...

Definisi Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product

by user

on
Category: Documents
6

views

Report

Comments

Transcript

Definisi Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product
De…nisi Ruang Hasil Kali Dalam
(Inner Product Space)
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
November 2015
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
1 / 54
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
5
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
2 / 54
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
3 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
4 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
Pada bagian ini, kita ingin memperumum beberapa hal berikut untuk sembarang
ruang vektor atas R:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
Pada bagian ini, kita ingin memperumum beberapa hal berikut untuk sembarang
ruang vektor atas R:
panjang dari sebuah vektor,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
Pada bagian ini, kita ingin memperumum beberapa hal berikut untuk sembarang
ruang vektor atas R:
panjang dari sebuah vektor,
jarak antara dua vektor,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
Pada bagian ini, kita ingin memperumum beberapa hal berikut untuk sembarang
ruang vektor atas R:
panjang dari sebuah vektor,
jarak antara dua vektor,
sudut antara dua vektor tak nol, dan
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
Pada bagian ini, kita ingin memperumum beberapa hal berikut untuk sembarang
ruang vektor atas R:
panjang dari sebuah vektor,
jarak antara dua vektor,
sudut antara dua vektor tak nol, dan
keortogonalan (ketegaklurusan) antara dua vektor.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Pendahuluan dan Motivasi
Panjang, Jarak, dan Sudut pada Ruang Vektor
Kita telah memperumum gagasan mengenai vektor pada kajian sebelumnya.
Vektor dapat berupa objek apapun yang merupakan elemen dari suatu himpunan
yang disebut ruang vektor. Ruang vektor sendiri merupakan struktur matematika
yang terdiri atas himpunan tak kosong dan dua operasi biner serta memenuhi
sifat-sifat tertentu.
Pada bagian ini, kita ingin memperumum beberapa hal berikut untuk sembarang
ruang vektor atas R:
panjang dari sebuah vektor,
jarak antara dua vektor,
sudut antara dua vektor tak nol, dan
keortogonalan (ketegaklurusan) antara dua vektor.
Ingat kembali bahwa vektor dapat berupa: matriks kolom, matriks berukuran
m n dengan m; n > 1, polinom, maupun bilangan real positif.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
5 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
6 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
kwk
~ =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
1=2
kwk
~ = (w
~ w)
~
2
jarak antara dua vektor ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
1=2
kwk
~ = (w
~ w)
~
2
jarak antara dua vektor ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
d (~u
MZI (FIF Tel-U)
~v ) =
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
1=2
kwk
~ = (w
~ w)
~
2
jarak antara dua vektor ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
d (~u
MZI (FIF Tel-U)
~v ) = k~u
~v k =
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
1=2
kwk
~ = (w
~ w)
~
2
jarak antara dua vektor ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
d (~u
3
~v ) = k~u
~v k = ((~u
~v ) (~u
~v ))
1=2
sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
\ (~u; ~v ) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
1=2
kwk
~ = (w
~ w)
~
2
jarak antara dua vektor ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
d (~u
3
~v ) = k~u
~v k = ((~u
~v ) (~u
~v ))
1=2
sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
\ (~u; ~v ) = arccos
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
k~uk k~v k
=
De…nisi RHKD
November 2015
7 / 54
Hasil Kali Dalam Euclid
Hasil Kali Dalam Euclid
Ingat kembali bahwa hasil kali dalam Euclid (atau hasil kali titik/ dot product) dari
dua vektor ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dide…nisikan sebagai
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn .
Dari hasil kali dalam ini, kita dapat memperoleh:
1
norm (panjang) dari sembarang vektor w
~ = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) 2 Rn yang
dide…nisikan sebagai
1=2
kwk
~ = (w
~ w)
~
2
jarak antara dua vektor ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
d (~u
3
~v ) = k~u
~v k = ((~u
~v ) (~u
~v ))
1=2
sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn yang dide…nisikan sebagai
!
~u ~v
~u ~v
\ (~u; ~v ) = arccos
= arccos
,
1=2
1=2
k~uk k~v k
(~u ~u) (~v ~v )
hal ini dijamin oleh ketaksamaan Cauchy-Schwarz
MZI mengatakan
(FIF Tel-U)
De…nisi ~
7 / 54
Kita juga
bahwa dua vektor
uRHKD
; ~v 2 Rn ortogonal (tegak November
lurus)2015
ketika
