-masing. Alternatif
jawabannya adalah sebagai berikut.
18 = 1 × 18
18 = 2 × 9
18 = 3 × 6
Jadi formasi marching band yang dimungkinkan adalah 1 × 18, 2 × 9, dan 3 × 6.
Dari beberapa contoh diharapkan siswa dapat memahami faktor. Tanyakan kepada
siswa apa yang disebut dengan faktor? Berdasarkan hasil diskusi diharapkan siswa
dapat memahami bahwa:
faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan yang
membagi habis bilangan lain.
2.
Faktor Persekutuan
Masalah kelompok baris berbaris
Anggota pramuka kelas V dan VI SD ”Sukamaju” mengadakan Persami
(Perkemahan Sabtu Minggu). Anggota dari siswa kelas V sebanyak 48
orang dan dari kelas VI sebanyak 40 orang.
Untuk acara baris-berbaris, anggota pramuka
itu harus dibagi dalam beberapa kelompok.
Tiap kelompok merupakan campuran siswa
dari kelas V dan kelas VI dengan jumlah
anggota kelompok yang sama.
Berapa kemungkinan kelompok yang dapat
disusun?
Gambar 1.10
13
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Setelah siswa mampu menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman
matematis, maka diharapkan siswa dapat menyelesaikan masalah kelompok baris
berbaris di atas. Alternatif jawaban yang mungkin dari siswa antara lain adalah
sebagai berikut.
a. Menggunakan faktor
Faktor dari 40 adalah: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Faktor dari 48 adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Siswa mencermati faktor dari 40 dan 48 ternyata ada yang sama, yaitu: 1, 2, 4,
dan 8. Jadi yang merupakan faktor dari kedua bilangan itu adalah: 1, 2, 4, dan 8.
Kelompok baris-berbaris yang berasal dari kelas V kemungkinannya adalah:
48, 24, 12, atau 6.
Kelompok baris-berbaris yang berasal dari kelas VI kemungkinannya adalah:
40, 20, 10, atau 5
b. Menggunakan tabel
40
×
48
×
1
40
1
48
2
20
2
24
4
10
3
16
5
8
4
12
6
8
Dari tabel tersebut bilangan pembagi yang dapat membagi habis 40 dan 48 adalah
1, 2, 4, dan 8. Artinya 1, 2, 4, dan 8 ada di kedua tabel.
Jadi kelompok baris-berbaris di tiap kelompok kemungkinanya adalah sebagai
berikut.
Banyak Kelompok
1
2
4
8
14
Banyak Anggota Dari
Kelas V
Kelas VI
48 : 1 = 48
40 : 1 = 40
48 : 2 = 24
40 : 2 = 20
48 : 4 = 12
40 : 4 = 10
48 : 8 = 6
40 : 8 = 5
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Jika dari semua siswa belum ada yang mengemukakan tentang faktor persekutuan dua
bilangan, maka guru hendaknya mengenalkan istilah tersebut berdasarkan pada
jawaban siswa. Sehingga yang merupakan faktor dari kedua bilangan disebut sebagai
faktor persekutuan dari dua bilangan. Bagaimanakah cara membelajarkan faktor
persekutuan tiga bilangan? Guru dapat membelajarkan faktor persekutuan tiga
bilangan dengan cara yang sama seperti cara membelajarkan faktor persekutuan dua
bilangan.
Dengan beberapa contoh lainnya diharapkan siswa dapat memahami bahwa:
Faktor persekutuan dua bilangan adalah bilangan-bilangan yang
merupakan faktor dari dua bilangan tersebut.
Faktor persekutuan tiga bilangan adalah bilangan-bilangan yang
merupakan faktor dari tiga bilangan tersebut .
B. Kegiatan Belajar 2: Pembelajaran Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Perhatikan bilangan-bilangan: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan 19.
Berapakah banyaknya faktor dari bilangan-bilangan
tersebut?
Apa yang istimewa dari faktor bilangan tersebut?
Dapatkah Anda mencari bilangan-bilangan lainnya yang mempunyai
banyak faktor yang sama dengan bilangan-bilangan di atas?
Bilangan
2
3
5
7
11
13
17
19
Faktor
1 dan 2
1 dan 3
1 dan 5
1 dan 7
1 dan 11
1 dan 13
1 dan 17
1 dan 19
Coba kita data faktor-faktor dari bilangan di atas
dengan menggunakan tabel seperti di samping kiri
ini.
Ternyata
bilangan-bilangan
mempunyai dua faktor.
itu
tepat
Istimewanya faktor
tersebut adalah 1 dan bilangan itu sendiri.
15
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Bagaimanakah cara kita mencari
bilangan-bilangan
yang
hanya
1
2
3
4
5
mempunyai tepat dua faktor dari
6
7
8
9
10
bilangan 1 sampai dengan 50?
11
12
13
14
15
Cara mudah untuk mencari bilangan
16
17
18
19
20
prima dapat digunakan “Saringan
21
22
23
24
25
Erasthosthenes”. Misalkan kita akan
26
27
28
29
30
menentukan bilangan prima dari 1
31
32
33
34
35
sampai 50, langkah-langkahnya
36
37
38
39
40
adalah sebagai berikut.
41
42
43
44
45
1) Tuliskan lambang bilangan 1
46
47
48
49
50
sampai dengan 50 pada sebuah
tabel.
Gambar 2.11
2) Silanglah bilangan 1 karena 1 hanya mempunyai 1 faktor.
3) Lingkari bilangan 2 dan silang semua bilangan kelipatan 2.
4) Lingkari bilangan 3 dan silang semua bilangan kelipatan 3.
5) Lingkari bilangan 5 dan silang semua bilangan kelipatan 5.
6) Proses tersebut diteruskan sampai semua bilangan telah dilingkari atau disilang.
Dari proses tersebut di atas, diharapkan siswa dapat memahami bahwa bilangan yang
dilingkari adalah bilangan-bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan
bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan-bilangan yang diberi tanda silang adalah
yang bukan merupakan bilangan prima.
Dari contoh tersebut siswa diharapkan dapat memahami bahwa:
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai tepat dua faktor,
yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
16
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Apakah suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian bilangan prima?
Perhatikan contoh berikut.
Bilangan
Dituliskan sebagai perkalian faktor bilangan
Faktor prima
12
3×4
3 dan 4
3×2×2
3 dan 2
Bilangan 3 adalah faktor prima, tetapi 4 bukan. Namun, 4 = 2 × 2, dan 2 merupakan
faktor prima. Sehingga kita dapat menuliskan 12 = 2 × 2 × 3 dengan faktor-faktor
tersebut berurutan dari kiri ke kanan. Dapat dikatakan bahwa 12 diekspresikan dalam
faktor-faktor prima dan disebut sebagai faktorisasi prima.
Cara menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan dua
cara. Misalkan: carilah faktorisasi prima dari 72.
1) Dengan pohon faktor
Langkah 1: tulis dua bilangan yang merupakan hasil perkalian 72 seperti berikut.
72
36
2
Langkah 2: jika mungkin lanjutkan seperti cara di atas
72
36
2
6
6
Langkah 3: berhenti jika pada baris terakhir
72
menunjukkan faktor-faktor prima.
36
2
2
6
6
3
2
3
17
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar 72
Untuk bilangan yang sama, suatu pohon faktor
mungkin bisa dilakukan dengan cara yang berbeda.
Namun, tiap cara harus menunjukkan faktorisasi prima
yang sama. Jadi 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
36
2
2
18
2
9
3
3
2) Dengan pembagian
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
2
72
a. Bagilah 72 dengan faktor prima terkecil
2
36
b. Lakukan terus pembagian dengan faktor prima
2
18
3
9
3
3
terkecil sampai Anda tidak dapat membaginya.
c. Bagilah dengan faktor prima berikutnya.
d. Ulangi
terus
langkah-langkah
di
atas
1
sampai
diperoleh 1.
Jadi faktorisasi prima dari 72 adalah 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
Faktorisasi prima adalah suatu cara untuk menyatakan
bilangan sebagai bentuk perkalian dari faktor-faktor
prima disebut.
18
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD C. Kegiatan Belajar 3: Pembelajaran Cara Menentukan FPB
1.
Pembelajaran FPB dari dua bilangan
Masalah membagi sama banyak.
Atika mempunyai 12 apel dan 18 jeruk. Atika ingin membagi
buah-buahan tersebut ke dalam beberapa kantong plastik
sedemikian hingga isi tiap kantong plastik tersebut sama
(banyaknya apel di tiap kantong sama, demikian juga banyak
jeruk di tiap kantong sama). Berapakah banyaknya kantong
plastik terbanyak yang diperlukan oleh Atika? Berapakah
banyaknya apel dan jeruk di masing-masing kantong?
http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT
Qu50pg9Qh8xQfrfeaMtbGYhzTIFTvpfUj5WqimhznkTQL3_bpIMaSY_iA
http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQB
0uvrEGh_1Rub9kShVzCp-bEgRdRw4T_f7KZXKNY0dLD103xuyIj8KCKwQ
Gambar 2.12
Kemampuan apa saja yang diperlukan untuk menyelesaikan soal di atas? Untuk
menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi dunia
nyata ke dalam pengalaman matematis. Kecuali itu juga diperlukan kemampuan
mengoperasikan bilangan, yaitu pembagian.
Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, siswa diberi kebebasan dalam
mengerjakan sesuai dengan kemampuan dan hasil diskusi kelompok. Untuk
memudahkan mengerjakan permasalahan tersebut di atas, maka tiap kelompok siswa
dapat disediakan kerikil dua macam atau objek-objek yang lainnya sebagai pengganti
apel dan jeruk serta kantong plastik. Alternatif jawaban siswa yang mungkin antara
lain adalah sebagai berikut.
19
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar a. Dengan membagi apel maupun jeruk yang dimungkinkan, misalkan dibagi
menjadi 2 kantong, 3 kantong, 4 kantong, dan sebagainya.
Jika ada 2 kantong
Buah
Jika ada 3 kantong
Apel
Jeruk
6
6
12
0
9
9
18
0
Kantong
A
B
Jumlah
Sisa
Jika ada 4 kantong
Buah
Kantong
A
B
C
D
Jumlah
Sisa
Apel
Kantong
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Jumlah
Sisa
20
Kantong
A
B
C
Jumlah
Sisa
Apel
Jeruk
4
4
4
12
0
6
6
6
18
0
Jika ada 6 kantong
Jeruk
3
3
3
3
12
0
4
4
4
4
16
2
Jika ada 9 kantong
Buah
Buah
Apel
Jeruk
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
18
0
Buah
Kantong
A
B
C
D
E
F
Jumlah
Sisa
Apel
Jeruk
2
2
2
2
2
2
12
0
3
3
3
3
3
3
18
0
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Selanjutnya siswa mendata semua pembagi yang dapat membagi habis 12 apel
dan18 jeruk, berdasarkan pada hasil pembagian di atas. Hasilnya adalah sebagai
berikut.
Bilangan
Semua pembagi bilangan yang mungkin
12
2, 3, 4, dan 6
18
2, 3, 6, dan 9
Dari tabel tersebut ternyata pembagi yang dapat
membagi habis sekaligus 12 dan 18 adalah: 2,
3, dan 6.
Karena yang ditanyakan adalah sebanyak
mungkin kantong plastik yang diperlukan untuk
Gambar 2.13
membagi habis 12 apel dan 18 jeruk maka
jawabnya pembagi yang terbesar yaitu 6.
Jadi kantong plastik terbanyak yang diperlukan Atika ada 6.
Banyaknya buah di masing-masing kantong adalah 2 apel dan 3 jeruk (hasilnya
langsung diperoleh dari tabel).
b. Dengan mendata perkalian dua bilangan yang hasilnya 12 dan 18
12
18
×
×
1
12
1
18
2
6
2
9
3
4
3
6
Berdasarkan tabel di atas ternyata bilangan yang membagi habis 12 dan 18
adalah 1, 2, 3, dan 6. Karena yang ditanyakan adalah kantong plastik terbanyak
yang diperlukan untuk membagi habis 12 apel dan 18 jeruk maka jawabnya
pembagi yang terbesar yaitu 6.
