...

45 - (405-422) - Wisulah

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

45 - (405-422) - Wisulah
MENGEMBANGKAN PENALARAN MATEMATIS DAN
MEMBIASAKAN MEMBERIKAN ALASAN YANG MASUK
AKAL DALAM MENJAWAB PERMASALAHAN
MATEMATIK
Wisulah
E-mail: [email protected]
ABSTRAK: Penalaran matematis merupakan fundamental dari belajar matematika.
Memberikan jawaban yang disertai alasan yang masuk akal merupakan komponen
penting dari bernalar secara matematis. Jawaban yang disertai alasan yang masuk
akal secara praktis digunakan dalam berbagai macam kegiatan sehari-hari, mulai
dari penentuan harga, membuat perubahan, memutuskan dosis suatu obat, memilih
ukuran pakaian yang tepat, dan sebagainya (Alajmi:2009). Sementara sangat sedikit
penelitian yang telah dilakukan berkenaan kemampuan siswa mengevaluasi
jawaban dengan memberikan alasan yang msuk akal (Sowder, 1992;. Verschaffel et
al, 2007). Menyadari jawaban yang disertai alasan yang masuk akal dinilai sebagai
tujuan pembelajaran penting dalam dokumen matematika utama (National
Committee on Mathematical Requirements, 1923; National Council of Supervisions
of Mathematics, 1989; National Council of Teachers of Mathematics, 1980, 1989,
2000). Namun, perhatian terhadap jawaban yang masuk akal tidak memiliki
prioritas tinggi di negara-negara di seluruh dunia (Reys & Nohda, 1994; Yang,
2005, Alajmi,2009). Kurikulum di negara kita adalah termasuk salah satu negara
yang memberikan
sedikit perhatian
dalam kurikulum matematika untuk
mengembangkan penalaran matematis dalam kegiatan pembelajaran dan
memberikan alasan
yang masuk akal dalam menjawab suatu permasalahan
matematik. Penulisan artikel
ini bertujuan untuk mendiskripsikan proses
pembelajaran matematika dalam upaya mengembangkan penalaran matematis,
dilengkapi bentuk evaluasi RAT (Reasonable Answers Test) dalam upaya
membiasakan memberikan alasan yang masuk akal dari suatu jawaban permasalahan
matematik, bagi mahasiswa calon guru yang akan mengajar matematika di Sekolah
Dasar.
Kata Kunci: Penalaran matematis, Reasonable Answer Test (RAT)
Tujuan pembelajaran matematika
di setiap jenjang pendidikan, tertera pada
Standar Isi dalam Permendiknas No. 22
Tahun 2006, bahwa mata pelajaran
Matematika diberikan kepada semua
peserta didik mulai dari sekolah dasar
dengan maksud untuk membekali peserta
didik dengan kemampuan berpikir logis,
analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta
kemampuan bekerjasama. Kemampuan
berpikir seperti yang disebutkan di atas
erat kaitannya dengan kemampuan
bernalar, kemampuan berpikir reflektif
mengga- bungkan pengetahuan yang telah
ada dalam skema dengan pengetahuan atau
informasi baru. Dalam dokumen yang
sama di bagian lain disebutkan bahwa
salah satu tujuan pembelajaran matematika
adalah
memahami
konsep
matematika, menjelaskan keterkaitan antar
konsep atau algoritma secara luwes,
akurat, efisien dan tepat dalam pemecahan
masalah (Depdiknas, 2006:346). Hal ini
bersesuaian dengan Principles and
Standards for School Mathematics dari
The National Council of Teachers of
405
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 406
Mathematics (NCTM) (2000) mengenai
perlunya mengembangkan pemahaman
dan penggunaan keterkaitan (koneksi)
matematika dalam ide atau pemikiran
matematika siswa. NCTM menyatakan
bahwa program pembelajaran di sekolah
mulai dari Pra-Taman Kanak-Kanak
sampai dengan kelas 12 seharusnya
memungkinkan siswa untuk: 1) Mengenali dan menggu- nakan koneksi antar ideide atau gagasan dalam matematika. 2)
Memahami bagaimana keterkaitan atau
koneksi ide-ide dalam matematika dan
menyusunnya untuk menghasilkan suatu
hubungan yang koheren. 3) Mengenali dan
menawarkan matematika dalam kontekskonteks permasalahan di luar matematika.
Menurut Asep Jihad (2008:154)
bahwa orientasi pembelajaran matematika
saat ini adalah upaya membangun persepsi
positif dalam mempelajari matematika di
kalangan anak didik. Hasil studi Direktorat
PLP sebagaimana dikutip oleh Rachmadi
Widdiharto (2004) menyebutkan bahwa
pembelajaran di sekolah cenderung text
book oriented, dan kurang terkait dengan
kehidupan sehari-hari siswa. Hal itu
selaras dengan hasil refleksi penulis
sebagai pelaksana proses pembelajaran
matematika selama ini merasakan bahwa:
(1)
di pihak proses: pembelajaran
matematika di kelas cenderung prosedural, hanya menekankan algoritma
pengerjaan, pembelajaran matematika
cenderung tersekat di kelas, ada batas yang
menganga antara matematika
yang
dipelajari di kelas dan kebutuhan
matematika dalam kehidupan nyata; (2) di
pihak kemampuan pedagogi guru: bahwa
keterampilan dasar mengajar guru terkait
dengan “mengajukan pertanyaan” masih
cenderung pada level memotivasi siswa
untuk berpikir tingkat rendah, proses
pembelajaran dengan urutan materi
cenderung mengikuti urutan yang ada pada
buku paket; (3) sementara pada pihak
siswa:
kepercayaan diri siswa sangat
rendah, dalam menjawab pertanyaan
cenderung hanya secara prosedural tanpa
mengerti makna dari apa yang ditulis atau
yang diucapkan, perhatian siswa pada saat
proses pembelajaran cenderung lemah,
sedangkan (4) di sistem penilaian
cenderung didasarkan pada hasil akhir
tanpa melihat proses penalaran siswa.
Lebih
khusus
lagi
penulis
memiliki catatat – catatan hasil refleksi
pada saat mengajar menemukan bahwa:
(1) banyak
(maha) siswa menjawab
pertanyaan tanpa mengikutsertakan proses
berpikir reflektif sehingga jawaban yang
diberikan tidak masuk akal. Dokumen
catatan
lapangan
penulis
sebagai
pengampu mata kuliah Matematika Dasar
pada mahasiswa Program studi PGSD
angkatan 2010 berikut patut disimak.
Contoh 1: Ini terjadi pada mahasiswa calon
guru Sekolah Dasar. Ketika presentasi hasil
kerja permasalahan verbal tentang
Persamaan Kuadrat
“Seorang tukang batu yang sudah
berpengalaman dapat membangun sebuah
tembok 6 jam lebih cepat daripada seorang
tukang batu pemula. Mereka dapat
membangun tembok selama 4 jam bersama –
sama. Berapa lama waktu yang diperlukan
oleh tukang batu pemula jika dia bekerja
sendiri membangun tembok tersebut?
