...

Model Sistem dalam Persamaan Keadaan - Share ITS

by user

on
Category: Documents
2

views

Report

Comments

Transcript

Model Sistem dalam Persamaan Keadaan - Share ITS
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Model Sistem
dalam Persamaan Keadaan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Istilah-istilah Dalam Persamaan
Keadaan
Analisis Sistem Kompleks
Persamaan Ruang Keadaan
Orde-n, dengan Fungsi
Penggerak U.
Ketidak unikan Himpunan
Variabel Keadaan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Pengantar
•Pada bagian ini akan dibahas mengenai Persamaan Keadaan
sebuah sistem dinamik / persamaan state space.
• Bentuk persamaan state space terdiri dari dua bentuk: yaitu
persamaan keadaan sistem dan persamaan keluaran sistem
•Persamaan state space dapat digunakan untuk menganalisa
karaktersitik sistem.
•Karaktersitik sistem dinyatakan dalam bentuk: ”Controllable
dan Observable”.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Istilah-istilah Dalam Persamaan Keadaan
Keadaan(state) : himpunan terkecil dari variabel-variabel (disebut
variabel keadaan) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui
varibel-variabel ini pada t=to, bersama-sama dengan masukan untuk
tto, dapat menentukan secara lengkap perilaku sistem untuk setiap
waktu tto.
Variabel keadaan, variabel keadaan suatu sistem dinamik adalah
himpunan terkecil dari variabel-varibel yang menentukan keadaan
sistem dinamik.
Diperlukan n variabel x1(t),x2(t),…,xn(t) untuk melukiskan secara
lengkap perilaku suatu sistem dinamik
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Istilah-istilah Dalam Persamaan Keadaan
Vektor Keadaan : suatu vektor yang menentukan secara unik
keadaan sistem x(t) untuk setiap tto, setelah ditetapkan masukan
u(t) untuk tto.
Ruang keadaan : Ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya terdiri
dari sumbu x1, sumbu x2,…, sumbu xn
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Analisis Sistem Kompleks
 Pada umumnya, teori pengendalian konvensional hanya dapat
diterapkan pada sistem linier dengan parameter konstan
dengan satu masukan dan satu keluaran dalam suatu
hubungan transfer.
 Sistem modern yang komplek mungkin mempunyai beberapa
masukan dan beberapa keluaran
 Untuk menganalisis sistem seperti ini, perlu penyederhanaan
model matematik.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Analisis Sistem Kompleks
 Pendekatan yang paling sesuai pada analisis sistem
kompleks adalah pendekatan ruang keadaan.
 Teori pengendalian modern berdasarkan pada diskripsi
persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial
orde pertama, yang dapat digunakan menjadi persamaan
diferensial matrik-vektor orde pertama.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U.
Persamaan diferensial orde-n
(n)
( n 1)
y  a1 y  .....  an1 y  an y  u
(Pers. 1)
Masukan u(t) untuk t0, dan nilai pada kondisi awal (t0), akan
menentukan secara lengkap perilaku yang akan datang dari sistem,
maka dapat dipilih sebagai himpunan n variabel keadaan.
Selanjutnya didefinisikan,
x1  y
x2  y
..........
( n 1)
xn  y
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U.
selanjutnya persamaan 1 dapat dituliskan kembali sebagai berikut,
x1  x 2
x 2  x3
...........
x n 1  xn
x n  a n x1  ...  a1 x n  u
atau dalam bentuk persamaan ruang keadaan (matrik-vektor)
x  Ax  Bu
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Latihan
Konsep state space
 x1 
 0
x 
 0
2
 

x   : , A   :
 

.
 
 0
 xn 
 a n
Persamaan Ruang Keadaan
1
0
:
0
 an 1
0
..
0 
0
0
1
..
0 
 

 : , B   : 

 
0
 1 
0
1
 a n2 ..  a1 
  Ax  Bu
x
Persamaan Keluaran
y  1
0
...
y  Cx
 x1 
 x 
 2 
0  


 x n 1 

 xn 

Ringkasan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U.
dimana,
 x1 
 0
x 
 0
2
 

x   : , A   :
 

.
 