21
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Jadi kantong plastik terbanyak yang diperlukan Atika adalah 6.
Setiap kantong akan berisi:
Apel sebanyak 12 : 6 = 2
Jeruk sebanyak 18 : 6 = 3
c. Untuk memperoleh kantong plastik terbanyak yang diperlukan.
Kemungkinan langkah-langkah yang dilakukan siswa adalah sebagai berikut.
1) Memahami masalahnya dengan menginterpretasikan apa yang diketahui:
setiap kantong plastik harus berisi sesedikit mungkin apel dan jeruk.
2) Identifikasi suatu rencana.
Untuk memperoleh sesedikit mungkin apel di kantong, maka kita harus
membagi habis 12 apel dengan banyak kantong plastik yang maksimal.
Untuk memperoleh sesedikit mungkin jeruk di kantong, maka kita harus
membagi habis 18 jeruk dengan banyak kantong plastik yang maksimal.
3) Mendata semua faktor-faktor yang mungkin dari 12 dan 18.
Bilangan
Semua faktor yang mungkin
12
18
1, 2, 3, 4, 6, 12
1, 2, 3, 6, 9, 18
Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6.
4) Kembali ke permasalahan semula
Dari bilangan-bilangan yang merupakan faktor persekutuan dari 12 dan 18,
maka maksimal banyak kantong yang diperlukan adalah 6 buah.
Setiap kantong akan berisi:
Apel sebanyak 12 : 6 = 2
Jeruk sebanyak 18 : 6 = 3.
Dari ketiga alternatif tersebut di atas, siswa diajak berdiskusi cara mana yang lebih
mudah dan cepat. Dalam hal ini yang perlu ditekankan oleh guru adalah: jika yang
dicari adalah pembagian secara merata yang dapat dilakukan secara maksimal pada
sejumlah orang atau sejumlah objek, maka kita dapat memecahkan masalah ini
22
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD dengan mencari FPB seperti yang dilakukan oleh kelompok siswa. Bagaimana jika
faktor persekutuan dari dua bilangan tidak ada yang lebih dari 1?
2.
Pembelajaran FPB dari tiga bilangan
Perhatikan permasalahan berikut ini
Masalah membagi sama banyak
Eli mempunyai tiga tempat
CD yang dapat menyimpan
16, 24, dan 32 CD. Tempat
CD tersebut mempunyai sekat-sekat
yang
dapat
menyimpan beberapa CD.
Berapakah banyaknya CD
maksimal
yang
dapat
disimpan di tiap bagian?
http://4.bp.blogspot.com/_Gj54h9GrWzQ/TQ_nVvJ7RlI/AA
AAAAAAACA/21izFSoz6Lw/s1600/Tempat+CD.jpg
Gambar 2.14
Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi
dunia nyata ke dalam pengalaman matematis. Kecuali itu juga diperlukan
kemampuan mengoperasikan bilangan. Operasi hitung yang digunakan dalam
menyelesaikan soal tersebut adalah pembagian.
Berikan kebebasan kepada siswa untuk menyelesaikan permasalahan di atas sesuai
dengan kemampuan masing-masing. Ada kemungkinan siswa mengerjakan seperti
yang mereka lakukan pada saat menentukan faktor persekutuan terbesar dari dua
bilangan. Perkiraan alternatif jawaban siswa adalah sebagai berikut.
23
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar a.
Dengan faktor persekutuan
Kolom pertama dan kedua merupakan hasil perkalian dari dua bilangan dengan
hasil seperti pada baris pertama pada tiap tabel.
16
×
24
×
16
8
4
1
2
4
32
×
24
12
8
6
1
2
3
4
32
16
8
1
2
4
Dari ketiga tabel tersebut bilangan yang ada pada tiap tabel (merupakan faktor
persekutuan ketiga bilangan) adalah: 1, 2, 4, dan 8.
Bilangan yang terbesar adalah 8. Jadi banyaknya maksimal CD yang dapat
disimpan pada tiap bagian adalah 8 atau dengan kata lain FPB dari 16, 24, dan 32
adalah 8.
b. Dengan faktorisasi prima
16
8
2
32
24
2
12
2
2
4
2
16
= 2 × 2 × 2 ×2
24
= 2 × 2 × 2 ×
32
= 2 × 2 × 2 × 2×2
2
6
2
2
16
2
3
8
2
4
2
2
3
FPB = 2 × 2 × 2
Sehingga FPB dari 16, 24, dan 32 adalah 2 × 2 × 2 = 23 = 8.
Dari penyelesaian tersebut, terlihat bahwa untuk menentukan FPB dari tiga
bilangan dapat dilakukan dengan mengalikan faktor-faktor prima yang sama dari
bilangan-bilangan tersebut dengan pangkat yang terkecil.
24
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 16 = 24
24 = 23 × 3
32 = 25
FPB dari 16, 24, dan 32 adalah 23 = 8
Jadi CD maksimal yang dapat tersimpan dalam tiap sekat ada 8.
Mengapa untuk mencari FPB diambil faktor prima yang sama dengan pangkat
yang terkecil? Alasannya diambil faktor prima yang sama dengan pangkat yang
terkecil agar dapat membagi semua bilangan. Jika diambil pangkat yang terbesar
tidak dapat membagi bilangan yang lebih kecil sehingga tidak ada persekutuan.
c.
Dengan tabel pembagian
1) Bagi ketiga bilangan dengan bilangan prima terkecil.
2
16
8
24
12
32
16
2) Bagi lagi ketiga bilangan dengan faktor prima terkecil sampai tidak dapat
dibagi lagi dengan bilangan prima terkecil.
2
2
2
2
16
8
4
2
1
32
24
12
6
3
3
3 tidak habis dibagi 2, maka 3
16
8
4
2
diturunkan ke baris berikutnya.
3) Lanjutkan langkah-langkah di atas sampai diperoleh hasil 1.
2
2
2
2
2
3
16
8
4
2
1
1
1
24
12
6
3
3
3
1
32
16
8
4
2
1
1
3 tidak habis dibagi 2 lagi, maka
3 turun lagi ke baris berikutnya.
Demikian
seterusnya
sampai
hasil tinggal 1 semua (baris
paling bawah).
25
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar 4) FPB adalah hasil kali dari pembagi yang membagi ketiga bilangan, yaitu:
2 × 2 × 2.
Jadi banyak CD maksimal yang dapat tersimpan dalam tiap bagian (sekat) ada
8.
Dari ketiga alternatif tersebut di atas, siswa diajak berdiskusi cara mana yang lebih
mudah dan cepat dalam menyelesaikan permasalahan. Dari contoh-contoh
permasalahan di atas diharapkan siswa dapat memahami bahwa:
FPB dari beberapa bilangan adalah faktor persekutuan
yang paling besar diantara faktor-faktor persekutuan
yang ada dari bilangan yang diketahui.
Guru perlu menggarisbawahi bahwa: jika yang dicari adalah pembagian maksimal
secara merata pada sejumlah orang atau objek, maka dapat digunakan FPB untuk
menyelesaikan masalahnya.
3.
Menentukan FPB dari dua bilangan secara geometris
Adakah cara lain untuk menentukan FPB tanpa
menggunakan perhitungan algoritma yang rumit?
Jika dalam menentukan FPB dengan perhitungan algoritma siswa mengalami
kesulitan, maka dapat digunakan cara geometris (menggunakan gambar). Penggunaan
metode gambar ini tidak tergantung pada faktor persekutuan, ataupun pembagian,
namun hanya diperlukan operasi hitung yang sederhana. Diharapkan dengan
menggunakan gambar, siswa yang mengalami kesulitan memahami cara menentukan
FPB dengan perhitungan menjadi lebih mudah. Namun sebelum menggunakan cara
26
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD ini, maka siswa diharapkan sudah paham mengenai luas persegi panjang dan luas
persegi.
Secara umum, dalam menentukan FPB secara geometris dari dua bilangan, adalah:
a. buat persegi sebanyak mungkin dari ukuran persegi panjang yang terkecil dan
dimulai dari satu titik sudut.
b. apabila seluruh persegi panjang telah terisi dengan persegi-persegi, maka berarti
proses telah selesai.
c. jika masih ada sisa pada persegi panjang, maka harus diulangi lagi prosesnya
sampai diperoleh persegi yang paling kecil.
d. ukuran panjang persegi yang terkecil merupakan FPB dari dua bilangan.
Contoh 1
Berapakah FPB dari 12 dan 20?
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.
Langkah 1
Buatlah persegi panjang ukuran 12 × 20
12
20
27
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Langkah 2
Gambar sebanyak mungkin persegi dari ukuran persegi panjang yang terkecil, yaitu
12 × 12 dan dimulai dari salah satu titik sudut. Setelah dibuat persegi, maka yang
tersisa adalah persegi panjang ukuran 8 × 12.
12
12
12
8
Langkah 3
Ulangi kegiatan di atas dengan menggambar sebanyak mungkin persegi paling besar
yang dapat dibuat, dalam hal ini adalah persegi berukuran 8 × 8, menyambung pada
titik sudut persegi sebelumnya.
8
4
12
8
12
28
8
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Langkah 4
Sisanya adalah persegi panjang berukuran 4 × 8. Ulangi lagi proses di atas dengan
menggambar sebanyak mungkin persegi ukuran 4 × 4, dan diperoleh dua buah
persegi.
4
4
4
4
12
8
8
12
Langkah 5
Nampak dari gambar tersebut persegi panjang 12 × 20 sudah terisi dengan persegi,
dan persegi terakhir ukuran 4 × 4, maka FPB dari 12 dan 20 = 4
Contoh 2
Berapakah FPB dari 7 dan 24?
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.
Langkah 1
Buatlah persegi panjang berukuran 7 × 24
7
24
29
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Langkah 2
Mulai dari salah satu titik sudut, gambarlah sebanyak mungkin persegi ukuran 7 × 7.
Ternyata ada 3 persegi ukuran 7 × 7.
7
7
7
7
7
7
7
3
Langkah 3
Sisanya berupa persegi panjang berukuran 3 × 7. Berapakah banyaknya persegi
ukuran 3 × 3 yang dapat dibuat pada persegi panjang tersebut? Kita hanya dapat
membuat 2 persegi ukuran 3 × 3.
1
3
7
7
7
7
3
7
7
3
3
3
Langkah 4
Sisanya adalah persegi panjang berukuran 1 × 3, maka kita dapat membuat tiga
persegi ukuran 1 × 1
11 1
7
7
30
7
7
7
7
3
3
3
3
1
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Langkah 5
Dari gambar tersebut terlihat bahwa persegi panjang ukuran 7 × 24 sudah terisi
persegi, dan persegi terakhir ukuran 1 × 1, maka FPB dari 7 dan 24 adalah 1.
Mengapa cara menentukan FPB dari dua bilangan dapat digambarkan secara
geometris?
1) Dengan membuat replikasi FPB sepanjang sisi persegi panjang pertama selama
tahap konfirmasi (langkah 5), maka sebenarnya kita melakukan operasi hitung
pembagian.
2) Ketika membagi sisi-sisi persegi panjang dengan ukuran persegi terakhir
(merupakan FPB). Langkah ini jelas menunjukkan bahwa persegi terakhir (FPB)
tersebut merupakan pembagi, dan merupakan pembagi terbesar karena prosedur
di atas menguji setiap bilangan yang mungkin menjadi pembagi sisi persegi
panjang.
3) Ketika mengulangi kemungkinan menggambar persegi yang sama pada persegi
panjang (ini terjadi sekali pada contoh 1 dengan persegi ukuran 4 × 4 dan tiga
kali pada contoh 2, yaitu 7 × 7 dan 1 × 1). Berarti kita melakukan pembagian
ketika melakukan pengurangan secara berulang. Artinya, cara ini merupakan
pengganti metode pengurangan berulang atau merupakan pembagian.
Dengan demikian, ketika harus melakukan pembagian akan menjadi lebih mudah.
Cara ini adalah cara yang sederhana dari suatu prosedur yang dikenal sebagai
algoritma Euclide.
Sehingga contoh-contoh di atas, dapat dituliskan secara algoritma Euclide sebagai
berikut.
Pada contoh 1.
