...

MENYELESAIKAN KASUS PROGRAM LINEAR MELALUI

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

MENYELESAIKAN KASUS PROGRAM LINEAR MELALUI
MENYELESAIKAN KASUS PROGRAM LINEAR MELALUI GEOGEBRA
By: Khairuddin, S.Pd *)
A.
Pendahuluan
Pemecahan masalah dengan rumusan program linear ditemukan oleh seorang
Matematikawan Rusia L.V. Kantorovich pada 1939. Ketika itu Kantorovich bekerja
untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi tugas untuk mengoptimalkan
produksi pada industri plywood. Ia kemudian muncul dengan teknik matematis
yang dikenal sebagai pemrograman linear. Seorang Matematikawan Amerika
George Bernard Dantzig secara independen juga mengembangkan pemecahan
masalah tersebut, di mana hasil karyanya pada masalah tersebut pertama kali
dipublikasikan pada tahun 1947. Ketika itu tahap-tahap yang dilakukan dalam
modelisasi dan optimasi solusi suatu masalah meliputi (1) pendefinisian masalah,
(2) merumuskan model, (3) memecahkan model, (4) pengujian keabsahan model
dan (5) implementasi hasil akhir.
Program linear (linear programming) merupakan model optimasi persamaan linear
yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear, Masalah program
linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum) sebuah fungsi linear
pada suatu sistem pertidaksamaan linear yang harus memenuhi optimasi fungsi
objektif.
Secara matematis, kaidah-kaidah dalam penyelesaian Program Linear:
1. Prinsip Program Linear
Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan
penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan, dengan prinsip sebagai berikut:
a) Dalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhi oleh
variabel-variabel seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan.
Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa jumlah 2x dan 3y tidak
boleh kurang dari 12. Pernyataan ini berarti 2x + 3y sama dengan 12 atau
lebih dari 12, dan dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai 2x +
3y ≥ 12.
b) Dalam setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan yang
berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12, dibentuk
persamaan 2x + 3y = 12.
c) Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi
penyelesaian pertidaksamaan.
d) Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dengan
menggunakan titik selidik.
e) Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili suatu
sistem pertidaksamaan. Misalnya titik (1, 4), (4, 3), (6, 2), dan seterusnya.
2. Model Matematika
Setiap masalah yang hendak diselesaikan dengan kaidah program biasanya
mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x
dan y. Oleh sebab itu, dalam program linear langkah pertama yang dilakukan
adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut ke dalam bahasa matematika
yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan ini
3.
4.
mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Sistem
pertidaksamaan disebut sebagai model matematika.
Masalah yang Melibatkan Program Linear
Program linear biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan
melukis garis-garis dan menunjukkan daerah penyelesaian dengan memberikan
arsiran.
Optimasi
Masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum atau
nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear
lazimnya dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks.
Penggunaan software Geogebra sangat membantu dalam menyelesaikan
permasalahan program linear, tentu saja dengan tidak mengenyampingkan langkahlangkah matematis dalam menyelesaikannya. Geogebra dapat digunakan pada saat
mulai menggambar grafik dan menentukan titik-titik uji penyelesaian, serta menguji
fungsi optimum pada titik-titik tersebut.
B.
Langkah-langkah Penyelesaian Program Linear dengan Geogebra
Contoh kasus dari Soal UN 2010 Paket 01:
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar
20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil
Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh
dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat
parkir adalah … .
A. Rp176.000,00
D. Rp300.000,00
B. Rp200.000,00
E. Rp340.000,00
C. Rp260.000,00
Penyelesaian
Dari soal di atas, maka dapat dibuat model Matematika sebagai berikut:
Misal: mobil kecil (x) dan mobil besar (y)
4 + 20 ≤ 1760
 +  ≤ 200
,  ≥ 0
 ,  = 1000 + 2000 (Fungsi Optimum)
Langkah selanjutnya dapat dilakukan dengan Geogebra. Dalam hal ini saya
menggunakan Geogebra versi 4
1. Input pertidaksamaan di atas ke dalam bentuk persamaan pada bar “Input”
Meski sebetulnya Geogebra versi 4 telah mendukung pertidaksamaan, namun
jika diinput dalam pertidaksamaan nantinya akan kesulitan pada memberikan
titik-titik potong pada kurva geogebra.
Kedua persamaan tersebut akan langsung tertera pada free object kolom
“Algebra”, dan persamaannya langsung disederhanakan oleh program
Geogebra.
2. Dengan menggunakan tool zoom out,
terlihat jelas, seperti di bawah.
kecilkan gambar grafik hingga
3. Agar kelihatan menarik, grafik kedua persamaan tersebut diberikan warna yang
berbeda.
Klik kanan pada salah satu persamaan, pilih object properties, pada tab color
pilih warna yang diinginkan, pada tab style naikkan line thickness agar lebih
tebal garisnya. Lakukan pada kedua garis tersebut. Sehingga menghasilkan:
Dari grafik di atas terlihat bahwa persamaan 1 berwarna biru dan persamaan 2
berwarna merah.
4. Selanjutnya dibuat titik-titik potong sebagai titik uji untuk menentukan nilainilai optimum. Karena pertidaksamaan ≤ , maka hanya 3 titik yang akan diuji,
yaitu titik potong persamaan I dengan sumbu y (titik A), titik persamaan I dan II
(titik B) dan titik potong Persamaan II dengan sumbu x (titik C).
Cara membuat titik potong pada geogebra, klik pada ikon
icon intersect two objects.
, kemudian pilih
Selanjutnya tinggal klik di garis biru (garis persamaan I) dan klik di sumbu y,
secara otomatis akan keluar titik A (0, 88).
Kemudian klik di garis biru (garis persamaan I) dan klik di garis merah (garis
persamaan II), maka akan keluar titik B (140, 60).
Klik di garis merah (garis persamaan II) dan klik di sumbu y, maka akan keluar
titik C (200, 0).
Klik juga di sumbu x dan klik di sumbu y, sehingga keluar titik D (0, 0)
5. Buatlah arsiran pertidaksamaan tersebut dengan menghubungkan keempat titik
tersebut dengan menggunakan tool polygon
6. Hitunglah nilai optimum pada masing-masing titik uji di atas, fungsi optimum
diketahui adalah:
 ,  = 1000 + 2000
Untuk masing-masing titik pada geogebra dapat dibuat dengan cara ketikkan
pada bar input sebagai berikut:
Titik A:
Enter
Titik B:
Enter
Titik C:
Enter
7. Lihatlah pada kolom “Algebra”, Nilai A (NA), NB dan NC sudah dikalkulasi
oleh Geogebra.
Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai optimum ada
pada titik B (140, 60) senilai Rp. 260.000.Mudah bukan ?? Silahkan mencoba dengan soal program linear yang lain
*) = Kontributor SMA Negeri 1 Nurussalam Aceh Timur
Fly UP