Dengan percaya diri mahasiswa tersebut
mempresentasikan hasil kerjanya
sebagai berikut:
Misal x = orang pemula
Y = orang pengalaman
Persamaan 1 : x – 6 = y
Persamaan 2: x + y = 4
Masukkan x + (x – 6) = 4
2x -6 = 4
X = 5 (Dok. 14-12-2012)
Gambar 1.1
407, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Contoh 2: Ini terjadi pada mahasiswa calon guru
Sekolah Dasar di Universitas Kanjuruhan
Malang. Ketika mengerjakan permasalahan
verbal tentang Persamaan Linear yang
melibatkan pemecahan masalah (salah satu
bentuk soal UAS mata kuliah Matematika
Dasar)
“Pak Ketut memiliki sekelompok mahasiswa. Jika
mahasiswa tersebut masuk di gedung G yang
terdiri dari 2 tingkat dan masing – masing tingkat
terdiri dari 4 kelas, ternyata masing – masing
kelas masih tersisa 3 kursi. Sedangkan jika
sekelompok mahasiswa tersebut masuk ke gedung
B yang terdiri dari 7 kelas ternyata ada 23
mahasiswa yang tidak mendapat tempat duduk.
Jika masing – masing kelas memiliki kapasitas
tempat duduk yang sama banyak, berapa banyak
mahasiswa Pak Ketut tersebut?”
Dari 91 mahasiswa peserta tes terdapat 54
orang yang menjawab seperti tampak berikut
Gambar 1.2
Pada gambar 1-1 pengerja soal
tidak menyadari bahwa, jika nilai x
dimasukkan
sebagai
waktu
yang
diperlukan oleh tukang pemula yang
menurutnya bekerja selama 5 jam, maka
waktu yang diperlukan oleh tukang ahli
menjadi -1 jam. Dan, jawaban itu tidak
masuk akal, karena tidak ada lama waktu
negatif. Sedangkan pada gambar 1.2
terlihat bahwa 54 dari 91 mahasiswa
(Dok.
14-02-2013)
lemah dalam kemampuan komunikasi
matematika, mereka salah dalam menterjemahkan informasi yang diketahui dalam
kalimat verbal ke dalam kalimat
matematika yang berupa simbol – simbol
matematika yang berupa persamaan linear
satu variabel.
Berdasar hasil refleksi di atas,
kiranya perlu perhatian pembahasan pada
desain bentuk evaluasi
matematika
dalam upaya
menumbuhkembangkan
penalaran matematis. Istilah penalaran
matematis dalam beberapa literatur
disebut dengan mathematical reasoning.
Karin Brodie (2010:7) menyatakan
bahwa, “Mathematical reasoning is
reasoning about and with the object of
mathematics.” Pernyataan tersebut dapat
diartikan bahwa penalaran matematis
adalah penalaran mengenai
objek
matematika. Ahli belajar (learning
theorist) Gagne telah membagi objekobjek matematika,yaitu materi yang
dipelajari siswa menjadi objek langsung
dan objek tak langsung. Objek
langsungnya adalah fakta, konsep,
prinsip, dan keterampilan (FKPK).
Sedangkan objek tak langsungnya adalah
kemampuan yang secara tak langsung
akan dipelajari siswa ketika mereka
mempelajari objek langsung matematika
seperti kemampuan: berpikir logis,
kemampuan memecahkan masalah, sikap
positif terhadap matematika, ketekunan,
ketelitian, dan lain- lain (Shadiq, 2008:1,
online). Ditinjau dari kajiannya, objek
matematika adalah merupakan kelima
standar isi dalam Prinsiples and Standart
for Mathematics NCTM, yaitu Bilangan
dan
Operasinya
(Number
and
Operations),
Aljabar
(Algebraic),
Geometri (Geometry), Analisis data
Statistik dan Peluang ( Data Analysis
Statistic and Probability), Pengukuran (
Measurement).
Penalaran dan Pembelajaran
Matematika
Penalaran
dalam
matematika
memilki peran yang amat penting dalam
proses berfikir seseorang. Penalaran juga
merupakan fondasi dalam pembelajarn
matematika. Bila kemampuan bernalar
tidak dikembangkan pada siswa, maka
bagi siswa matematika hanya akan
manjadi
materi
yang
mengikuti
serangkaian prosedur dan meniru contohcontoh tanpa mengetahui maknanya.
Untuk mencapai daya matematika,
berbagai model penalaran matematika
dilibatkan misalnya, induktif (inductive),
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 408
deduktif (deducttive), bersyarat (conditional), perbandingan (propor-sional),
grafik (grafical), keruangan (spatial), dan
penalaran abstrak (abstract reasionang).
Penalaran (Reasoning) adalah proses
berpikir, khususnya proses berpikir logis
atau berpikir memecahkan masalah
(Lasantha:2011). Berkaitan dengan istilah
berpikir, menurut Vincent Ruggiero
(Johnson,2006) berpikir adalah sebagai
seluruh aktivitas mental yang membantu
dalam merumuskan atau memecahkan,
membuat keputusan, atau memenuhi
keinginan untuk memahami. Dengan
demikian berpikir menekankan pada
kegiatan mental yang disadari untuk
membantu dalam mengelola, merumuskan,
mempertimbangkan, memecahkan, memutuskan, atau usaha memenuhi keinginan
untuk memahami sesuatu.
berpikir
mengarah pada berpikir tingkat tinggi,
salah satunya adalah berpikir kritis
(Johnson, 2006). Menurut Scriven (dalam
Lasantha,2011) berpikir kritis adalah
proses disiplin intelektual untuk aktif dan
terampil mengkonseptualisasi, mengaplikasikan, menganalisis, mensintesis, dan
atau mengevaluasi informasi yang
dikumpulkan dari atau yang dihasilkan
dari observasi, pengalaman, refleksi,
penalaran, atau komunikasi sebagai suatu
panduan terhadap keyakinan dan tindakan.
Kemampuan berpikir reflektif dalam
matematika yang membuat kemampuan
berpikir kritis dan berpikir kreatif sama
seperti kemampuan berpikir lainnya, akan
berkesempatan
dimunculkan
dan
dikembangkan ketika siswa sedang berada
dalam proses yang intens tentang
pemecahan masalah. (Sabandar:2008).
Ennis (1996) mengemukakan
bahwa berpikir kritis merupakan suatu
proses yang bertujuan agar kita dapat
membuat
keputusan-keputusan
yang
masuk akal, sehingga apa yang kita anggap
terbaik tentang suatu kebenaran dapat kita
lakukan dengan benar. Terdapat elemen
dasar dalam berpikir kritis yang
diakronimkan dengan FRISCO, yaitu : (1)
Fokus (Focus) terhadap situasi yang
menggambarkan masalah utama, dalam hal
kita dapat mengajukan pertanyaan: apa
yang terjadi / diketahui, apa masalah yang
sebenarnya, bagaimana membuktikannya.
(2) Alasan (Reason).
Memformulasi
argumen-argumen
yang
menunjang
kesimpulan,
mencari
bukti
yang
menunjang alasan dari suatu kesimpulan
sehingga kesimpulan dapat diterima,
mengidentifikasi
dan
menjustifikasi
masalah. Terhadap suatu masalah kita
harus menemukan masalah utama,
memutuskan, mempertimbangakan semua
aspek yang mungkin, mempelajari dengan
seksama, serta menyimpulkannya. Hal ini
dilakukan tidak hanya pada akhir, tetapi
dilakukan sepanjang kita memecahkan
masalah tersebut (3) Inferensi (Inference),
apakah alasan yang kita kemukakan sudah
tepat, bila ya, seberapa kuatkah alasan itu
dapat mendukung kesimpulan yang kita
buat. (4) Situasi (Situation), aktifitas
berpikir juga dipengaruhi oleh lingkungan
atau situasi yang ada disekitar kita. (5)
Klarifikasi (Clarify), hal itu dapat
dilakukan dengan menanyakan : apa
maksudnya, dapatkah memberi contoh
lain, dapatkah kamu mencarinya dengan
cara lain. (6) Keseluruhan (Overview),
memandang secara keseluruhan.