Langkah 1
Bilangan yang kecil sebagai pembagi bilangan yang besar atau bilangan yang besar
membagi bilangan yang kecil Æ
20
= 1 sisa 8.
12
31
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar Langkah 2
Sisa pembagian sebagai pembagi yang baru dan pembagi yang lama sebagai bilangan
yang dibagi. Dalam hal ini 8 sebagai pembagi dan 12 yang dibagi Æ
12
= 1 sisa 4.
8
Langkah 3
Lakukan cara yang sama di atas sampai sisanya nol Æ
8
= 2 sisa 0
4
Karena sisanya 0, maka FPB dari 12 dan 20 adalah pembagi terakhir, yaitu 4.
Pada contoh 2.
Langkah 1
Bilangan yang kecil sebagai pembagi bilangan yang besar atau bilangan yang besar
membagi bilangan yang kecil Æ
24
= 3 sisa 3.
7
Langkah 2
Sisanya sebagai pembagi yang baru dan pembagi yang lama sebagai bilangan yang
dibagi. Sehingga 3 sebagai pembagi dan 7 merupakan bilangan yang dibagi Æ
7
=2
3
sisa 1.
Langkah 3
Lakukan cara yang sama seperti di atas sampai sisanya nol Æ
3
= 3 sisa 0.
1
Karena sisanya 0, maka FPB dari 7 dan 24 adalah pembagi terakhir, yaitu 1.
Hal itu menunjukkan bahwa apabila tidak ada faktor persekutuan yang lebih besar 1
dari bilangan-bilangan yang ada, maka FPB dari bilangan-bilangan tersebut adalah 1.
Coba tunjukkan dengan suatu masalah.
32
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD D. Kegiatan Belajar 4: Terapan FPB dalam Kehidupan dan Permasalahan
Lain yang Relevan
Banyak situasi kehidupan nyata melibatkan faktor persekutuan terbesar. Seperti yang
telah dikemukakan sebelumnya dalam salah satu terapan untuk FPB adalah
pembagian secara merata yang dapat dilakukan secara maksimal pada sejumlah orang
atau sejumlah objek. Terapan lain yang sudah dikenal umum untuk terapan FPB
adalah dalam menyederhanakan pecahan ke bentuk yang paling sederhana
1.
Menyederhanakan pecahan biasa
Kira-kira 72 orang dari 96 karyawan pemadam kebakaran bekerja di badan pemadam
kebakaran kota. Nyatakan pecahan
72
ke bentuk yang paling sederhana.
96
Penyelesaian
Karena akan menyederhanakan pecahan, maka akan dicari pembagi terbesar dari
pembilang dan penyebut. Untuk mencari pembagi terbesar dari pembilang dan
penyebut, berarti akan dicari FPB dari keduanya. Dalam contoh akan digunakan
faktorisasi prima seperti berikut.
96
72
2
2
36
2
2
9
3
24
2
18
2
48
12
6
2
3
2
3
Sehingga
72
= 2 × 2 × 2 ×
96
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
FPB (72,96) = 2 × 2 × 2
3 × 3
× 3 = 24
Perhatikan bagian yang diblok adalah merupakan FPB dari 72 dan 96, karena
merupakan kelipatan persekutuan pembilang dan penyebut. Bisa juga siswa sekaligus
33
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dikenalkan cara menentukan FPB dengan menggunakan bilangan berpangkat, sebagai
berikut.
72
= 23 × 32
96
= 25 × 31
FPB (72, 96) adalah perkalian bilangan pangkat terkecil dari faktorisasi prima.
Jadi FPB (72, 96) = 23 × 31 = 8 × 3 = 24.
Karena sudah diketahui FPB (72, 96) = 24, maka untuk menyederhanakan
pecahannya dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan FPB,
yaitu:
3
72 72 : 24 3
=
= . Jadi dari seluruh karyawan pemadam kebakaran bekerja di
96 96 : 24 4
4
badan pemadam kebakaran kota.
2.
Menyederhanakan pecahan desimal
Ubahlah 0,225 menjadi pecahan dalam bentuk pecahan biasa paling sederhana.
Penyelesaian
Untuk menyelesaikannya, maka pecahan desimal diubah menjadi pecahan biasa.
Jika pecahannya bukan merupakan pecahan sederhana, maka pecahan tersebut harus
disederhanakan dengan mencari FPB dari pembilang dan penyebut.
0,225 =
225
1000
Untuk mencari FPB dapat digunakan algoritma Euclide
1000 : 225 = 4 sisa 100
225 : 100 = 2 sisa 25
100 : 25
= 4 sisa 0
Karena sisa sudah nol, maka FPB dari 225 dan 1000 = 25
225
225 : 25
9
=
=
1000 1000 : 25 40
Jadi 0,225 =
34
9
40
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 3.
Membagi sama banyak
Septi sebentar lagi akan merayakan hari ulang tahunnya yang ke-13. Ia sudah
berencana akan mengundang anak yatim ke rumahnya dan akan membagikan
bingkisan kepada mereka. Tabungan Septi hanya cukup digunakan untuk membeli 75
buku tulis dan 50 pensil. Setiap anak yatim nantinya akan memperoleh buku tulis dan
pensil yang sama banyak.
a. Berapa anak yatim terbanyak yang akan diundang ke ulang tahunnya?
b. Berapakah buku tulis dan pensil yang diperoleh masing-masing anak?
Penyelesaian
a. Karena permasalahannya adalah membagi sama banyak kepada paling banyak
anak yatim, maka dapat digunakan FPB. Oleh karena itu perlu di data semua
faktor-faktor yang mungkin dari 75 dan 50.
Bilangan
75
50
Semua faktor yang mungkin
1, 3, 5, 15, 25, 75
1, 5, 25, 50
Faktor persekutuan dari 75 dan 50 adalah 1, 5, dan 25.
Faktor persekutuan terbesar dari 75 dan 50 adalah 25 (faktor terbesar dari faktorfaktor yang ada)
b. Anak yatim terbanyak yang diundang ke pesta ulang tahun Septi sebanyak 25
anak.
Setiap bingkisan akan berisi:
buku tulis sebanyak 75 : 25 = 5
pensil sebanyak 50 : 25 = 2.
4.
Banyak permen di tiap bungkus
Brian, Peter, dan Fajar membeli beberapa bungkus
permen lolipop dan banyak permen tiap bungkus
sama. Setelah bungkusnya dibuka, ternyata Brian
mempunyai 60 permen, Peter 40 permen, dan Fajar
35
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar 48 permen. Berapa permen terbanyak di setiap bungkus. Berapa bungkus permen
yang dibeli masing-masing orang?
Penyelesaian
Permasalahan sebenarnya adalah membagi permen lolipop sebanyak mungkin dengan
jumlah yang sama pada tiap bungkus. Berarti yang dicari adalah FPB dari sejumlah
permen.
4
2
2
5
3
60
15
15
15
3
1
40
10
5
5
1
1
48
12
6
3
3
1
Jika suatu bilangan tidak dapat dibagi oleh
bilangan pembagi, maka bilangan tersebut
diturunkan ke baris berikutnya.
Dari tabel pembagian terlihat bahwa pembagi dari 60, 40, dan 48 adalah 4, sehingga
FPB dari ketiga bilangan tersebut adalah 4. Jadi banyak permen maksimal di tiap
bungkus ada 4 buah.
Jadi banyaknya permen yang dibeli Brian ada 15 bungkus, Peter 10 bungkus, dan
Fajar 12 bungkus (terlihat dari tabel).
5.
Menentukan persegi terbesar
Asvin sedang mengerjakan tugas dari gurunya untuk membuat beberapa persegi
dengan ukuran yang sama dari suatu kertas yang berukuran 30 cm × 36 cm sampai
tidak ada yang tersisa.
a. Bantulah Asvin untuk menentukan ukuran persegi terbesar yang dapat dibuat dari
kertas tersebut!
b. Berapakah banyaknya persegi yang dapat dibuat Asvin?
Penyelesaian
Permasalahannya adalah membuat persegi terbesar dari kertas berbentuk persegi
panjang. Alternatif penyelesaiannya dengan mencari faktor kedua bilangan tersebut.
36
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
1) Pertama, kita harus mencari suatu angka yang dapat membagi kedua ukuran
tersebut (30 cm dan 36 cm)
2) Hal tersebut sama halnya jika kita mencari faktor dari 30 dan 36. Untuk
memudahkan, kita urutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Faktor 30 : 1 , 2 , 3 , 5, 6 , 10, 15, 30
Faktor 36 : 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 9, 12, 18, 36
3) Faktor persekutuan dari 30 dan 36 adalah: 1, 2, 3, dan 6; sehingga persegi
terbesar yang dapat dibuat adalah 6 cm × 6 cm.
4) Banyaknya persegi yang dapat dibuat adalah: (30 : 6) × (36 : 6) = 5 × 6 = 30
persegi
Dari contoh-contoh tersebut di atas, maka jelaslah bahwa terapan FPB kaitannya
dengan materi lain dalam pembelajaran matematika adalah menyederhanakan
pecahan (pecahan biasa, desimal, maupun persen). Selain itu FPB dapat dimanfaatkan
dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari, khususnya dalam hal
membagi sama banyak dan maksimal. Yang paling utama dalam menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan FPB adalah melihat kata kunci atau permasalahan
yang ditanyakan.
37
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar E. Ringkasan
Dalam pembelajaran FPB dari dua atau tiga bilangan, siswa hendaknya dapat
menemukan sendiri caranya dengan bantuan objek yang konkret maupun fasilitasi
dari guru. Selain itu, diharapkan siswa dapat menghubungkan antara kemampuan
menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman matematis, atau juga dapat
menghubungkan antara operasi perkalian dan pembagian. Dengan mengonstruksi
sendiri pengetahuannya diharapkan pemahaman mengenai FPB dapat bertahan lama
di benak siswa. Hal-hal yang perlu mendapatkan perhatian siswa adalah sebagai
berikut.
1. Faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan yang membagi habis
bilangan tersebut, kecuali nol
2. Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah faktor-faktor yang sama dari dua
bilangan tersebut.
3. Bilangan yang tepat mempunyai dua faktor disebut bilangan prima. Dengan kata
lain, bilangan prima hanya mempunyai faktor 1 dan bilangan itu sendiri. Oleh
karena itu 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap, sedangkan yang lain
bilangan ganjil. Namun, tidak semua bilangan ganjil adalah bilangan prima.
4. Faktorisasi prima adalah suatu cara untuk menyatakan bilangan sebagai bentuk
perkalian dari faktor-faktor prima. Cara menentukan faktorisasi prima dari suatu
bilangan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan pohon faktor dan
pembagian secara kontinu.
5. FPB dari beberapa bilangan adalah faktor persekutuan yang paling besar diantara
faktor-faktor persekutuan yang ada dari bilangan yang diketahui. Jika dua
bilangan tidak mempunyai faktor persekutuan lebih dari 1, maka FPB bilangan
tersebut adalah 1.
6. Cara menentukan FPB dapat dilakukan dengan menggunakan: (a) faktor
persekutuan; (b) faktorisasi prima; dan (c) tabel pembagian secara kontinu.
7. Untuk menentukan FPB dengan faktorisasi prima dari beberapa bilangan dapat
dilakukan dengan mengalikan faktor-faktor prima yang sama dari bilanganbilangan tersebut dan berpangkat terkecil.
38
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 8. FPB dapat dimanfaatkan untuk materi dalam pembelajaran matematika ketika
menyederhanakan berbagai bentuk pecahan. Selain itu dapat dimanfaatkan pula
untuk menyelesaikan masalah sehari-hari khususnya yang berkaitan dengan
membagi sama banyak dan maksimal/sebanyak mungkin kepada beberapa orang
ataupun beberapa objek.
F. Latihan 1.1
Tanpa menggunakan alat bantu hitung, silakan Anda kerjakan sendiri latihan-latihan
berikut ini dan hendaknya jawaban disertai dengan prosesnya. Latihan yang ada
meliputi faktor persekutuan dan FPB. Anggaplah soal-soal pada latihan berikut ini
sebagai bahan penugasan matematika untuk siswa Anda. Setelah Anda menyelesaikan
soal-soal latihan, selanjutnya diskusikan bagaimana cara atau proses pembelajaran
masing-masing bahan penugasan tersebut dengan teman sejawat Anda di sekolah atau
anggota KKG lainnya.