 0
 xn 
 a n
persamaan keluaran menjadi,
dimana,
C=[1 0 …0]
1
0
:
0
 a n 1
0
1

0
 an2
..
0 
0
0
..
0 
 

: , B   : 

 
 1 
0
1
..  a1 
 x1 
x 
 2 
y  1 0 ... 0  


x
 n 1 
 xn 
y  Cx
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Latihan
Ringkasan
Untuk system kontinyu, persamaan state space
d
X (t )  AX (t )  Bu (t )
dt
y  CX (t )
1
Y ( s)  C( sI  A) BU ( s)
d
X (t )  AX (t )  Bu (t )
dt
sX ( s)  AX ( s)  BU ( s)
( sI  A) X ( s)  BU ( s)
X ( s)  ( sI  A) 1 BU ( s)
Y ( s)
G( s) 
U ( s)
 C( sI  A) 1 B
adjsI  A
C
B
detsI  A
Persamaan polynomial
dalam s = akar – akar
det(sI-A)=0
= eigen value dari (sI-A)
= pole – pole dr G(s)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Ketidak unikan Himpunan Variabel Keadaan
Himpunan variabel keadaan untuk suatu sistem adalah tidak unik.
Artinya bahwa variabel keadaan bisa dipilih dari variabel keadaan yang
saling tidak terkait.
Bila dipilih variabel keadaan :
Xˆ 1  X 1 x1, x2 ,..., xn 
Xˆ 2  X 2 x1 , x2 ,..., xn 
Xˆ 3  X 3 x1 , x2 ,..., xn 
xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n
: tidak unik (terpisah)
xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n
: unik (saling terkait)
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Materi
Ketidak unikan Himpunan Variabel Keadaan
Jika X merupakan suatu vektor keadaan , maka :
ˆ  PX
X
Dimana P adalah matrik non singular.
Vektor–vektor keadaan yang berbeda membawa informasi yang sama
memenuhi perilaku sistem.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Soal 1
Perhatikan sistem rangkaian RLC yang ditunjukan pada Gambar di bawah.
Perilaku dinamika sistem dapat dilihat secara lengkap untuk tto jika hargaharga awal dari arus i(to),tegangan kapasitor vc(to), dan tegangan masukan v(t)
untuk tto diketahui. Jadi keadaan rangkaian tersebut untuk tto dinyatakan
sebagai i(t), vc(t) dan tegangan masukan v(t) untuk v(t) untuk tto. Maka dari
itu, i(t) dan vc(t) merupakan suatu himpunan variabel keadaan dari sistem
tersebut.
Gambar Rangkaian RLC
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Soal 1
Pada sistem ini bisa dipilih sebagai himpunan variabel keadaan:
 x1(t )= i(t)
 x2(t) = vc(t)
Persamaan yang menggambarkan dinamika sistem elektrik RLC adalah,
di
L  Ri  vc  v
dt
dvc
C i
dt
Y=[0
1]
 x1 
x 
 2
 R 1
 i   L  L   i   1 
     L v
    1
vc  
0  vc   0 
C

x  Ax  Bu
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Soal 2
Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :
y  6 y  11y  6 y  6u
dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem.
Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem yang dinyatakan
pada persamaan di atas.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Dipilih variabel keadaan sebagai berikut
x1  y
x2  y
x3  y
Selanjutnya diperoleh
x1  x2
x 2  x3
x 3  6 x1  11x2  6 x3  6u
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Dengan menggunakan notasi matrik-vektor, tiga persamaan diferensial
orde pertama ini dapat digabungkan menjadi satu sebagai berikut,
1
0   x1  0
 x1   0
 x    0
  x   0u 
0
1
2
  
 2   
 x 3   6  11  6  x3  6
persamaan keluaran dinyatakan oleh
 x1 
y  1 0 0 x2 
 x3 
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut
x  Ax  Bu
y  Cx
dimana
1
0
0
0
A   0
0
1 , B  0, C  1 0 0
 6  11  6
6
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Contoh Soal
Penyelesaian
Penyajian diagram blok sistem contoh soal
 x1   0 1 0   x1  0
 x    0 0 1   x   0u 
 2 
 2   
 x3   6  11  6  x3  6
 x1 
y  1 0 0 x2 
 x3 
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Ringkasan
• Penggunaan metode ruang keadaan untuk analisis suatu sistem,
sangat sesuai jika menggunakan komputer digital, karena
pendekatannya adalah wawasan waktu. Sehingga terhindar dari
kebosanan dan kesulitan pada saat terjadi perhitungan berulang
dan lebih mudah untuk menyelesaikan sistem-sistem yang berorde
tinggi.
•Sebuah sistem dengan 1 atau lebih masukan dan keluaran dapat
dimodelkan dalam persamaan ruang keadaan (state space)
•Metode pendekatan ruang keadaan sangat baik digunakan untuk
memodelkan sistem, menganalisis kestabilan, keterkendalian dan
keteramatan.
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Latihan
Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :
2y  4 y  6 y  8 y  10u
dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan
penyajian ruang keadaan dari sistem tersebut diatas.
SEKIAN
&
TERIMAKASIH
Fly UP