Berdasarkan pendapat Ennis maka
dapat disimpulkan bahwa berpikir kritis
sesungguhnya adalah suatu proses berpikir
yang terjadi pada seseorang serta bertujuan
untuk membuat keputusan-keputusan yang
masuk akal mengenai sesuatu yang dapat
ia yakini kebenarannya serta yang akan
diputuskan atau dilakukan .
Kilpatrick et al. (2001, hal. 116)
menjelaskan pandangan bahwa kesuksesan
pembelajaran matematika secara komprehensif dan apa makna
kemampuan
matematika, terdapat lima strand yang
saling terjalin dan saling tergantung .
Kelima strand tersebut adalah pemahaman
konseptual (Conceptual Understanding CU), yang memuat: pemahaman konsep
matematika, operasi, dan hubungan antar
operasi atau hubungan antar konsep;
kefasihan prosedural (Procedural FluencyPF), Melibatkan keterampilan dalam
melaksanakan prosedur fleksibel, akurat,
efisien, dan tepat; kompetensi strategis
(Strategic competence - SC), yang
merupakan kemampuan untuk merumuskan, merepresentasikan, dan meme-
409, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
cahkan masalah matematika; penalaran
adaptif (Adaptive Reasoning -AR), yang
merupakan kemampuan berpikir logis,
reflektif,
memberi penjelasan, dan
pembenaran (justifikasi); dan disposisi
produktif (Productive disposition - PD),
kecenderung- an kebiasaan untuk melihat
matematika sebagai sesuatu yang masuk
akal, berguna, dan bermanfaat, ditambah
dengan percaya bahwa
seseorang
memiliki kemampuan sendiri untuk
mengenal matematika.
Kilpatrick et al. (2001) berpendapat bahwa kemampuan matematika tidak
dapat dicapai dengan memfokuskan pada
satu atau dua
strand saja
tetapi
membangun di semua lima
strand
meningkatkan standar kemam- puan
matematika, karena
setiap strand
berinteraksi dan saling memperkuat satu
sama lain. Brodie (2010) menyarankan,
"siswa yang memiliki kesempatan untuk
mengembangkan masing-masing kelima
strand tersebut
cenderung memiliki
kemampuan lebih dan menjadi benarbenar kompeten. Oleh karena itu, guru
perlu menyusun aktivitas struktur kelas,
sehingga terjadi kegiatan yang menekankan dan mensinkronkan kelima strand
tersebut.
Brodie (2010) memberikan follow
up dari penelitiannya yang melibatkan
lima
guru di Afrika yang mengajar
matematika dengan memperhatikan lima
“strand” penalaran dari Kilpatrick (2001),
bahwa aspek–aspek yang perlu diperhatikan
dalam
pembelajaran
yang
menekankan pada penalaran (Reasoning)
dibagi dalam lima subkategori yaitu: (1)
Selipkan (Insert), (2) Munculkan (Elicit),
(3)
Tekankan
(Press),
Tegaskan
(Maintain) dan, (5) Konfirmasi- kan
(Confirm).
“An initial coding of my data showed that
there were a large number of follow up
moves which functioned differently, so I
further divided this category into different
kinds of follow up. The five subcategories
of follow up are (1) Insert The teacher
adds something in response to the
learner’s contribution. She can elaborate
on it, correct it, answer a question, suggest
something, make a link etc; (2) Elicit
While following up on a contribution, the
teacher tries to elicit something new from
the learner or other learners. She elicits
additional information or a new but
related idea to take the lesson forward.
Elicit moves often, but not always, narrow
the contributions in the same way as
funneling; (3) Press The teacher pushes or
probes the learner for more on her/his
idea, to clarify, justify or explain more
clearly. The teacher does this by asking the
learner to explain more, by asking why the
learner thinks s/he is correct, or by asking
a specific question that relates to the
learner’s idea and pushes for something
more; (4) Maintain The teacher maintains
the contribution in the public realm for
further consideration. She can repeat the
idea, ask others for comment, or merely
indicate that the learner should continue
talking; (5) Confirm The teacher confirms
that s/he has heard the learner correctly.
There should be some evidence that the
teacher is not sure what s/he has heard
from the learner, otherwise it could be
press.” (Brodie, 2010:140)
Pada sub kategori Selipkan (Insert)
kegiatan yang dilakukan guru dalam
membimbing siswa antara lain: menambahkan suatu ide, informasi, fakta atau
pengetahuan lain yang mendorong untuk
menumbuh-kembangkan penalaran siswa
melalui pertanyaan, respon balik atas
jawaban siswa, membuat keterkaitan
dengan
pengetahuan
terdahulu
dan
sebagainya. Pada sub kategori Munculkan
(Elicit), dengan tanya jawab guru berusaha
memotivasi siswa untuk memunculkan
gagasan baru yang terkait dengan materi
pelajaran yang akan dibahas. Sedangkan
pada subkategori Tekankan (Press) guru
memotivasi
siswa
untuk
memberi
penekanan, mengklarifikasi, membenarkan
atau menerangkan lebih jelas dari ide yang
muncul, dengan mengajukan pertanyaan –
pertanyaan “kenapa …”, “mengapa …,
sebutkan contoh lain, dan sebagainya. Pada
subkategori Tegaskan (Maintain) guru
memotivasi dan mendorong siswa untuk
menegaskan atas ide yang muncul, dengan
cara mengulanginya, atau meminta siswa
lain untuk menjelaskan dengan cara lain
menurut bahasanya sendiri, atau juga
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 410
memberi isyarat bahwa kerja siswa bisa
dilanjutkan atau perlu pembenahan. Pada
sub kategori terakhir Brodie memberikan
follow up bahwa guru harus memberikan
Konfirmasi (Confirm) atas ide – ide yang
benar, memberikan bukti, memberikan
kesimpulan dan penegasan.
Di bawah ini gambar 1.3
ditampilkan hasil studi pendahuluan yang
dilakukan penulis pada seorang siswa
kelas VIII, dengan melibatkan lima aspek
pembelajaran untuk mengembangkan
penalaran matematis.
Pada saat kerja berpasangan setelah siswa (kelas
VIII) menemukan rumus Panjang busur dan Luas
juring , diberikan permasalahan luas juring yang
melibatkan konsep lain seperti berikut:
Pada gambar di bawah besar
∠AOB = 26° dan ∠COD = 104°,
jika luas juring COD = 64 cm².
Tentukan luas juring AOB!
C
B
A
B
Wildan (WD) datang menghampiri guru (G),
dan terjadi tanya jawab berikut:
WD : (Dengan membawa sketsa gambar
“Bu untuk menentukan x yang paling
gampang dengan cara apa, Bu?”
64
D
104
O
C
B
A
26
x
WD : (menulis di kertas)
2
100
6
p
G : Untuk mencari p bagaimana? (Maintain)
WD: (Setelah diam beberapa saat …….. “ O …. Iya bu,
…. Iya bu aku ingat, enam kali seratus dibagi dua”)
G : “Coba tuliskan p = …….”(Maintain)
WD : (menulis di kertas )
G : “ Dengan cara yang sama coba buat
perbandingannya untuk soal kamu
tadi…….”(Maintain)
WD: (menulis di kertas)
D
O
WD : “ 2 permen Rp 100,- kalau 6 permen berapa
……..
G : “Coba tuliskan perbandingannya!” (Press)
B
G : “Gunakan perbandingan “ (Elicit)
WD: ( terdiam)
G : “Kamu ingat kalau beli 2 permen harus bayar
Rp100,-, kalau beli 6 perman yang sama harus
bayar berapa?” (Insert)
WD:” Rp 300,- Bu!”