1. Suatu tanah pertanian berbentuk persegi panjang dengan ukuran 20 m × 15 m
akan dibagi menjadi beberapa persegi yang sama ukurannya untuk menanam bibit
padi. Carilah kemungkinan panjang persegi terbesar yang dapat dibuat untuk
membagi tanah pertanian tersebut sehingga menjadi beberapa persegi.
2. Samanta mempunyai dua lembar kertas dengan ukuran panjang yang sama,
namun berbeda ukuran lebarnya. Salah satu kertas lebarnya 36 cm dan lebar
kertas lainnya 45 cm. Ia ingin memotong kedua kertas tersebut memanjang
dengan ukuran yang sama. Berapakah lebar maksimal kertas yang akan dipotong
Samanta? Berapakah banyaknya potongan kertas Samanta?
3. Ibu Eva memiliki 120 krayon dan 30
potongan kertas untuk diberikan kepada
siswanya. Berapa jumlah terbesar siswa yang
mendapat bagian krayon dan kertas, sehingga
setiap siswa memperoleh krayon dengan jumlah yang sama dan kertas dengan
jumlah yang sama pula.
4. Rosa akan membuat papan permainan dengan ukuran 40 cm dan 60 cm. Ia ingin
memberi stiker berbentuk persegi yang ukurannya sama untuk menutupi seluruh
39
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar permukaan papan tersebut. Berapakah ukuran persegi terbesar yang dapat Ia
gunakan?
5. Ibu memiliki 28 kue keju dan 40 kue donat.
Kue-kue tersebut akan dimasukkan ke
dalam kotak-kotak kue. Jika setiap kotak
memuat
kue keju dan kue donat dalam
jumlah yang sama, berapa kemungkinan kotak terbanyak?
6. Ibu Siska akan membagikan 27 kemeja dan 45 celana pendek kepada anak-anak
yang membutuhkan. Setiap anak memperoleh kemeja dan celana pendek
dalam jumlah yang sama.
a. Berapa banyak anak yang memperoleh kemeja dan celana pendek tersebut?
b. Berapa banyak kemeja dan celana pendek yang diperoleh setiap anak?
7. Seorang pedagang memiliki 42 permen rasa cokelat, 48
permen rasa jeruk, dan 60 permen rasa mangga. Ia
menginginkan setiap stoples memuat ketiga jenis
permen tersebut dalam jumlah yang sama.
a. Berapa banyak stoples yang harus disediakan?
b. Berapa banyak permen rasa cokelat, rasa jeruk, dan rasa mangga dalam
setiap stoplesnya?
8. Bapak menanam 50 pohon mangga
dan 30 pohon rambutan. Bapak
menginginkan jumlah dan jenis pohon yang sama per baris. Berapa jumlah
maksimum pohon yang dapat Bapak tanam per baris?
9. Tabel di samping menunjukkan sejumlah buah yang telah
Nandika panen dari kebun
milik keluarganya. Masing-
masing jenis buah akan dimasukkan dalam kantong
sedemikian hingga setiap kantong berisi buah yang sama
banyak dan tidak ada buah yang berbeda jenis masuk dalam
kantong yang sama.
Buah yang diambil
Buah
Banyak
Jeruk nipis
105
Jeruk lemon
45
Jeruk manis
75
a. Cari jumlah terbanyak buah yang dapat dimasukkan
dalam masing-masing kantong.
b. Berapa banyak tas masing-masing jenis buah yang diperlukan?
40
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 10. Bu Ocha mencatat sejumlah uang biaya studi banding
dari siswa kelas VI, seperti tampak pada tabel di
samping. Setiap siswa membayar jumlah yang sama
pada salah satu hari tersebut. Berapakah biaya studi
Uang yang dikumpulkan
oleh Ibu Ocha
Senin
Selasa
Kamis
Rp 480.000,00
Rp 400.000,00
Rp 240.000,00
banding untuk setiap siswa?
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban latihan pada lampiran modul ini.
Hitunglah jumlah jawaban yang benar, kemudian tentukan tingkat penguasaan Anda
terhadap materi dalam Modul 1 ini dengan menggunakan rumus berikut.
Tingkat penguasaan (tp) =
jumlah jawaban benar
× 100%
10
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai adalah sebagai berikut.
86% < tp
: baik sekali
70% < tp ≤ 86%
: baik
60% < tp ≤ 70%
: cukup
tp < 60%
: kurang
Setelah Anda mencocokkan jawaban latihan dengan kunci jawaban, apakah Anda
sudah berhasil menyelesaikan latihan pada modul 1 ini? Selamat, bagi Anda yang
telah mencapai tingkat penguasaan 75% (kategori baik), berarti Anda telah berhasil.
Bagi Anda yang belum berhasil, jangan jemu atau berputus asa untuk mencermati
kembali uraian pada modul 2 ini. Jika dimungkinkan berdiskusilah dengan teman
sejawat atau fasilitator Anda tentang bagian-bagian yang belum Anda pahami terkait
uraian yang ada pada modul ini. Bantulah sejawat atau kawan Anda jika Anda telah
menguasainya.
Kemampuan siswa dalam menentukan FPB dari dua atau tiga suatu bilangan di setiap
sekolah belum tentu sama. Sehingga strategi pembelajarannya tentu tidak sama bila
kondisi siswa berbeda. Saran kami, gunakan saran-saran proses pembelajaran dalam
modul ini sebagai pertimbangan dalam proses diskusi Anda. Selamat belajar!
41
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar H. Daftar Pustaka
Bailey, Ronda, dkk. 2006. Mathematics: Aplications and Concepts. Columbus: The
McGraw-Hill Companies, Inc.
Burhan Mustaqim dan Ary Astuty. 2008. BSE: Ayo Belajar Matematika 4 Untuk SD
dan MI Kelas IV. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Chow Wai Kung. 2008. Discovering Mathematics. Malaysia: KHL Printing Co Sdn
Bhd.
Finding the Greatest Common Factor Visually, Without Calculation.
http://www.mathventures.com /mathed/Arithmetic/Finding GCF.htm. Diakses
tanggal 22 Maret 2011.
Hoon, Liem Siew; Hoon, Teo Peck; dan Sum, Yang Yet. 2007. Secondary 1A Normal
Academic: Math Insight. Malaysia: Pearson education South Asia Pte Ltd.
J.J. Siang. 2002. Jurnal Integral: Bilangan Prima: Perkembangan dan Aplikasinya.
Volume 7 No. 1.
Marsudi Raharjo. 2004. Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat. Bahan Ajar disampaikan
pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SD Jenjang Lanjut.
Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
R. Sachidanandan. 2008. Textbook 5A: Explore Maths. Singapore: Panpac Education
Private Limited.
Sri Wardhani. 2011. Rambu-rambu Penulisan Modul Matematika SD dan SMP bagi
Guru Program BERMUTU Oleh PPPPTK Matematika Tahun
2011.Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Makalah tidak dipublikasikan.
----. Eratosthenes.http://id.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes. Diakses tanggal 9 April
2011.
----. 2005. Undang-Undang RI Nomor 14. Tentang Guru dan Dosen. Jakarta:
Kementrian Pendidikan Nasional.
----. 2007. Permendiknas Nomor 16 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan
Kompetensi Guru. Jakarta: Kementrian Pendidikan Nasional.
----. 2006. Permendiknas Nomor 22 tentang Standar Isi. Jakarta: Kementrian
Pendidikan Nasional.
42
II
PEMBELAJARAN KELIPATAN
PERSEKUTUAN TERKECIL
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD II. PEMBELAJARAN KELIPATAN
PERSEKUTUAN TERKECIL
Kompetensi Guru
Kompetensi guru yang ingin dicapai dalam kegiatan ini adalah sebagai berikut.
1. Memilih materi lima mata pelajaran SD/MI yang terkait dengan pengalaman
belajar dan tujuan pembelajaran (3.4)
2. Menata materi pembelajaran secara benar sesuai dengan pendekatan yang
dipilih dan karakteristik peserta didik usia SD/MI (3.5)
3. Memahami prinsip-prinsip perancangan pembelajaran yang mendidik (3.6)
4. Berkomunikasi dengan teman sejawat dan komunitas ilmiah lainnya secara
santun, empatik dan efektif (17.1)
5. Menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural serta keterkaitan keduanya
dalam konteks materi aritmetika, aljabar, geometri, trigonometri, pengukuran,
statistika, dan logika matematika (20.7)
6. Mampu
menggunakan
matematisasi
horizontal
dan
vertikal
untuk
menyelesaikan masalah matematika dan masalah dalam dunia nyata (20.8)
7. Mampu menggunakan pengetahuan konseptual, prosedural, dan keterkaitan
keduanya dalam pemecahan masalah matematika, serta penerapannya dalam
kehidupan sehari-hari (20.9)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) merupakan materi prasyarat (yang diperlukan)
untuk membelajarkan topik-topik lain dalam matematika. Salah satu diantaranya
adalah keterampilan prasyarat untuk melakukan operasi hitung penjumlahan dan
pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Selain itu KPK juga diperlukan
dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dijumpai oleh siswa,
misalnya perkiraan waktu tempuh yang diperlukan dalam menyusul kendaraan
43
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil lainnya atau untuk menentukan suatu perulangan dari suatu kegiatan ataupun suatu
peristiwa. Oleh karena itu pada modul 2 ini akan dibahas tentang pembelajaran KPK
di SD.
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan tentang: cara
menentukan KPK dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan KPK serta
pembelajarannya.
Untuk membantu Anda menguasai kemampuan tersebut, maka bacalah dengan
cermat uraian materi yang terdapat dalam modul ini yang terdiri atas tiga kegiatan
belajar (KB) seperti berikut.
A. KB 1: Pembelajaran kelipatan dan kelipatan persekutuan
B. KB 2: Pembelajaran cara menentukan KPK
C. KB 3: Terapan KPK dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevan
A. Kegiatan Belajar 1: Pembelajaran Kelipatan dan Kelipatan Persekutuan
1. Kelipatan Suatu Bilangan
Perhatikan permasalahan berikut.
Nina mempunyai 1 tusuk sate telur, Nita
mempunyai 2 tusuk sate telur, Nani mempunyai 3
tusuk sate telur, dan Nana mempunyai 4 tusuk sate
telur. Berapakah banyaknya telur masing-masing
anak?
Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi
dunia nyata ke dalam pengalaman matematis. Dalam menjawab permasalahan di atas
ada kemungkinan siswa masih melakukan operasi hitung
berulang, seperti berikut.
44
penjumlahan secara
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Banyak telur
Nina adalah 4
Banyak telur Nita
adalah 4 + 4 = 8
Banyak telur Nani
adalah 4 + 4 + 4 = 12
Banyak telur Nana
adalah 4 + 4 + 4 + 4 = 16
Namun, ada kemungkinan siswa sudah dapat menghitung banyak telur masingmasing anak dengan menggunakan bentuk perkalian seperti berikut.
Banyak telur Nina
adalah 1 × 4 = 4
Banyak telur Nita
adalah 2 × 4 = 8
Banyak telur Nani
adalah 3 × 4 = 12
Banyak telur Nana
adalah 4 × 4 = 16
Oleh karena itu, menjadi tugas guru untuk mendiskusikan dengan siswa cara yang
lebih efektif. Dari jawaban siswa kemudian guru dapat mengajak untuk menuliskan
hasil kalinya secara berurutan: 4, 8, 12, 16. Siswa diminta untuk mengamati dan
melihat
polanya.
Ternyata
bilangan-bilangan
tersebut
diperoleh
dengan
menambahkan 4 dari bilangan sebelumnya, atau mengalikan 4 dengan bilangan 1, 2,
3, dan 4. Guru dapat menyampaikan kepada siswa bahwa bilangan-bilangan yang
diperoleh disebut bilangan kelipatan 4. Guru dapat memberikan contoh-contoh lain
untuk menentukan kelipatan suatu bilangan. Hendaknya contoh-contoh tersebut
dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari siswa. Setelah belajar tentang kelipatan, maka
diharapkan siswa dapat memahami bahwa:
untuk menentukan kelipatan suatu bilangan, maka kita dapat
mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ....
