...

PERSAMAAN DIFERENSIAL

by user

on
Category: Documents
13

views

Report

Comments

Transcript

PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERSAMAAN DIFERENSIAL
1.
2.
3.
4.
Persamaan Diferensial Orde Satu
Persamaan Diferensial Orde Dua
Metode Operator D
Transformasi Laplace
PENGERTIAN
Persamaan Diferensial adalah
• Hubungan antara variabel bebas x, variabel
tergantung y dan satu atau lebih turunan y terhadap x
• Persamaan yang mengandung diferensial (turunan)
Orde adalah turunan tertinggi dalam persamaan
PD Orde 1
PD Orde 2
PD Orde 3
PEMBENTUKAN PD
Fungsi dengan 1 konstanta A  PD Orde 1
PEMBENTUKAN PD
Fungsi dengan 2 konstanta A dan B  PD Orde 2
Substitusi A dan B :
PENYELESAIAN PD
Fungsi dengan 1 konstanta menghasilkan PD Orde 1
Fungsi dengan 2 konstanta menghasilkan PD Orde 2
Fungsi dengan n konstanta menghasilkan PD Orde n
PD Orde 1 diturunkan dari fungsi dengan 1 konstanta
PD Orde 2 diturunkan dari fungsi dengan 2 konstanta
PD Orde n diturunkan dari fungsi dengan n konstanta
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
ORDE SATU
1.
2.
3.
4.
5.
Integrasi Langsung
Pemisahan Variabel
Persamaan Diferensial Homogen (substitusi y = vx)
Persamaan Diferensial Linier (Faktor Integrasi)
Persamaan Diferensial Bernoulli
PD ORDE SATU
INTEGRASI LANGSUNG
Bentuk :
Contoh 1 :
Contoh 2 :
PD ORDE SATU
PEMISAHAN VARIABEL
PD ORDE SATU
PEMISAHAN VARIABEL
1.
5.
2.
6.
3.
7.
4.
8.
PD ORDE SATU
PD HOMOGEN (Substitusi y=vx)
Syarat :
1. Bentuk pecahan
2. Pangkat x dan y yang terlibat dalam masing-masing suku, sama
derajatnya
Prosedur :
1. Misalkan : y = v.x (v adalah fungsi x)
2. Diferensialkan :  
=
 + . 1
 
3. Substitusi y = v.x ke dalam soal dan sederhanakan
4. Substitusi/gabungkan langkah 2 dan 3
5. Selesaikan dengan metode pemisahan variabel
6.

Substitusikan  = dan sederhanakan

PD ORDE SATU
PD HOMOGEN (Substitusi y=vx)
Contoh Soal :
1.
2.
3.
4.
PD ORDE SATU
PD LINIER (Faktor Integrasi)
Syarat :

Bentuk umum :  + .  = 
Prosedur :
1. Ubah soal ke bentuk umum
2. Tentukan P dan Q
3. Hitung . 
4. Hitung Faktor Integrasi (FI) =  .
5. Penyelesaian Umum : .  = . . 
PD ORDE SATU
PD LINIER (Faktor Integrasi)
Contoh Soal :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
PD ORDE SATU
Bentuk Umum :


PD BERNOULLI
+ .  = .  
Prosedur :
1. Ubah soal ke bentuk umum
2. Bagilah kedua ruas dengan   , sehingga diperoleh :

−

+ . 1− = 

3. Misalkan :  = 1−


4. Diferensialkan :  = 1 −  .  − 
5.
6.

1 
1− 
1 
Substitusikan ke bentuk umum :
+ .  =
1− 

Kalikan kedua ruas dengan (1-n)   + 1 − 
7. Selesaikan dengan PD Linier

=  − 

.  = (1 − )
PD ORDE SATU
PD BERNOULLI
Contoh Soal :
1.
2.
3.
4.
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
ORDE DUA
TRANSFORMASI LAPLACE (TL)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definisi
Invers Transformasi Laplace
Transformasi Laplace Turunan
Sifat Transformasi Laplace
Tabel Transformasi Laplace
Penyelesaian PD dengan Transformasi Laplace
DEFINISI TRANSFORMASI LAPLACE
  =
 
~ −
 

= ()
 
INVERS TRANSFORMASI LAPLACE
 
= 
  = − *  +
Transformasi Laplace
f(x)
F(s)
Invers Transformasi Laplace
TURUNAN TRANSFORMASI LAPLACE
1.   
= 
2.  ′ 
= .   −  0
3.  ′′ 
=  2 .   − .  0 − ′(0)
4.  ′′′ 
=  3 .   −  2 .  0 − .  ′ 0 − ′′(0)
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
1.    ± () =    +   
−1 () ± () = −1 ()+ ± −1 *()
2.  .  
= .   
−1 . () = . −1 ()
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE
1. Kedua ruas PD di Transformasi Laplace
2. Pisahkan F(s) di ruas kiri sehingga diperoleh   =   
3. Pisahkan F(s) menjadi fraksi-fraksi sesuai Tabel TL
4. Gunakan Invers TL untuk mencari Penyelesaian PD
TRANSFORMASI LAPLACE
1.
2.
3.
Fly UP