G : “Pintar. Tadi cara kerjanya bagaimana?
(Press)
G : “Biasakan , corat – coret (menyederhanakan)
untuk mempercepat perhitungan, dilihat mana
yang bisa dicoret” (Maintain)
WD : (Diam agak lama ……)
G : “ Coba 26 dengan 104 bisa apa ndak itu
dicoret …….”(Maintain)
WD : ( masih saja diam ……)
G : “ Kita coba gunakan pendekatan
(maksudnya Estimasi) kalau 26 kita dekatkan
dengan 25 dan 104 kita dekatkan dengan 100,
nah sekarang 100 dibagi 25 berapa
……?”(Insert)
WD : 4 Bu …..!
G : “Sekarang kembalikan apakah benar 26 × 4 =
104” (Confirm)
WD : “Benar Bu ……”
G : “Jadi ……..
WD : (melanjutkan bekerja ) ……. “ hasilnya 16 …
Bu”
G
: “Okay, berarti kalau ada masalah serupa
kamu bisa menggunakan perbandingan,
jangan lupa biasakan tidak mengalikan
semuanya dan membaginya, tapi gunakan
“coret – coret “ supaya bilangan kita tidak
terlalu besar dan mencoba menggunakan
pendekatan untuk menghitungnya” (Confirm)
(DOK. 21-03-2013)
Gb.1.3
411, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Teori Belajar Yang Mendukung
1.Pembelajaran Beracuan Konstruktivis
Pembelajaran matematika menurut
pandangan kontruktivis adalah memberikan kesempatan kepada siswa untuk
mengkontruksi konsep-konsep matematika
dengan kemampuan sendiri melalui proses
internalisasi. Guru dalam hal ini berperan
sebagai fasilitator.
Saran Davis (1996) Maher, &
Noddings, 1990), pandangan kontruktivis
dalam pembelajaran matematika berorientasi pada : (1) Pengetahuan dibangun
dalam pikiran melalui proses asimilasi atau
akomodasi, (2) Dalam pengerjaan matematika, setiap langkah siswa dihadapkan
kepada apa, (3) Informasi baru harus
dikaitkan dengan pengalamanya tentang
dunia melalui suatu kerangka logis yang
mentransformasikan, mengorgani- sasikan,
dan menginterpretasikan pengalamannya,
dan
(4) Pusat pembelajaran adalah
bagaimana siswa berpikir, bukan apa yang
mereka katakan atau tulis.
Marshall (1990) and Hand (1996)
merekomendasikan bahwa guru seharusnya berubah dari yang otoritas figure
dan penuh kekuasaan dalam kelas menjadi
lebih
sebagai
fasilitator.
Memberi
kesempatan siswa untuk berkolaborasi,
memecahkan masalah dan mengkonstruk
penalarannya. Karena memahami matematika bukan sekedar dapat menyebutkan
suatu fakta atau konsep, bukan hanya
dapat menghitung atau mengerjakan soal
dengan memilih jawaban yang benar saja,
melainkan harus juga mempertimbangkan
pemecahan masalah (problem solving) ,
komunikasi matematika (Mathematic
communications), penalaran (Reasoning),
dan hubungan – hubungan matematika
(Mathematical Conections) (NCTM:2000).
Di situ ditegaskan pula bahwa pemecahan
masalah
merupakan
central
dari
pembelajaran matematika. Masalah matematika adalah merupakan pertanyaan
yang tidak dapat dijawab dengan prosedur
rutin yang telah ada. Salah satu definisi
dari masalah adalah “situasi di mana
seorang individu atau kelompok diminta
untuk mengerjakan tugas yang tidak ada
algoritma/prosedur yang didapat untuk
menentukan penyelesaian sepenuhnya.
Perlu ditambahkan bahwa definisi ini
mengasumsikan
keinginan
sebagian
individu
atau
kelompok
untuk
mengerjakan tugas” (Lester, 1980,
halaman 287). Definisi ini menunjukkan
sifat non-rutin masalah sebagai tugas yang
membutuhkan
kreativitas
untuk
menyelesaikannya (Ernest: 2007).
Mitzel (1982) mengatakan
bahwa, hasil belajar siswa secara
langsung dipengaruhi
oleh pengalaman siswa dan faktor internal.
Pengalaman belajar siswa dipengaruhi oleh
unjuk kerja guru. Bila siswa dalam
belajarnya bermakna atau terjadi kaitan
antara informasi baru dengan jaringan
representasi maka siswa akan mendapatkan suatu pengertian. Mengembangkan
pengertian merupakan tujuan pengajaran
matematika. Karena tanpa pengertian
orang tidak dapat mengaplikasikan
prosedur, konsep, ataupun proses. Dengan
kata lain, matematika dimengerti bila
representasi mental adalah bagian dari
jaringan
representasi (Hiebert
dan
Carpenter, 1992). Carpenter dan Lehrer
(1999) mengusulkan lima bentuk aktivitas
mental dari mana pemahaman matematika
berkembang. Kelima aktivitas tersebut
adalah (a) membangun hubungan, (b)
memperluas dan menerapkan pengetahuan
matematika, (c) mencerminkan tentang
pengalaman, (d) mengaartikula sikan apa
yang diketahui, dan (e) membuat sendiri
pengetahuan matematika sesuai apa yang
diketahui (Carpenter & Lehrer, 1999, p.
20). Melibatkan siswa dalam kegiatan
mental
memungkinkan mereka untuk
membangun pemahaman mereka sendiri
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 412
harus menjadi bagian sentral dari setiap
kelas matematika. Oleh karena itu, ketika
mengajar untuk bernalar dan memahami,
guru harus memastikan bahwa mereka
menetapkan norma-norma kelas
yang
memungkinkan siswa untuk terlibat dalam
kegiatan mental, memberikan
tugas
matematika yang banyak memfasilitasi
pemikiran, menggabungkan ekuitas yang
menuntut semua anak memiliki kesempatan untuk belajar, dan menggunakan
penilaian untuk terus memantau perkembangan penalaran dan pemahaman siswa
(Fennema et al., 1999).
Namun kita juga perlu memperhatikan pendapat Rutherford dan Ahlgren
bahwa siswa mempunyai ide
sendiri
tentang hampir semua permasalahan, ide
atau
pendapat
mereka
terhadap
permasalahan itu ada yang betul dan ada
juga yang salah. Jika ide yang salah ini
diabaikan atau tidak ditangani dengan
baik, maka kepahaman atau kepercayaan
asal mereka itu akan tetap kekal dalam
pemikirannya walaupun mereka mungkin
memberi
jawaban
seperti
yang
dikehendaki oleh guru. Oleh karena itu
matematika sebagai aktivitas manusia
berarti manusia dalam hal ini siswa harus
diberi kesempatan untuk menemukan
kembali ide dan konsep matematika
dengan
bimbingan
orang
dewasa
(Graveimejer, 1999).
John Dewey
menguatkan lagi teori konstruktivisme ini
dengan mengatakan bahwa pendidik yang
cakap
harus melaksanakan proses
pembelajaran sebagai proses menyusun
atau
membina
pengalaman
secara
berkelanjutan. John Dewey juga menekankan kepentingan penyertaan siswa di
dalam setiap aktivitas proses pembelajaran.
Dari persepektif epistemologi
yang disarankan dalam konstruktivisme
fungsi guru akan berubah. Perubahan akan
berlaku dalam teknik perencanaan dan
proses pembelajaran, penilaian, tindak
lanjut dan cara melaksanakan kurikulum.