45
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil Dari contoh di atas siswa diajak untuk melihat hubungan antara perkalian dan
pembagian yang telah dipelajari siswa di kelas sebelumnya.
1×4=4
Æ 4:4 =1
2×4=8
Æ 8:4 =2
Dari operasi pembagian tersebut nampak bahwa 4
adalah faktor dari 4, 8, 12, dan 16.
3 × 4 = 12 Æ 12 : 4 = 3
16 : 4 = 4
Æ 16 : 4 = 4
Jadi kelipatan suatu bilangan memiliki bilangan tersebut sebagai suatu faktor.
Contoh
8 adalah kelipatan 4 dan 4 adalah faktor dari 8
2.
Kelipatan Persekutuan
Dalam membelajarkan konsep persekutuan dua atau tiga bilangan, guru dapat
mengawali permasalahan seperti berikut.
Masalah lampu berkedip
Deni memasang lampu hias berwarna kuning
dan merah di halaman rumahnya.
Lampu berwarna kuning berkedip tiap 2 detik dan
lampu merah berkedip tiap 3 detik. Jika saat ini
kedua lampu dinyalakan secara bersamaan, pada
detik ke berapa saja kedua lampu berkedip secara
bersama-sama?
Setelah siswa mampu menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman
matematis, maka diharapkan siswa dapat menyelesaikan masalah lampu berkedip di
atas. Alternatif jawaban yang mungkin dari siswa antara lain sebagai berikut.
a. Dengan menggunakan tabel
Lampu
Kuning
Merah
46
Berkedip pada detik ke1
2
3
√
4
√
√
5
6
√
√
7
8
9
√
10
√
√
11
12
√
√
13
14
15
√
16
√
√
17
18
√
√
19
20
√
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Dari tabel nampak bahwa kedua lampu tersebut akan menyala secara bersamasama pada detik ke: 6, 12, 18, ....
b. Dengan menggunakan kelipatan
Kelipatan 2
: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, ...
Kelipatan 3
: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Jadi lampu merah dan kuning akan berkedip secara bersama-sama pada detik ke:
6, 12, 18, 24, 30, ....
c. Dengan menggunakan garis bilangan
Siswa membilang loncat dua-dua dengan menggunakan garis bilangan,
dilanjutkan dengan membilang loncat tiga-tiga pada garis bilangan yang sama.
Dari hasil tersebut, setelah diamati ternyata:
bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ....
bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....
bilangan yang sama dari kelipatan 2 dan 3 adalah: 6, 12, 18, 24, ....
Jadi lampu kuning dan merah tersebut akan berkedip secara bersamaan pada
detik ke-6, 12, 18, 24, ...
Selanjutnya
guru dapat menjelaskan kepada siswa bahwa bilangan-bilangan
yang sama dari 6, 12, 18, 24, 30, …. disebut kelipatan persekutuan dari 2
dan 3. Dari contoh-contoh yang diberikan oleh guru, diharapkan siswa dapat
memahami bahwa:
kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatankelipatan dari kedua bilangan tersebut yang bernilai sama.
Setelah konsep KPK dapat dimengerti dan dikuasai oleh siswa, guru dapat
memberikan latihan menghitung KPK dua atau tiga bilangan sekaligus.
47
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil B. Kegiatan Belajar 2: Pembelajaran Cara Menentukan KPK
1.
Menentukan KPK dari dua bilangan
Perhatikan permasalahan berikut ini.
Angga dan Novi mempunyai jadwal
tetap mengunjungi perpustakaan
yang selalu buka biarpun pada hari
Minggu.
Angga mengunjungi perpustakaan
setiap 8 hari sekali dan Novi
mengunjungi perpustakaan setiap
12 hari sekali. Jika sekarang mereka
bersamaan datang ke perpustakaan,
maka berapa hari lagi mereka akan
datang secara bersamaan lagi?
Cobalah Anda perhatikan diskusi di bawah ini!
Apakah ada kaitannya
dengan kelipatan
persekutuan?
Bagaimana dengan
faktorisasi prima?
Permasalahan
sebenarnya apa
ya?
Bagaimana cara menyelesaikan
permasalahannya?
Ada hubungannya
dengan
pembagian tidak?
Data apa saja yang ada,
sehingga dapat menyelesaikan
Kemampuan apa saja yang diperlukan untuk menyelesaikan soal tersebut? Untuk
menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi dunia
nyata ke dalam pengalaman matematis. Apakah siswa Anda mengalami kendala
dalam menentukan KPK? Apakah Anda sudah membelajarkan kemampuan
48
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD menentukan KPK dari dua bilangan sesuai dengan kaidah-kaidah yang berlaku dalam
pembelajaran?
Uraian berikut ini adalah alternatif proses pembelajarannya. Guru dapat memberikan
kebebasan pada siswa dalam mengerjakannya sesuai dengan kemampuan dan hasil
diskusi kelompok. Jika siswa masih kesulitan dalam mengerjakan permasalahan di
atas, maka guru dapat memandu dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan tentang
makna dari permasalahan yang ada, antara lain: “Berapa hari sekali Angga
mengunjungi perpustakaan? Berapa hari sekali Novi mengunjungi perpustakaan?
Apa makna setiap informasi yang diketahui?” Alternatif jawaban siswa yang
mungkin antara lain sebagai berikut.
a. Dengan kelipatan persekutuan
Karena Angga
mengunjungi perpustakaan setiap 8 hari sekali, maka dapat
dituliskan dalam bentuk kelipatan, yaitu:
Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, ....
Karena Novi mengunjungi perpustakaan setiap
12 hari sekali, maka dapat
dituliskan dalam bentuk kelipatan, yaitu:
Kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ....
Dari kelipatan 8 dan 12 terdapat bilangan yang sama yaitu 24, 48, 72, ...
yang merupakan kelipatan persekutuan kedua bilangan tersebut.
Karena untuk pertama kalinya Angga dan Novi bersamaan mengunjungi
perpustakaan, ini berarti bahwa bilangan dari kelipatan persekutuan 8 dan 12
tersebut dipilih yang terkecil yaitu 24. Jadi KPK dari 8 dan 12 adalah 24, atau
dapat ditulis KPK (8,12) adalah 24. Jadi jika sekarang mereka datang ke
perpustakaan maka 24 hari lagi mereka akan datang kembali secara bersamaan.
49
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil b. Dengan faktorisasi prima
8
12
2
2
8
12
2
4
2
6
2
3
= 2 × 2 ×2
= 2 × 2
×3
KPK = 2 × 2 × 2 × 3
Sehingga KPK dari 8 dan 12, adalah 2 × 2 × 2 × 3 = 24.
Siswa bisa juga diajak untuk mengamati hasil di atas, ternyata untuk menentukan
KPK dari dua bilangan dapat dilakukan dengan mengalikan semua faktor yang
berbeda. Jika ada faktor yang sama maka diambil pangkat yang terbesar.
Oleh karena itu, KPK dari 8 dan 12 adalah 23 × 3 = 24.
c. Dengan tabel pembagian
Bagi kedua bilangan dengan faktor prima terkecil sampai tidak dapat dibagi lagi
dengan bilangan prima terkecil sampai hasil tinggal 1 semua (baris bawah).
2
2
2
3
8
12
Jika bilangan yang dibagi tidak habis dibagi oleh
4
6
bilangan pembagi, maka bilangan yang dibagi
2
3
1
3
1
1
turunkan ke baris dibawahnya, sebagai contoh: 3
tidak habis dibagi 2, maka 3 diturunkan ke baris
berikutnya.
KPK dari 8 dan 12 adalah hasil perkalian semua bilangan pembagi, yaitu:
2 × 2 × 2 × 3 = 24.
50
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Dari ketiga alternatif tersebut di atas, siswa diajak berdiskusi cara mana yang lebih
mudah dan cepat dalam menyelesaikan permasalahan. Guru dapat memberikan
beberapa contoh permasalahan sehari-hari yang ada kaitannya dengan KPK. Dari
beberapa contoh diharapkan siswa dapat memahami bahwa:
KPK dari dua bilangan adalah kelipatan persekutuan
yang paling kecil diantara kelipatan-kelipatan
persekutuan yang ada dari dua bilangan yang diketahui.
Apabila dimungkinkan, maka guru dapat menambahkan permasalahan di atas dengan
pertanyaan seperti berikut. “Jika pada hari Rabu, tanggal 13 April 2011 Angga dan
Novi untuk pertama kalinya bersamaan mengunjungi perpustakaan, maka mereka
akan mengunjungi perpustakaan secara bersamaan yang kedua pada hari apa, dan
tanggal berapa?”
Nilai KPK yang ditemukan dapat digunakan sebagai dasar dalam menentukan hari
dan tanggal Angga dan Novi bersamaan mengunjungi perpustakaan pada pertemuan
yang kedua seperti penjelasan berikut.
KPK dari 8 dan 12 adalah 24, dengan demikian Angga dan Novi akan selalu bersama
ke perpustakaan setiap 24 hari sekali. Selanjutnya dari data diketahui bahwa pada hari
Rabu tanggal 13 April 2011 mereka untuk pertama kalinya bersamaan mengunjungi
perpustakaan,
maka bagaimanakah untuk mengetahui hari dan tanggalnya pada
pertemuan yang kedua?
Untuk menentukan tanggalnya kepada siswa kita ingatkan bahwa jumlah hari di bulan
April adalah 30 hari, maka hari yang masih tersisa di bulan April adalah 17 hari,
diperoleh dari 30 – 13. Oleh karena itu tanggal yang ditanyakan adalah tanggal 7 Mei
2011, diperoleh dari 24 – 17. Jadi Angga dan Novi akan mengunjungi perpustakaan
secara bersamaan yang kedua kalinya pada tanggal 7 Mei 2011. Hari apakah itu?
Untuk menentukan harinya kepada siswa kita ingatkan bahwa setiap minggu ada 7
hari, sehingga 24 : 7 = 3 sisa 3. Karena sisa 3, berarti 3 hari sesudah hari Rabu, yaitu
hari Sabtu.
51
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil Jadi Angga dan Novi akan pergi bersamaan ke perpustakaan yang kedua kalinya pada
hari Sabtu tanggal 7 Mei 2011.
Guru perlu menggarisbawahi bahwa: fungsi dari
KPK adalah untuk menentukan
suatu perulangan dari suatu kegiatan ataupun suatu peristiwa.
2.
Menentukan KPK dari tiga bilangan
Anda akan mempelajari cara mencari KPK dari tiga bilangan. Cara menentukan KPK
dari tiga bilangan sama seperti dalam mencari KPK dari dua bilangan. Perhatikan
permasalahan berikut.
Tiga bus kota dengan jurusan
yang berbeda meninggalkan
terminal yang sama, dan akan
kembali ke terminal tersebut
setiap 60 menit, 80 menit dan
120 menit. Jika ketiga bus
tersebut meninggalkan
terminal secara bersamaan
pada pukul 05.30 pagi, pukul
berapa ketiga bus akan
bertemu di terminal yang sama
tersebut?
Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi
dunia nyata ke dalam pengalaman matematis. Kecuali itu juga diperlukan
kemampuan mengoperasikan bilangan. Operasi hitung yang digunakan dalam
menyelesaikan soal tersebut adalah perkalian.
Berikan kebebasan kepada siswa untuk menyelesaikan permasalahan di atas sesuai
dengan kemampuan masing-masing. Ada kemungkinan siswa mengerjakan seperti
yang mereka lakukan pada saat menentukan KPK dari dua bilangan. Perkiraan
alternatif jawaban siswa adalah sebagai berikut.
52
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD a.
Dengan menggunakan kelipatan bilangan
Bilangan
Kelipatannya
60
80
120
60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720, …
80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, …
120, 240, 360, 480, 600, 720, ...
Dari tabel kelipatan bilangan tersebut nampak bahwa ada bilangan yang sama di
setiap baris, yaitu 240, 480, 720, ....