Sebagai contoh, perspektif ini akan
mengubah kaedah
pembelajaran yang
berorientasi
pada pembelajaran yang
berpusat pada guru (Teacher Centered
Learning) ke arah pembelajaran yang
berorientasi pada keaktifan siswa (Student
Centered Learning). Sedangkan Cinzia
Bonotto (2000) menyarankan untuk
menjembatani konsep-konsep matematika
dengan pengalaman anak sehari-hari perlu
diperhatikan
matematisi
pengalaman
sehari-sehari (mathematization of everyday
experience) dan penerapan matematika
dalam sehari-hari. Oleh karena itu
pembelajaran matematika yang berorientasi masalah realistik sangat cocok
untuk mendukung paham ini.
2. Pembelajaran RME
Pembelajaran matematika realistik
(Realistic Mathematics Education)
memberikan kesempatan kepada siswa
unutk menemukan kembali
dan
mengkonstruksi konsep-konsep matematika berdasarkan pada masalah
realistik yang diberikan oleh guru.
Situasi realistik dalam masalah
memungkinkan siswa menggunakan
cara-cara informal untuk menyelesaikan
masalah. Cara-cara informal siswa yang
merupakan produksi siswa memegang
peranan penting dalam penemuan
kembali dan pengkonstruksian konsep.
Hal ini berarti informasi yang diberikan
kepada siswa telah dikaitkan dengan
skema (jaringan representasi) anak.
Melalui interaksi kelas keterkaitan
skema anak akan menjadi lebih kuat
sehingga pengertian siswa tentang
konsep yang mereka konstruksi sendiri
menjadi kuat. Dengan demikian,
pembelajaran matematika realistik akan
mempunyai kontribusi yang sangat
tinggi dengan pengertian siswa.
413, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Seperti saran (Pape et al, 2003., P. 180,
Fuchs et al. 1996) bahwa pemecahan
masalah yang berkaitan dengan
kehidupan sehari-hari harus menjadi
fokus utama pengajaran matematika;
penalaran tentang matematika, daripada
menghafal aturan dan prosedur,
membantu anak memahami matematika. Matematika adalah cara
berpikir dan jaringan ide-ide dan
konsep-konsep yang terkait, serta
sebagai wahana untuk mengembangkan
pemikiran kritis, berpikir kreatif, dan
kemampuan pengambilan keputusan.
3. Pembelajaran Berbasis Masalah
Menurut (Sabandar,Online) pilar
utama dalam mempelajari matematika
adalah pemecahan masalah. Dalam
mempelajari matematika orang harus
berpikir agar ia mampu memahami
konsep-konsep matematika yang dipelajari
serta mampu menggunakan konsep-konsep
tersebut secara tepat ketika ia harus
mencari jawaban bagi berbagai soal
matematika.
Model pengajaran berdasarkan
masalah ini telah dikenal sejak zaman John
Dewey. Menurut Dewey (dalam Trianto,
2009:91) belajar berdasarkan masalah
adalah interaksi antara stimulus dan
respon, merupakan hubungan antara dua
arah belajar dan lingkungan. Lingkungan
memberikan masukan kepada siswa berupa
bantuan dan masalah, sedangkan sistem
saraf otak berfungsi menafsirkan bantuan
itu secara efektif sehingga masalah yang
dihadapi
dapat
diselidiki,
dinilai,
dianalisis, serta dicari pemecahannya
dengan baik.
Pengajaran berdasarkan masalah
merupakan pendekatan yang efektif untuk
pengejaran proses berfikir tingkat tinggi.
Pembelajarn ini membantu siswa untuk
memproses informasi yang sudah jadi
dalam benaknya dan menyusun penge-
tahuan mereka sendiri tentang dunia sosial
dan sekitarnya. Pembelajarn ini cocok
untuk
pengetahuan
dasar
maupun
kompleks.
Pembelajaran berbasis masalah
dilandasi teori konstruktivis. Pada
pembelajaran
ini
dimulai
dengan
menyajikan
masalah
nyata
yang
penyelesaiannya membutuhkan kerjasama
antar siswa, guru memandu siswa
menguraikan rencana pemecahan masalah
menjadi tahap-tahap kegiatan, guru
memberi contoh mengenai penggunaan
ketrampilan dan strategi yang dibutuhkan
supaya tugas-tugas tersebut
dapat
diselesaikan. Guru menciptakan suasana
kelas yang fleksibel dan berorientasi pada
upaya penyelidikan oleh siswa.
Adapun
karakteristik
PBM
menurut Sovie dan Hughes (dalam
Santyasa 2008:3) yaitu: (1) Belajar dimulai
dengan suatu masalah, (2) Memastikan
bahwa
masalah
yang
diberikan
berhubungan dengan dunia nyata siswa,
(3) Mengorganisasikan pelajaran di seputar
masalah, bukan seputar disiplin ilmu. (4)
Memberikan tanggung jawab yang besar
kepada siswa dalam membentuk dan
menjalankan secara langsung proses
belajar mereka sendiri, (5) Menggunakan
kelompok kecil, (6) Menuntut siswa untuk
mendemonstrasikan apa yang telah mereka
pelajari dalam bentuk suatu produk atau
kinerja.
Setelah mengetahui uraian tentang
karakteristik dan tujuan dari pembelajaran
berbasis masalah maka sudah tampak
sangat jelas bahwa dengan adanya masalah
yang dapat dimunculkan oleh siswa dan
guru, kemudian siswa dapat memperdalam
pengetahuannya tentang apa yang mereka
telah ketahui dan apa yang perlu diketahui
untuk memecahkan masalah tersebut.
Fokus masalah dalam pembelajaran
berbasis masalah ini adalah masalah yang
dapat diselesaikan siswa dan mampu
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 414
mengembangkan kemampuan penalaran
matematis siswa.
Di saat memecahkan masalah, ada
beberapa cara atau langkah yang sering
digunakan. Cara yang sering digunakan
orang dan sering berhasil pada proses
pemecahan masalah inilah yang disebut
dengan Strategi pemecahan masalah.
Setiap manusia akan menemui masalah.
Karenanya, strategi ini akan sangat
bermanfaat jika dipelajari para siswa agar
dapat digunakan dalam kehidupan nyata
mereka.
Beberapa strategi pemecahan masalah
matematika yang sering digunakan adalah:
a. Membuat diagram.
Strategi ini berkait dengan pembuat
sket atau gambar coret-coret untuk
mempermudah memahami masalahnya
dan
mempermudah
mendapatkan
gambaran umum penyelesaian.
b. Mencobakan pada soal yang lebih
sederhana
Strategi
ini
berkait
dengan
menggunakan kaus khusus yang lebih
sederhana agar lebih mudah dipelajari,
sehingga gambaran umum penyelesaian
yang sebenarnya dapat ditemukan.
c. Membuat tabel
Strategi ini digunakan untuk membantu
menganalisis permasalahan atau jalan
pikiran kita, sehingga segala sesuatunya
tidak dibayangkan hanya oleh otak
yang kemampuannya sangat terbatas.
d. Menemukan pola
Strategi ini berkait dengan pencarian
keteraturan-keteraturan.