Bilangan kelipatan persekutuan yang
muncul pertama kali adalah 240. Hal itu menunjukkan bahwa 240 merupakan
KPK dari 120, 180, dan 240. Berarti ketiga bus akan bertemu tiap 240 menit.
Karena 1 jam = 60 menit, maka ketiga bus akan bertemu setelah: (
240
) jam = 4
60
jam. Jadi ketiga bus akan bertemu 4 jam kemudian setelah pukul 05.30, yaitu
pukul 09.30.
b. Dengan menggunakan faktorisasi bilangan prima
80
60
30
2
2
15
3
40
2
5
2
60
2
20
2
120
30
2
2
10
2
5
15
3
5
Faktorisasi prima masing-masing bilangan adalah sebagai berikut.
= 22 × 3 × 5
60
=2×2×3×5
80
= 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 24 ×
5
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
Karena ada faktor yang sama, maka untuk mencari KPK diambil faktor dengan
pangkat terbesar, sehingga KPK dari 60, 80, dan 120 adalah 24 × 3 × 5 = 240.
Berarti ketiga bus akan bertemu tiap 240 menit. Karena 1 jam = 60 menit, maka
53
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil ketiga bus akan bertemu setelah: (
240
) jam = 4 jam. Jadi ketiga bus akan
60
bertemu 4 jam kemudian setelah pukul 05.30, yaitu pukul 09.30.
c.
Dengan tabel pembagian
Bagilah ketiga bilangan dengan faktor prima terkecil sampai tidak dapat dibagi
lagi dengan bilangan prima terkecil sampai hasil tinggal 1 semua (baris bawah).
2
2
2
2
5
3
60
80
120
30
40
60
dibagi oleh bilangan pembagi, maka
15
20
30
bilangan yang dibagi turunkan ke baris
15
10
15
15
5
15
3
1
3
1
1
Jika bilangan yang dibagi tidak habis
dibawahnya, sebagai contoh: 15 tidak
habis dibagi 2, maka 15 diturunkan ke
baris berikutnya.
1
KPK dari 60, 80, dan 120 adalah hasil perkalian semua bilangan pembagi, yaitu:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 240. Berarti ketiga bus akan bertemu setiap 240 menit.
Karena 1 jam = 60 menit, maka ketiga bus akan bertemu setelah: (
240
) jam = 4
60
jam. Jadi ketiga bus akan bertemu 4 jam kemudian setelah pukul 05.30, yaitu
pukul 09.30.
Dari penyelesaian di atas siswa diajak untuk berdiskusi, cara mana yang lebih mudah
dan efektif. Dari cara yang kedua, yaitu menentukan kelipatan persekutuan dengan
menggunakan faktorisasi prima hendaknya siswa diajak berdiskusi untuk menjawab
pertanyaan berikut.
Pertanyaannya adalah: mengapa jika ada faktor yang sama dari setiap
bilangan, namun banyaknya berbeda, maka yang diambil faktor yang
paling banyak atau dari pangkat yang terbesar?
54
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Diambil faktor yang paling banyak atau dari pangkat yang terbesar, karena:
1) harus ada “persekutuan” antara bilangan tersebut.
2) sifat dasar “kelipatan”: apabila diambil pangkat yang kecil maka bilangan yang
besar tidak tercakup di dalamnya, sehingga tidak ada persekutuan.
Adakah kaitannya antara FPB dan KPK? Ternyata ada kaitan yang erat antara FPB
dan KPK, karena apabila dua bilangan dikalikan kemudian dibagi dengan FPB, maka
akan dihasilkan KPK.
Sebagai contoh carilah KPK dari 8 dan 12.
Penyelesaian
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
1) Kalikan dua bilangan tersebut Æ 8 × 12 = 96
2) Carilah FPB dari 8 dan 12, yaitu: 4
3) Bagilah hasil perkalian dengan FPB Æ 96 : 4 = 24.
KPK dari 8 dan 12 adalah 24
Berdasarkan contoh-contoh di atas, hendaknya siswa dapat
menentukan KPK dari dua atau tiga bilangan dengan cara
seperti berikut.
1. Tulislah bilangan-bilangan itu dalam bentuk perkalian
faktor prima (faktorisasi).
2. Ambil semua faktor, yang sama atau tidak sama, dari
bilangan-bilangan itu.
3. Jika faktor yang sama dari setiap bilangan, tetapi
banyaknya berbeda, ambillah faktor yang paling banyak
atau dari pangkat yang terbesar.
55
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil C. Kegiatan Belajar 3: Terapan KPK dalam Kehidupan dan Permasalahan
Lain yang Relevan
Banyak situasi kehidupan nyata melibatkan KPK. Seperti yang telah dikemukakan
sebelumnya salah satu terapan KPK dalam kehidupan antara lain tentang: perjalanan,
pengaturan jadwal kegiatan, lampu berkedip secara bersamaan, dan sebagainya.
Terapan lain yang sudah dikenal umum untuk KPK adalah dalam hal
menyamakan
penyebut
pada
urutan pecahan dan operasi penjumlahan
serta
pengurangan pecahan berbeda penyebut.
1. Mengurutkan pecahan biasa
Urutkanlah pecahan
1 9 3 5
, , , dari yang terkecil ke besar
2 14 4 7
Penyelesaian
Agar dapat mengurutkan pecahan tersebut, maka harus disamakan penyebut semua
pecahan. Oleh karena itu akan dicari kelipatan persekutuan dari keempat penyebut.
Dalam contoh akan digunakan kelipatan dari empat bilangan seperti berikut.
Kelipatan 2
: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...
Kelipatan 14
: 14, 28, 42, 56, ...
Kelipatan 4
: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
Kelipatan 7
: 7, 14, 21, 28, 35, ...
KPK (2, 14, 4, 7) adalah 28, maka tuliskan semua pecahan dengan penyebut 28.
1 1 × 14 14
=
=
2 2 × 14 28
9
9 × 2 18
=
=
14 14 × 2 28
3 3 × 7 21
=
=
4 4 × 7 28
5 5 × 4 20
=
=
7 7 × 4 28
Urutan pecahan dari yang terkecil ke besar adalah:
56
1 9 5 3
, , ,
2 14 7 4
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 2. Menyamakan penyebut pecahan
Hitunglah:
3 2 1
− +
= ....
4 3 6
Penyelesaian
Untuk menyelesaikannya soal di atas, maka penyebut pecahan tersebut harus
disamakan dengan cara mencari KPK dari penyebut, yaitu KPK (4 , 3 , 6). Dalam
contoh ini cara menentukan KPK dilakukan dengan menggunakan tabel pembagian.
2
2
3
4
3
6
Karena 3 tidak habis dibagi 2, maka
2
3
3
turunkan bilangan tersebut ke baris
1
3
3
1
1
1
berikutnya.
KPK (4, 3, 6) adalah 2 × 2 × 3 = 12. KPK tersebut digunakan untuk menyamakan
penyebutnya.
3 2 1 3 × 3 2 × 2 1× 2 9
8
2
3 1
− + =
−
+
=
− +
=
=
4 6 6 4 × 3 6 × 2 6 × 2 12 12 12 12 4
3. Masalah piket secara bersamaan
Pak Teguh dan Pak Didi petugas kebersihan di
sekolah. Selain itu mereka juga mendapat tugas
tambahan piket di sekolah. Pak Teguh piket
setiap 12 hari sekali dan Pak Didi setiap 18 hari
sekali. Pada hari Kamis tanggal 14 April 2011
mereka mendapat tugas piket secara bersamaan.
Kapan mereka akan mendapat tugas piket secara
http://www.crayonpedia.org/mw/Menentukan_FPB_dan_
KPK_6.1
bersamaan untuk yang kedua?
57
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil Penyelesaian
12
Akan ada pengulangan piket
tiap 12 dan 18 hari kerja,
sehingga
akan
ditentukan
2
kelipatan persekutuan dari 12
dan
18.
Karena
akan
18
2
6
2
3
9
3
3
ditentukan tugas piket secara bersamaan untuk yang kedua kalinya, maka akan dicari
KPK dari 12 dan 18. Dalam contoh ini akan menggunakan faktorisasi prima.
Jadi 12 dan 24 dapat dinyatakan dengan perkalian bilangan prima seperti berikut.
12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 ×
× 3 ×3
KPK 12 dan 18 = 2 × 2 × 3 × 3 = 36, atau
KPK dari 12 dan 18 adalah 22 × 32 = 4 × 9 = 36.
Jadi Pak Teguh dan Pak Didi akan mendapat tugas piket secara bersamaan setiap 36
hari sekali. Namun masih ada pertanyaan selanjutnya, hari dan tanggal berapakah
keduanya akan piket bersamaan?
Setiap minggu ada 7 hari, sehingga 36 : 7 = 5 sisa 1. Karena sisa 1, berarti satu hari
sesudah hari Kamis, yaitu hari Jum’at.
Jumlah hari di bulan April ada 30 hari, maka hari yang masih tersisa di bulan April
adalah 16 diperoleh dari 30 – 14. Oleh karena itu tanggal yang ditanyakan adalah
tanggal 20 Mei 2011 diperoleh dari 36 – 16. Jadi hari dan tanggal yang ditanyakan
adalah Jum’at, 20 Mei 2011.
4. Masalah susul menyusul
Ali bersepeda dari kota Yogyakarta ke Solo dengan
kecepatan rata-rata 20 km/jam, berangkat pukul 07.00. Satu
jam kemudian Bambang menyusul Ali naik sepeda motor
dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada
pukul berapa Bambang menyusul Ali?
58
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Penyelesaian
Ali dan Budi akan menempuh perjalanan dari Yogyakarta ke Solo. Kecepatan
bersepeda Ali 20 km/jam dan berangkat pukul 07.00. Kecepatan bersepeda Budi 30
km/jam berangkat pukul 08.00. Selisih waktu Ali dan Bambang adalah
1 jam,
sebagai dasar perhitungan KPK. Dengan menggunakan garis bilangan dapat dicari
KPK dari 20 dan 30.
Ali
07.00
1
0
Bambang
08.00
1
10
20
1
30
1
40
50
60
70
1
Dari grafik di atas terlihat bahwa Budi dapat menyusul Ali pada jarak 60 km dan
ditempuh selama 2 jam. Jadi Budi akan menyusul Ali pada jarak 60 km pada pukul 10
(2 jam setelah pukul 08.00).
5. Masalah berkunjung
Menjadi kebiasaan dari keluarga besar kami untuk saling berkunjung ke rumah
saudara. Biasanya Kakek mengunjungi keluarga kami setiap 18 hari sekali, sedangkan
Paman mengunjungi keluarga kami setiap 30 hari sekali. Setiap berapa hari sekali
kakek dan paman mengunjungi kami secara bersama-sama?
Penyelesaian
a.
Memahami masalahnya dengan menginterpretasikan apa yang diketahui: berapa
hari sekali kakek dan paman akan berkunjung secara bersamaan.
b.
Identifikasi suatu rencana: untuk mengetahui berapa hari sekali kakek dan paman
berkunjung bersamaan, maka harus mencari kelipatan persekutuan dari 18 dan 30
c.
Mendata kelipatan dari 18 dan 30.
Bilangan
Kelipatannya
18
30
18, 36, 54, 72, 90, 108, ...
30, 60, 90, 120, 150, ....
Kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30 adalah 90.
59
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil d.
Kembali ke permasalahan semula
Jadi kakek dan paman akan berkunjung bersamaan setiap 90 hari sekali
D. Ringkasan
Dalam pembelajaran KPK dari dua atau tiga bilangan, siswa hendaknya dapat
menemukan sendiri caranya dengan bantuan objek yang konkret dengan fasilitasi
dari guru. Selain itu, diharapkan siswa dapat menghubungkan antara kemampuan
menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman matematis, atau juga dapat
menghubungkan antara operasi perkalian dan pembagian. Dengan mengonstruksi
sendiri pengetahuannya diharapkan pemahaman mengenai KPK dapat bertahan lama
di benak siswa. Hal-hal yang perlu mendapatkan perhatian siswa adalah sebagai
berikut.
1. Untuk menentukan kelipatan suatu bilangan, maka kita dapat mengalikan
bilangan tersebut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ....
2. Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatan-kelipatan dari kedua
bilangan tersebut yang bernilai sama.
3. KPK adalah bilangan yang terkecil dari kelipatan persekutuan
4. Cara menentukan KPK dapat dilakukan dengan cara antara lain
menggunakan:
(a) kelipatan persekutuan; (b) tabel pembagian berulang; dan (c) pohon faktor.
5. Dalam menentukan KPK dengan menggunakan faktorisasi prima, dapat dilakukan
dengan cara mengalikan faktor-faktor yang berbeda. Jika ada faktor yang sama,
diambil yang berpangkat terbesar.
E. Latihan 2.1
Tanpa menggunakan alat bantu hitung, silakan Anda kerjakan sendiri latihan-latihan
berikut ini dan hendaknya jawaban disertai dengan prosesnya. Latihan yang ada
meliputi KPK. Anggaplah soal-soal pada latihan berikut ini sebagai bahan penugasan
matematika untuk siswa Anda. Setelah Anda menyelesaikan soal-soal latihan,
selanjutnya diskusikan bagaimana cara atau proses pembelajaran masing-masing
bahan penugasan dengan teman sejawat Anda di sekolah atau anggota KKG lainnya.
60
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 1. Truk A berhenti setelah berjalan 150 km. Truk B berhenti setelah berjalan 170
km. Jika kedua truk berangkat dari tempat dan waktu yang sama, pada kilometer
berapakah kedua truk itu akan berhenti bersama-sama?
2. Pak Hadi dan Pak Jayin adalah pedagang sembako yang biasa berbelanja di toko
“Terus Jaya”. Pak Hadi berbelanja ke toko tersebut setiap 8 hari sekali, sedangkan
Pak Jayin setiap 6 hari sekali. Pada tanggal 25 Maret 2011, Pak Hadi dan Pak
Jayin berbelanja secara bersamaan di toko tersebut. Pada tanggal berapa mereka
akan belanja bersama-sama lagi?
3. Dewi berenang setiap 5 hari sekali, Fara berenang seminggu sekali, Gisca
berenang 8 hari sekali. Jika hari ini mereka berenang bersama-sama, berapa hari
lagi mereka akan berenang bersama-sama lagi?
4. Untuk meraih penghargaan Adipura, jalan-jalan di kota Baru dibuat semakin
menarik. Di kiri jalan dipasang bendera tiap 25 meter. Di pembatas jalur tengah
jalan dipasang lampu tiap 30 meter. Di kanan jalan terdapat tiang listrik tiap 50
meter. Tiap berapa meter bendera, lampu, dan tiang listrik letaknya sebaris.
5. Agen bus Anggrek memberangkatkan busnya dari terminal Agung setiap 15 menit
sekali. Agen bus Mawar memberangkatkan busnya dari terminal Agung setiap 20
menit sekali. Jika pada pukul 05.00 agen bus memberangkatkan bus Anggrek dan
bus Mawar bersamaan, pukul berapa kedua agen bus tersebut memberangkatkan
busnya secara bersamaan untuk kedua kalinya?
6. Indah dan Tuti bersepeda mengitari lapangan olah raga yang berbentuk lingkaran.
Indah dapat mengitari lapangan tersebut selama 12 menit, sedangkan Tuti selama
18 menit. Jika mereka berdua mulai bersepeda secara bersamaan dimulai dari
tempat dan arah yang sama, setelah berapa menit lagi mereka akan bertemu di
tempat awal bersepeda?
7. Lampu A berkedip setiap 6 detik sekali, sedangkan lampu B setiap 8 detik sekali.
Setiap berapa detik kedua lampu tersebut akan berkedip secara bersamaan?
8. Frida berenang setiap 10 hari sekali. Tomi berenang setiap 15 hari sekali. Tanggal
5 Maret 2011 mereka berenang bersama untuk pertama kali. Kapan mereka akan
berenang bersama untuk kedua kalinya dan ketiga kalinya?
61
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil 9. Pak Made mendapat tugas ronda setiap 6 hari sekali, sedangkan Pak Janu setiap 8
hari sekali. Adapun Pak Tono setiap 12 hari sekali. Tanggal 1 Juni 2011 mereka
bertiga tugas ronda bersama untuk kali pertama. Kapan mereka akan tugas ronda
secara bersama untuk ketiga kalinya?
10. Ali bersepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan 20 km/jam,
berangkat pukul 07.00. Satu setengah jam kemudian Budi menyusul berangkat
dari tempat yang sama (kota A) dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km
berapa dan pukul berapa Budi menyusul Ali?
F. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban pada lampiran modul ini.
Hitunglah jumlah jawaban yang benar, kemudian tentukan tingkat penguasaan Anda
terhadap materi dalam modul 2 ini dengan menggunakan rumus berikut.
Tingkat penguasaan (tp) =
jumlah jawaban benar
× 100 %
10
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai adalah sebagai berikut.
86% < tp
: baik sekali
70% < tp ≤ 86%
: baik
60% < tp ≤ 70%
: cukup
tp < 60%
: kurang
Setelah Anda mencocokkan jawaban latihan Anda dengan kunci jawaban, apakah
Anda sudah berhasil menyelesaikan latihan pada modul 2 ini? Selamat, bagi Anda
yang telah mencapai tingkat penguasaan 75% (kategori baik), berarti Anda telah
berhasil. Bagi Anda yang belum berhasil, jangan jemu atau berputus asa untuk
mencermati kembali uraian pada modul 2 ini. Jika dimungkinkan berdiskusilah
dengan teman sejawat atau fasilitator Anda tentang bagian-bagian yang belum Anda
62
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD pahami terkait uraian yang ada pada modul ini. Bantulah sejawat atau kawan Anda
jika Anda telah menguasainya.
Kemampuan siswa dalam menentukan kelipatan persekutuan dari dua atau tiga suatu
bilangan di setiap sekolah belum tentu sama, sehingga strategi pembelajarannya tentu
tidak sama bila kondisi siswa berbeda. Saran kami, gunakan saran-saran proses
pembelajaran dalam modul ini sebagai pertimbangan dalam proses diskusi Anda.
Selamat belajar!
G. Daftar Pustaka
Burhan Mustaqim ; Ary Astuty. 2008. Ayo Belajar Matematika 4. Jakarta: Pusat
Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Hoon, Liem Siew; Hoon, Teo Peck; dan Sum, Yang Yet. 2007. Secondary 1A Normal
Academic: Math Insight. Malaysia: Pearson education South Asia Pte Ltd.
http://www.crayonpedia.org/mw/Menentukan_FPB_dan_KPK_6.1. Diakses tanggal 3
April 2011.
Marsudi Raharjo. 2004. Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat. Bahan Ajar disampaikan
pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SD Jenjang Lanjut.
Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
R. Sachidanandan. 2008. Textbook 5A: Explore Maths. Singapore: Panpac Education
Private Limited.
R.J Sunaryo. 2008. Matematika 5. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan
Nasional.
Y.D. Sumanto,Heny Kusumawati, Nur Aksin. 2008. Gemar Matematika 5. Jakarta:
Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Y.D Sumanto, Heny Kusumawati, Nur Aksin. Gemar matematika 6. Jakarta: Pusat
Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
63
Pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil 64
PENUTUP
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD PENUTUP
A. Rangkuman
Standar kompetensi profesional guru yang akan ditingkatkan terkait dengan ditulisnya
modul ini antara lain adalah menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural.
Terkait dengan hal tersebut, maka kajian bilangan dalam mata pelajaran matematika
untuk materi KPK dan FPB dua atau tiga bilangan di SD/MI hendaknya dikuasai
guru dengan baik. Kompetensi siswa yang terkait dengan kajian tersebut mencakup
2 SK dan 4 KD. Dua KD dipelajari siswa di kelas IV semester 1 dan 2 KD dipelajari
siswa di kelas V semester 1.
Dalam pembahasan modul ini diawali dengan suatu masalah dan pembahasan
beberapa alternatif cara membelajarkan konsep serta teknik dalam menentukan FPB
dan KPK dari 2 atau 3 bilangan. Namun demikian, Anda diharapkan dapat
mengembangkan lagi pembelajarannya agar siswa merasa senang dan mudah dalam
mempelajari kompetensi tersebut.
Terkait dengan kompetensi guru agar mampu menggunakan matematisasi horizontal
dan vertikal untuk menyelesaikan masalah matematika dan masalah dalam dunia
nyata, maka dalam merancang dan melaksanakan pembelajaran FPB dan KPK,
hendaknya dikaitkan dengan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dengan demikian
secara tidak langsung proses pembelajaran telah membekali siswa dengan
kemampuan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Selain hal tersebut
siswa juga diharapkan dapat memahami manfaat
dari hal yang dipelajari bagi
kehidupannya nanti.
B. Tes
Kerjakan tes berikut ini secara individual.
1. Beni bersepeda tiap 8 hari, sedangkan Beti bersepeda tiap
12 hari. Hari ini Beni dan Beti bersepeda bersama. Kapan
mereka akan bersepeda bersama lagi?
65
Penutup 2. Danar dan Karin mulai tahun 2011 mengikuti
les
yang
disukai
oleh
mereka.
Karin
mengikuti les menari, sedangkan Danar
mengikuti les renang. Karin les tiap 4 hari
sekali, sedangkan Danar les tiap 3 hari sekali.
Tempat les mereka berdua berdampingan.
Ibu mengantar keduanya secara bersamaan hari ini.
a. Pada hari keberapa saja keduanya akan berangkat bersama-sama lagi?
b. Pada hari keberapa keduanya akan berangkat
bersama-sama lagi untuk
pertama kalinya?
3. Dalam rangka memperingati ulang tahunnya Bapak ingin menyumbangkan 20
liter minyak goreng dan 15 karung beras ke panti asuhan. Bapak ingin
memastikan bahwa masing-masing panti asuhan menerima minyak goreng dan
beras yang sama banyak, dan tidak ada sisa. Berapa jumlah terbanyak dari panti
asuhan yang akan menerima sumbangan?
4. Ambar akan membuat sapu tangan berukuran 15 cm × 35 cm.
Dia ingin memberi aplikasi persegi di seluruh permukaan
taplak tanpa ada kain yang tersisa. Berapakah panjang sisi
persegi terbesar yang dapat dia buat? Berapakah banyaknya
persegi yang diperlukan Ambar?
5. Mary mempunyai tugas dari gurunya. Pertama-tama ia harus
membuat persegi panjang berukuran 9 cm x 12 cm. Ia ingin
memperbanyak dan menyusun persegi panjang tersebut
menjadi sebuah persegi (persegi terkecil yang mungkin).
Berapakah panjang sisi persegi tersebut?
6. Editor buku tahunan suatu sekolah ingin setiap halaman bagian kegiatan tahunan
memiliki kombinasi yang sama antara foto berwarna dan foto hitam-putih. Jika
ada 10 foto berwarna dan 15 foto hitam-putih dan semuanya akan digunakan oleh
66
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD editor, maka berapakah jumlah halaman aktivitas terbanyak yang dapat dibuat
oleh editor?
7. Sebuah
kelompok
bermain
“Suka
Sekolah”
memiliki siswa perempuan sebanyak 12 anak dan
siswa laki-laki sebanyak 15 anak. Pak guru ingin
mengelompokkan
siswa
ke
dalam
beberapa
kelompok dan masing-masing kelompok memiliki
jumlah siswa yang sama dari anak perempuan dan anak laki-laki dan tidak ada
siswa yang ditinggalkan. Berapakah kelompok terbesar yang dapat dibuat oleh
Pak guru?
8. Pada sebuah jamuan makan malam dengan daya
tampung maksimum 550 orang terdapat jumlah yang
sama antara orang dewasa dan anak-anak. Orang
dewasa duduk tepat di 17 meja dan anak-anak duduk
tepat di 15 meja. Berapakah jumlah anak-anak yang
hadir?
9. Untuk persiapan makan malam keluarga, Danik akan menyiapkan makanan
penutup dengan porsi individual. Dia memiliki 14
cup ice cream dan 28 puding kelapa. Danik ingin
setiap porsi isinya sama tanpa ada makanan yang
tersisa. Berapa porsi makanan terbanyak yang dapat
disiapkan Danik?
10. Liliana membeli permen rasa strowberi dalam
kemasan berisi 11 buah dan permen karet rasa
blueberry dalam kemasan berisi 46 buah. Jika
Liliana ingin membeli kedua permen tersebut
dalam jumlah yang sama, berapakah paling
sedikit banyaknya permen tiap rasa yang harus dibeli?
67
Penutup C. Umpan Balik
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes yang telah tersedia di bagian
belakang pada modul ini. Hitunglah jumlah jawaban yang benar, kemudian tentukan
tingkat penguasaan Anda terhadap materi di modul 1 dan 2 ini dengan menggunakan
rumus berikut.
Tingkat penguasaan (tp) =
jumlah jawaban benar
× 100%
10
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai adalah:
86% < tp
: baik sekali
70% < tp ≤ 86%
: baik
60% < tp ≤ 70%
: cukup
tp < 60%
: kurang
Apakah Anda sudah berhasil menyelesaikan tes pada modul ini? Selamat, bagi Anda
yang telah mencapai tingkat penguasaan 75% (kategori baik), berarti Anda telah
berhasil. Bagi Anda yang belum berhasil, jangan jemu atau berputus asa untuk
mencermati kembali uraian pada modul 1 dan 2 ini. Jika dimungkinkan berdiskusilah
dengan teman sejawat atau fasilitator Anda tentang bagian-bagian yang belum Anda
pahami terkait uraian yang ada pada modul ini. Bantulah sejawat atau kawan,
sekiranya Anda telah menguasai modul ini. Selamat belajar!
68
LAMPIRAN
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD LAMPIRAN
Lampiran 1
Kunci Jawaban Latihan 1.1
Kunci jawaban yang diuraikan dalam penyelesaian hanya nomor 1 sampai dengan 3,
nomor lainnya hanya diberikan jawaban.
1. Panjang tiap sisi persegi panjang yang direncanakan di tanah pertanian tersebut
haruslah membagi 20 dan 15 secara tepat. Oleh karena itu diperlukan kelipatan
persekutuan antara 20 dan 15, sehingga panjang persegi terbesar yang mungkin
adalah KPK dari 20 dan 15.
20
×
15
×
1
20
1
15
2
10
3
5
4
5
Kelipatan persekutuan 20 dan 15 adalah 1 dan 5. Jadi
kelipatan persekutuan yang terbesar adalah 5. Panjang sisi
persegi yang terbesar adalah 5 m.
2. Diketahui
: lebar kertas pertama 36 cm dan yang kedua 45 cm.
Ditanyakan : berapa lebar kertas maksimal yang sebaiknya dipotong Samanta,
sedemikian hingga lebar kedua potongan kertas sama panjang.
Penyelesaian :
Permasalahan ini akan dapat diselesaikan dengan menggunakan FPB, karena
Samanta akan memotong atau membagi lebar kertas tersebut menjadi potongan
yang sama (faktor) dari kertas selebar 36 cm dan 45 cm.
Oleh karena itu penyelesaiannya adalah menentukan FPB dari 36 dan 45.
69
Lampiran Untuk menyelesaikannya dapat digunakan pohon faktor seperti berikut.
45
36
2
6
6
3
2
9
5
3
3
3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
45 =
3× 3×5
FPB dari 36 dan 45 adalah: 3 × 3 = 9
Jadi Samanta sebaiknya memotong kertas pada bagian lebar sepanjang 9 cm.
Kertas pertama akan ada potongan sebanyak: 36 : 9 = 4.
Kertas kedua akan ada potongan sebanyak: 45 : 9 = 5.
Jadi banyaknya potongan kertas Samanta ada 9 lembar
3. FPB (120, 30) = 30
Jumlah terbesar siswa yang mendapat bagian ada 30 anak
4. FPB (40, 60) = 20
Jadi steker yang digunakan dengan ukuran terbesar 20 cm.
5. FPB (28, 40) = 4
Kotak terbanyak yang digunakan 4
6. FPB (27, 45) = 9
Kemeja yang diterima tiap anak = 27 : 9 = 3
Celana yang diterima tiap anak = 45 : 9 = 5
7. FPB (42, 48, 60) = 6
Jadi toples yang diperlukan ada 6, masing-masing toples berisi:
permen rasa coklat = 42 : 6 = 7
permen rasa jeruk
= 48 : 6 = 8
permen rasa mangga = 60 : 6 = 10
8. FPB (50, 30) = 10, artinya pohon mangga yang ditanam 5 baris dan pohon pisang
yang di tanam 3 baris
70
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 9. FPB (105, 45, 75) = 15
Jumlah buah terbanyak yang dapat dimasukkan masing-masing kantong = 15
Jumlah kantong untuk jeruk nipis sebanyak = 105 : 15 = 7
Jumlah kantong untuk jeruk lemon sebanyak = 45 : 15 = 3
Jumlah kantong untuk jeruk manis sebanyak = 75 : 15 = 5
10. FPB (480.000, 400.000, 240.000) = 80.000. Jadi setiap siswa yang ikut studi
banding harus membayar Rp 80.000,00.
71
Lampiran Lampiran 2
Kunci Jawaban Latihan 2.1
Kunci jawaban yang diuraikan dalam penyelesaian hanya nomor 1 dan 2. Sedangkan
nomor lainnya hanya diberikan petunjuk dan jawabannya.
1. Diketahui
: truk A berhenti setelah berjalan 150 km dan truk B berhenti setelah
berjalan 170 km
Ditanyakan : pada jarak berapa km kedua truk akan berhenti bersama-sama?
Penyelesaian :
2
150
170
75
85
15
17
5
KPK (150 , 170) = 2 × 5 ×15 × 17 = 150 × 17 = 2.550
Jadi Truk A dan B berhenti bersama pada jarak 2.550 km
2. Diketahui
: Pak Hadi belanja ke toko tiap 8 hari sekali
Pak Jayin belanja ke toko tiap 6 hari sekali
tanggal 25 Maret 2011 pak Hadi dan pak Jayin bersamaan
berbelanja
Ditanyakan
: tanggal berapa mereka berdua akan berbelanja bersama lagi?
Jawab
:
KPK (8 , 6) = 24
Banyak hari di bulan Maret = 31 hari
Sisa hari adalah 31 – 25 = 6 hari
Tanggal pertemuan adalah 24 – 6 = 18
Jadi Pak Hadi dan Pak Jayin berbelanja bersama lagi pada tanggal 18 April 2011
3. KPK (5 , 7 , 8) = 5 × 7 × 8 = 280
Jadi Dewi, Fara, dan Gisca berenang bersama lagi setelah 280 hari
72
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD 4. KPK (25 , 30 , 50) adalah 150
Jadi bendera, lampu dan tiang listrik letaknya sebaris setelah 150 m.
5. KPK (15 , 20) = 60
Artinya setiap 60 menit atau 1 jam bus Anggrek dan Mawar berangkat bersamasama dari terminal. Jadi bus Anggrek dan Mawar bersama berangkat dari
terminal untuk yang kedua kalinya pukul 06.00, yaitu 1 jam setelah pukul 05.00.
6. KPK (12 , 16) = 48 artinya setelah 48 menit baru mereka akan bertemu di tempat
awal bersepeda.
7. KPK (6, 8) = 24. Jadi lampu A dan B berkedip bersamaan setiap 24 detik sekali.
8. KPK (10 , 15) = 30.
Banyak hari di bulan Maret adalah 31 hari, maka sisa hari bulan Maret adalah 26
hari yang diperoleh dari: 31 – 5
Tanggal pertemuan yang kedua: 30 – 26 = 4, artinya tanggal 4 April 2011.
Banyak hari bulan April = 30 hari, maka sisa hari bulan April adalah 26 hari
diperoleh dari: 30 – 4
Tanggal pertemuan yang ketiga: 30 – 26 = 4, artinya tanggal 4 Mei 2011.
9. KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 24, artinya setiap 24 hari sekali pak Made, pak Jono,
dan pak Tono ronda bersama.
a. Ronda bersama ke dua tanggal 25 Juni 2011
b. Ronda bersama ke tiga 19 Juli 2011.
10. Ali dan Budi akan menempuh perjalanan dari kota A ke kota B. Kecepatan
bersepeda Ali 20 km/jam dan berangkat pukul 07.00. Kecepatan bersepeda Budi
30 km/jam dan berangkat pukul 08.30. Selisih waktu Ali dan Bambang adalah
1
1
1
jam, sebagai dasar perhitungan KPK, artinya tiap 1 jam Ali menempuh 30
2
2
km sedangkan Budi tiap 1
1
jam menempuh 45 km. Dengan menggunakan garis
2
bilangan dapat dicari KPK dari 30 dan 45
73
Lampiran Ali 07.00
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Budi 08.30
Dari grafik tersebut nampak bahwa Budi menyusul Ali pada jarak 90 km, pada pukul
11.30, setelah menempuh perjalanan selama 3 jam.
74
Pembelajaran Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil di SD Lampiran 3
Kunci Jawaban Tes
Kunci jawaban yang diuraikan dalam penyelesaian hanya nomor 1 sampai dengan 3.
Sedangkan nomor lainnya hanya diberikan petunjuk dan jawaban.
1. Diketahui
: Beni bersepeda tiap 8 hari dan Beti bersepeda tiap 12 hari
Mereka berdua bersepeda hari ini
Ditanyakan
: berapa hari lagi mereka akan latihan bersama lagi?
Penyelesaian :
Masalah ini dapat diselesaikan dengan mencari kelipatan dari kedua bilangan.
Karena yang dicari adalah kapan waktu berikutnya mereka akan bersepeda
bersama lagi, maka yang dicari adalah KPK.
2. Alternatif penyelesaiannya adalah dengan menggunakan kelipatan bilangan yang
ditampilkan dalam tabel berikut.
hari
Karin
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
...
Danar
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
...
a. Keduanya akan berangkat bersama-sama pada hari ke: 12, 24, ...
b. Keduanya akan berangkat bersama-sama lagi untuk pertama kalinya pada hari
ke-12
3. Faktor dari 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor dari 15 : 1, 3, 5, 15
Faktor persekutuan 20 dan 15 adalah 1 dan 5
FPB dari 20 dan 15 adalah 5. Itu berarti bahwa jumlah kemungkinan terbesar
panti asuhan yang akan menerima sumbangan dari Bapak adalah 5. Masingmasing panti asuhan akan menerima 4 liter minyak dan 3 karung beras.
4. Karena akan dibuat persegi terbesar, maka diperlukan FPB dari 15 dan 35 atau
dapat ditulis FPB (15, 35) = 5.
5. Akan membuat persegi terkecil yang mungkin dari beberapa persegi panjang,
maka yang diperlukan adalah KPK dari ukuran persegi panjang, yaitu
KPK (9, 12) = 36. Jadi panjang persegi = 36 cm.
75
Lampiran 6. Karena akan dibuat halaman aktivitas sebanyak mungkin dengan kombinasi foto
berwarna dan foto hitam putih, maka yang akan dicari adalah FPB dari 10 dan 15.
Jadi FPB (10, 15) = 5.
7. Karena akan dibuat kelompok terbesar, maka yang dicari adalah FPB dari 12
siswa perempuan dan 15 siswa laki-laki, yaitu 3 kelompok.
8. Jumlah anak-anak yang hadir sama dengan jumlah orang dewasa yang hadir.
Orang dewasa duduk tepat di 17 meja dan anak-anak duduk tepat di 15 meja.
Yang ditanyakan adalah jumlah anak yang hadir. Oleh karena itu, akan dicari
KPK (17, 15) = 255.
9. Dicari FPB (14, 28) = 14. Makanan yang disediakan Danik 14 porsi
10. Dicari KPK (11, 46) = 506. Banyaknya permen tiap rasa yang harus dibeli 506
permen
76
PPPPTK MATEMATIKA
Jl. Kaliurang Km. 6 Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, Yogyakarta
Kotak Pos 31 YKBS Yogyakarta 55281
Telp. (0274) 885752, 881717, 885725, Fax. (0274) 885752
Website: www.p4tkmatematika.org
E-mail: [email protected]
Fly UP