Keteraturan
(pola) tersebut akan memudahkan kita
menemjukan penyelesaiannya.
e. Memecah tujuan
Strategi ini berkait dengan pemecahan
tujuan umum yang hendak kita capai
menjadi satu atau beberapa tujuan
bagian. Tujuan bagian ini dapat
digunakan sebagai batu loncatan
f. Memperhitungkan setiap kemungkinan
Strategi ini berkait dengan penggunaan
aturan-aturan yang dibuat sendiri oleh
si pelaku selama proses pemecahan
masalah sehingga tidak akan ada
satupun alternatif yang terabaikan.
g. Berpikir logis
Strategi ini berkait dengan penggunaan
penalaran
maupun
penarikan
kesimpulan yang sah atau valid dari
berbagai informasi atau data yang ada.
h. Bergerak dari belakang
Dengan strategi ini, kita mulai dengan
menganalisis
bagaimana
cara
mendapatkan tujuan yang hendak
dicapai. Dengan strategi ini, kita
bergerak dari yang diinginkan lalu
menyesuaikannya
dengan
yang
diketahui.
i. Mengabaikan
hal
yang
tidak
mungkin
Dari berbagai alternative yang ada,
alternative yang sudah jelas-jelas tidak
mungkin
agar
dicoret/diabaikan
sehingga perhatian dapat tercurah
sepenuhnya untuk hal-hal yang tersisa
dan masih mungkin saja.
j. Mencoba-coba
Strategi ini biasanya digunakan untuk
mendapatkan
gambaran
umum
pemecahan
masalahnya
dengan
mencoba-coba dari yang diketahui.
Penilaian Penalaran Matematis
Dragonosky (2012: online) secara
implicit menyarankan bahwa
langkah
kerja penyelesaian masalah kontekstual
melibatkan penalaran yang masuk akal
adalah: (1) menterjemahkan masalah verbal ke bahasa simbul matematika, (2)
membuat perhitungan Estimasi, (3) memilih
dan
menentukan
strategi
penyelesaian, (4) menentukan selesaian
dengan strategi pilihan, (5) membandingkan hasil perhitungan dengan hasil
estimasi, (6) berpikir reflektif untuk
415, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
mengambil keputusan, (7) memberikan
alasan yang masuk akal dari jawaban yang
diberikan. Agar lebih jelas di bawah ini
(gambar2.1) diselipkan pengantar dan
contoh dari modul “Evaluating Reasonable
Solutions” dari Dr.Dragonosky (2012:
online)
Dengan evaluasi yang melibatkan
penalaran yang mendorong siswa untuk
berpartisipasi dalam perbedaan dan
mengecek
kembali
jawaban
dapat
memonitor
tentang penalaran konsep
matematika siswa. (Pape, Bell, & Yetkin,
2003, p. 181).
Penelitian menunjukkan bahwa
siswa menggunakan salah satu dari dua
kriteria untuk menilai alasan suatu
jawaban yang masuk akal (Gagne, 1983;
Johnson, 1979; Hiebert, 1984; Reys, 1985;
McIntosh & Sparrow, 2004):
(1)
Hubungan antar bilangan dan akibat dari
suatu operasi dan (2) kepraktisan
jawabannya.
Kriteria pertama mencerminkan
pemahaman tentang hubungan antar
bilangan dan akibat hasil operasi dari
bilangan tersebut. Menggunakan kriteria
ini, seseorang akan mampu mengidentifikasi batas jawaban yang masuk akal.
Sebagai
contoh,
mempertimbangkan
pengurangan dua pecahan , 9/11-4/5.
Penelitian menunjukkan bahwa beberapa
siswa akan mengurangi pembilang dan
penyebut dan melaporkan 5/6 sebagai
hasilnya. Namun, jika siswa memanfaatkan pengertian bilangan akan melihat
bahwa kedua pecahan tersebut sangat
dekat dengan 1, maka perbedaan itu harus
kecil. Dan, mereka diharapkan menyadari
bahwa 5/6 juga sangat dekat dengan 1
dan, karena itu,jawaban mereka tidak
masuk akal. Sedangkan kriteria kedua
berkaitan dengan kepraktisan jawaban.
Siswa
menggunakan
kriteria
ini
membandingkan jawaban dengan sesuatu
yang masuk akal dalam kehidupan sehari-
hari mereka. Mereka memeriksa apakah
besarnya jawaban dan jenis bilangan
masuk akal berdasarkan pengalaman
mereka sendiri. Misalnya, harga tiket
masuk menyaksikan pertandingan Arema
dengan Persebaya di Stadion Kanjuruhan
Malang untuk 6 orang tidak mungkin
Rp21.000. Atau bilangan pecahan tidak
dapat menjadi jawaban tentang banyaknya
orang yang lewat atau jumlah mobil di
jalan
raya.
Sejauh
mana
siswa
memanfaatkan kriteria ini tergantung pada
kisaran pengalaman mereka tentang dunia
nyata dan kesediaan mereka untuk
membuat keputusan. Kedua kriteria untuk
menilai alasan kewajaran suatu jawaban
yang saling terkait. Ketika seorang
individu mencerminkan jawaban, ia bisa
menilai hasil menggunakan salah satu atau
kedua kriteria, tergantung pada jenis
masalah serta bilangan dan operasi yang
terlibat. Gambar 1.4 berikut ditampilkan
contoh bentuk RAT (Reasonable Answer
Test).
Bentuk RAT ini mengikuti format
“Module # 4 of 15 Evaluating for a
Reasonable Solution ( Dr. Dragonosky
Presents Texas: 2012 (online)) dan
Examining eighth Grade Kuwaiti
Students’ Recognition of Reasonable
Answers
(Alajmi
:2009)
dengan
mengubah, menambah di beberapa bagian
berkenaan dengan bahasa dan redaksi dan
tingkat kesulitan
disesuaikan dengan
kaidah dan situasi pada kehidupan nyata
di lingkungan kita.
Reasonable Answer Test (RAT)
ini digunakan untuk menilai kinerja
(maha) siswa dalam mengenali kewajaran
jawaban. Setiap item mewajibkan (maha)
siswa untuk memberikan jawaban serta
menyertakan alasan kewajaran jawaban
dan kemudian menjelaskan bagaimana
mereka sampai pada keputusannya.
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 416
Item pada RAT memanfaatkan empat
operasi
dasar
(penjumlahan,
pengurangan,
perkalian,
dan
pembagian) pada bilangan Rasional.
KERJAKAN SOAL BERIKUT DENGAN LANGKAH –
LANGKAH SESUAI DENGAN PERMINTAAN!
Melisa ingin membeli beberapa buku binder untuk
membuat kumpulan puisi dan cerpen di saat
liburan. Harga sebuah buku binder Rp 6.400, dan
tertera PPn (Pajak Pertambahan nilai yang
dibebankan pada konsumen ) sebesar 10 %. Jika
dia mempunyai uang Rp 30.000 untuk membeli
buku binder. Berapa buku yang dapat dibeli
Melisa?
Diketahui:
Ditanyakan:
Rumus / strategi yang
digunakan:
Penyelesaian:
(Jelaskan mengapa,
Melisa hanya bisa
membeli
buku binder sebanyak
itu?)
Gambar 1.4
Sistem Penilaian RAT dapat dilihat
pada tabel 1.1, mengikuti format dari
“Evaluating Reasonable Solutions” dari
Dr.Dragonosky (2012: online) yang
memiliki 7 aspek: (a) menterjemahkan
masalah verbal ke bahasa simbul matematika, (b) membuat perhitungan Estimasi,
(c) memilih dan menentukan strategi
penyelesaian, (d) menentukan selesaian
dengan strategi pilihan, (e) membandingkan hasil perhitungan dengan hasil
estimasi, (f) berpikir reflektif untuk
mengambil keputusan dengan mengecek
balik jawaban, (g) memberikan alasan
yang masuk akal dari jawaban yang
diberikan.
Aspek indikator 1-4 penskoran
dilakukan dengan
kriteria “Jenis
jawaban” dan
aspek 5-7 penskoran
dilakukan dengan kriteria “Penjelasan”.
Masing – masing diberikan rentangan
skore 0-3, dengan rincian sebagai berikut:
Skore
Jenis
Jawab
an
0
1
2
3
Biasakan untuk
mengecek
jawaban yang
telah didapat.
Cocokkan
dengan situasi
dan kondisi
yang
sesungguhnny
a
Keterangan
Skore
Penjel
asan
Tidak ada
Jawaban sama
sekali
Jawaban tidak
sesuai
Jawaban kurang
sesuai
0
Jawaban Benar
3
1
2
Keterangan
Tidak ada
Penjelasan
sama sekali
Penjelasan
tidak sesuai
Penjelasan
Kurang masuk
akal
Penjelasan
masuk akal
417, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Tabel 1.1 Sistem Penilaian RAT
NO
1
2
3
4
5
6
7
ASPEK
INDIKATO
R
Jenis
Jawab
an
Penje
lasan
Skore
Total
menterjemahk
an
masalah
verbal
ke
bahasa simbul
matematika
membuat
perhitungan
Estimasi
memilih dan
menentukan
strategi
penyelesaian
menentukan
selesaian
dengan
strategi
pilihan
membandingk
an
hasil
perhitungan
dengan hasil
estimasi,
berpikir
reflektif untuk
mengambil
keputusan
(cek
ulang
hasil kerja)
memberikan
alasan yang
masuk
akal
dari jawaban
yang
diberikan.
Langkah evaluasi bisa dilanjutkan
dengan menginterview secara mendalam
(Reasonable Answer Interview -RAI) bagi
mahasiswa sebagai subyek belajar untuk
mengetahui strategi apa yang digunakan.
RAI difokuskan pada memeriksa proses
yang digunakan (maha) siswa untuk
menentukan kewajaran jawaban dan
menguji strategi yang digunakan (maha)
siswa dalam menentukan alasan yang
wajar dari
jawaban.
Pada awal
wawancara, perlu dijelaskan
tujuan
wawancara kepada (maha) siswa dan
kemudian
meminta
mereka
untuk
menggambarkan pemikiran mereka dengan
suara keras (think aloud) tentang
kewajaran dari jawaban yang disajikan.
(Maha)siswa juga ditanya apakah mereka
memiliki cara lain untuk menilai
kewajaran jawabannya. Sebagai tindak
lanjut perlu diajukan pertanyaan yang
bertujuan
untuk
memperjelas
dan
memberikan penjelasan
lebih detail
tentang pemikiran mereka (misalnya,
Bisakah Anda menjelaskan apa yang Anda
maksud dengan ...?). Pertanyaan
perlu
dilanjutkan sampai siswa memberikan
penjelasan yang dapat dimengerti oleh
penulis. Bentuk RAT dapat dilihat pada
lampiran.
PENUTUP
Bentuk kegiatan dan RAT yang
dikembangkan dalam artikel ini hanya
terbatas sebagai contoh pada kegiatan
pembelajaran matematika
di
kelas
mahasiswa calon guru yang akan mengajar
matematika di Sekoah Dasar. Namun
demikian sebenarnya dapat dikembangkan
dan
akan
lebih bermanfaat
jika
dikembangkan RAT matematika sekolah
bagi siswa di tingkat Sekolah Dasar hingga
Sekolah Menengah Atas.
Akhirnya, semoga sekelumit usaha
ini dapat bermanfaat bagi siapa saja yang
peduli dengan kemajuan pendidikan anak
bangsa, khususnya pada pembelajaran
matematika.
KAJIAN PUSTAKA
Alajmi, A. (2010). Examining Eight Grade
Kuwaiti Students’ recognition and
Interpretation
of
Reasonable
Answer. International Journal of
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 418
Science
and
Mathematics
Education (2010) 8: 117Y139 #
National Science Council, Taiwan
Bonotto, C. (2005). How informal out-ofschool mathematics can help
students make sense of formal Inschool mathematics: The case of
multiplying by decimal numbers.
Bloomberg & Volpe, 2008. Completing
Your Qualitative Disertation. A
Roadmap From Beginning to End.
SAGE.London
Brodie. K et.al. (2010)
Teaching
Mathematical
Reasoning
in
Secondary School Classrooms.
School of Education University of
the
Witwatersrand
JohannesburgSouth Africa [email protected] © Springer Science+
Business Media, LLC 2010
Choy, S. Chee & Pou San Oo (2012)
Reflektive Thinking and Teaching
Practises: a Precursor For
Incorporating Crirical Thinking
into the Classroom? International
Journal of Instruction January
2012 Vol.5, No.1 e-ISSN: 13081470 www.e-iji.net p-ISSN: 1694609X
Confrey J, Kazak S (2006) A thirty-year
reflection on constructivism in
mathematics education in PME.
In: Gutierrez A, Boero P (eds)
Handbook of research on the
psychology
of
mathematics
education: past, present and future.
Sense Publishers, Rotterdam
Davis RB, Maher CA (1997) How students
think, the role of representation.
In: English LD (ed) Mathematical
reasoning: analogies, metaphorsm
images.
Lawrence
Erlbaum
Associates, Hillsdale, NJ
Depdiknas. 2006. Kurikulum Standar
Kompetensi Matematika Sekolah
Menengah Atas dan Madrasah
aliyah. Jakarta: Depdiknas.
Dvora Peretz (2006)
Enhancing
Reasoning
Attitudes
Of
Prospective Elementary School
Mathematics Teachers. Journal of
Mathematics Teacher Education
9:381–400 _ Springer 2006DOI
10.1007/s10857-006-9013-9
Dragonosky Presents. (2012: online)
Evaluating for a Reasonable
Solution 8thGrade
Module # 4
of 15 (On Line) 11914 Dragon
lane, SanAntonio, Texas. 78252
Telp. (210) 622-4300 Southwest
ISD. 2012
Eggen, P.D., Kauchak, D.P. 1996. Strategy
for Teacher : Teaching Content
and Thinking Skill. 3rd Edition.
USA. Allyn & Bacon.
Emerson Jodie (2010) Connections Made
through Higher Level Questioning.
In partial fulfillment of the MAT
Degree Department of Mathematics University of Nebraska –
Lincoln
Ennis, R.H. (1996). Critical Thinking.
Prentice Hall New York.
Ernest P (1991) The philosophy of
mathematics education. Falmer
Press, London
Fraivillig JL, Murphy LA, Fuson KC
(1999)
Advancing
children’s
mathematical thinking in everyday
mathematics classrooms. J Res
Math Educ 2:148–170
Grayer,Marlena.(2009) Reasonable or
Not? A Study of the Use of Teacher
Questioning
to
Promote
Reasonable Mathematical Answers
from Sixth Grade Students
in
partial fulfillment of the MAT
Degree Department of Mathematics University of NebraskaLincoln
419, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Greeno JG, Collins AM, Resnick LB
(1996) Cognition and learning. In:
Berliner DC, Calfee RC(eds)
Handbook of educational psychology.
Simon
and
Shuster,
MacMillan, New York,
Jihad,
Asep.
2008. Pengembangan
Kurikulum Matematika (Tinjauan
Teoritis dan Historis). Bandung.
Multi Pressindo
Joyce, B., et al . 2009. Models of Teaching,
8th
Edition. USA. Allyn and
Bacon.
Kilpatrick J, Swafford J, Findell B (eds)
(2001) Adding it up: helping
children learn mathematics. National Academy Press, Washington,
DC
Lampert M (2001) Teaching problems and
the problems of teaching. Yale
University Press, New Haven
Lincoln, NE, Marlene Grayer (2009)
Reasonable or Not?A Study of the
Use of Teacher Questioning to
Promote Reasonable Mathematical
Answers from Sixth Grade
Students. University of NebraskaLincoln
Marshall,
H.H.
(1990).
Observing
teachers’ knowledge bases and
teaching roles. In D.F. Treagust,
R. Duit & B.J. Fraser (Eds.),
Improving teaching and learning
in science and mathematics (pp.
212–220). New York: Teachers
College Press.
NCTM. 2000. Principles and Standards
for School Mathematics. USA. The
National Council of Teacher of
Mathematics, Inc.
Polya G (1994/1990) How to solve it.
Penguin, USA
Reys, E., & Yang, D. (1998). Relationship
between computational performance and number sense among
sixth- and eighth-grade students in
Taiwan. Journal for Research in
Mathematics Education, 29, 225–
37.
Nicol, C. (1999). Learning to teach
mathematics: questioning, listening, and responding. Educational
Studies in Mathematics. Virginia:
The National Council of Teachers
of Mathematics, Inc.
Nieveen, N., McKenney, S., van den
Akker
(2006).
“Educational
Design Research” dalam Educational Design Research. New York
: Routledge
Pape, S., Bell, C., & Yetkin, I. (2003).
Developing mathematical thinking
and self-regulated learning: a
teaching experiment in a seventhgrade mathematics classroom.
Educational
Studies
in
Mathematics, 53, 179-202.
Plomp (2007). “Educational Design
Research : An Introduction”,
dalam
An
Introduction
to
Educational Research.
Enschede, Netherland : National Institute
for Curriculum Development
Reys, R., & Nohda, N. (1994).
Computational alternatives for the
twenty-first century: Cross-cultural
perspectives from Japan and the
United States. Reston, VA:
National Council of Teachers of
Mathematics.
Robert H. Ennis. (2011) Strategies and
Tactics for Teaching Critical
Thinking.
Professor Emeritus,
University of Illinois Last revised
February
R. Soedjadi.1999. Kiat Pendidikan
Matematika
di
Indonesia
(Konstatasi Keadaan Masa Kini
Menuju Harapan Masa Depan).
Jakarta: Ditjen Dikti Depdikbud.
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 420
Sabandar, Jozua, Berpikir ReflektifProdi
Pendidikan Matematika Sekolah
Pascasarjana UPI
Sowder, J. (1992). Estimation and number
sense. In D. Grouws (Ed.),
Handbook
of
research
on
mathematics teaching and learning
(pp. 371–389). New York:
Macmillan.
Sumarmo, utari. 2010. Berpikir dan
Disposisi
Matematik:
Apa,
Mengapa,
dan
Bagaimana
Dikembangkan
pada
Peserta
Didik. Artikel pada FPMIPA UPI
Bandung.
Tersedia
(online)
pada http://math.sps.upi.edu/?p=58
. Diakses pada tanggal 21 April
2013.
Tang. E.P dan Ginsburg, H.P (1999).
Young Children’s Mathematical
Reasoning, A Psychological View.
Dalam Developing Mathematical
Reasoning in Grade K-12. Stiff.
L.V dan Curcio FR. Ed. 1999
Yearbook
NCTM,
Reston,
Virginia
Trianto.
2009. Mendesain
Model
Pembelajaran Inovatif-Progresif:
Konsep, Landasan, dan Implementasinya pada Kurikulum Tingkat
Satuan
Pendidikan
(KTSP).
Jakarta: Kencana
Watson A, Mason J (1998) Questions and
prompts for mathematical thinking.
Association of Teachers of
Mathematics, Derby.
421, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
KERJAKAN SOAL BERIKUT DENGAN LANGKAH – LANGKAH SESUAI
DENGAN PERMINTAAN!
Ali tiap pagi dari rumah menuju ke sekolahnya dengan berjalan kaki,
dan pulangnya dari sekolah ke rumah dengan naik bus, atau jika
berangkatnya naik bus maka pulangnya berjalan kaki. Perjalanan
pulang pergi dengan cara seperti itu memerlukan waktu selama 1 jam.
Apabila Ali pulang dan pergi ke sekolah dengan naik bus maka waktu
yang diperlukan adalah 20 menit. Tentukan waktu yang digunakan Ali
apabila ia pulang dan pergi ke sekolah dengan berjalan kaki.
KERJAKAN SOAL BERIKUT DENGAN LANGKAH – LANGKAH SESUAI
DENGAN PERMINTAAN!
Untuk meningkatkan semangat belajar Esa , Ibu menjajikan
hadiah sebesar Rp 750,00 untuk setiap soal yang dijawab benar dan
mendenda Rp 500,00 untuk setiap jawaban yang salah. Setelah 5
soal dijawab oleh Esa, maka ia tidak mendapat uang dari Ibu dan
juga tidak kena denda. Bagaimana kondisi kerja Esa dalam
menjawab soal-soal tersebut?
Diketahui:
Diketahui:
Ditanyakan:
Ditanyakan:
Rumus / strategi yang digunakan:
Penyelesaian:
Biasakan untuk
mengecek jawaban
yang telah didapat.
Cocokkan dengan
situasi dan kondisi
yang sesungguhnnya
(Jelaskan bagaimana sampai anda
mendapatkan kesimpulan tersebut!)
Rumus/strategi yang digunakan:
Penyelesaian:
Biasakan untuk
mengecek jawaban
yang telah didapat.
Cocokkan dengan
situasi dan kondisi
yang sesungguhnnya
(Jelaskan mengapa Esa bisa bekerja
seperti itu)
Wisulah, Mengembangkan Penalaran Matematis, 422
KERJAKAN SOAL BERIKUT DENGAN LANGKAH – LANGKAH SESUAI
DENGAN PERMINTAAN!
Seorang pemilik toko TV memesan beberapa TV ukuran 21” dan
beberapa TV ukuran 14”. Harga sebuah TV 21” satu setengah kali
harga TV 14”. Jika ia memiliki uang Rp 11.000.000,00 untuk TV –
TV tersebut. Berapa buah TV yang bisa dipesan, jika dia harus
membawa pulang TV ukuran 14” lebih banyak dari TV yang
ukurannya 21”.
KERJAKAN SOAL BERIKUT DENGAN LANGKAH – LANGKAH SESUAI
DENGAN PERMINTAAN!
Di perpustakaan Agung dan Bayu membaca buku yang sama. Agung
telah membaca 18 halaman pertama, yang belum dibaca Bayu 76
halaman. Ternyata banyak halaman yang belum dibaca Agung dua kali
banyak halaman yang telah dibaca Bayu. Berapa banyak halaman buku
tersebut?
Diketahui:
Diketahui:
Ditanyakan:
Ditanyakan:
Rumus / strategi yang digunakan:
Penyelesaian:
Rumus/strategi yang digunakan:
Biasakan untuk
mengecek jawaban
yang telah didapat.
Cocokkan dengan
situasi dan kondisi
yang sesungguhnnya
(Jelaskan bagaimana sampai anda
mendapatkan kesimpulan tersebut!)
Penyelesaian:
Biasakan untuk
mengecek jawaban
yang telah didapat.
Cocokkan dengan
situasi dan kondisi
yang sesungguhnnya
(Jelaskan bagaimana sampai anda
mendapatkan kesimpulan tersebut!)
Fly UP