De…nisi Hasil Kali Dalam
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
8 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada dasarnya merupakan perumuman dari hasil kali titik. Ingat
kembali bahwa hasil kali titik di Rn memenuhi sifat-sifat berikut untuk setiap
~u; ~v ; w
~ 2 Rn .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
9 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada dasarnya merupakan perumuman dari hasil kali titik. Ingat
kembali bahwa hasil kali titik di Rn memenuhi sifat-sifat berikut untuk setiap
~u; ~v ; w
~ 2 Rn .
1
~u ~v = ~v ~u
2
(~u + ~v ) w
~ = ~u w
~ + ~v w
~
3
4
~u ~v =
~u ~u
(~u ~v ) = ~u
~v untuk setiap
2R
0 dan ~u ~u = 0 jika dan hanya jika ~u = ~0
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
9 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi (Hasil Kali Dalam)
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah
suatu fungsi (atau operasi) yang memetakan sepasang vektor ~u; ~v 2 V dengan
sebuah bilangan real yang ditulis dengan h~u; ~v i dan memenuhi sifat-sifat berikut
untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2V
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
10 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi (Hasil Kali Dalam)
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah
suatu fungsi (atau operasi) yang memetakan sepasang vektor ~u; ~v 2 V dengan
sebuah bilangan real yang ditulis dengan h~u; ~v i dan memenuhi sifat-sifat berikut
untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2V
1
h~u; ~v i = h~v ; ~ui (aksioma simetris)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
10 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi (Hasil Kali Dalam)
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah
suatu fungsi (atau operasi) yang memetakan sepasang vektor ~u; ~v 2 V dengan
sebuah bilangan real yang ditulis dengan h~u; ~v i dan memenuhi sifat-sifat berikut
untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2V
1
2
h~u; ~v i = h~v ; ~ui (aksioma simetris)
h~u + ~v ; wi
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~ (aksioma aditif/ penjumlahan)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
10 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi (Hasil Kali Dalam)
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah
suatu fungsi (atau operasi) yang memetakan sepasang vektor ~u; ~v 2 V dengan
sebuah bilangan real yang ditulis dengan h~u; ~v i dan memenuhi sifat-sifat berikut
untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2V
1
2
3
h~u; ~v i = h~v ; ~ui (aksioma simetris)
h~u + ~v ; wi
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~ (aksioma aditif/ penjumlahan)
h ~u; ~v i =
MZI (FIF Tel-U)
h~u; ~v i untuk setiap
2 R (aksioma kehomogenan)
De…nisi RHKD
November 2015
10 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi (Hasil Kali Dalam)
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah
suatu fungsi (atau operasi) yang memetakan sepasang vektor ~u; ~v 2 V dengan
sebuah bilangan real yang ditulis dengan h~u; ~v i dan memenuhi sifat-sifat berikut
untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2V
1
2
3
4
h~u; ~v i = h~v ; ~ui (aksioma simetris)
h~u + ~v ; wi
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~ (aksioma aditif/ penjumlahan)
h ~u; ~v i =
h~u; ~ui
h~u; ~v i untuk setiap
2 R (aksioma kehomogenan)
0 dan h~u; ~ui = 0 jika dan hanya jika ~u = ~0 (aksioma kepositifan)
De…nisi (Ruang Hasil Kali Dalam)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
10 / 54
De…nisi Hasil Kali Dalam
De…nisi (Hasil Kali Dalam)
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah
suatu fungsi (atau operasi) yang memetakan sepasang vektor ~u; ~v 2 V dengan
sebuah bilangan real yang ditulis dengan h~u; ~v i dan memenuhi sifat-sifat berikut
untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2V
1
2
3
4
h~u; ~v i = h~v ; ~ui (aksioma simetris)
h~u + ~v ; wi
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~ (aksioma aditif/ penjumlahan)
h ~u; ~v i =
h~u; ~ui
h~u; ~v i untuk setiap
2 R (aksioma kehomogenan)
0 dan h~u; ~ui = 0 jika dan hanya jika ~u = ~0 (aksioma kepositifan)
De…nisi (Ruang Hasil Kali Dalam)
Sebuah ruang vektor V disebut sebagai ruang hasil kali dalam (inner product
space) apabila V adalah sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu hasil
kali dalam.
Catatan
Untuk meringkas penulisan, hasil kali dalam akan ditulis sebagai HKD dan ruang
hasil kali dalam akan diringkas dengan RHKD.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
10 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
11 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Bahasan
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
12 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD Euclid di Rn
Contoh
Misalkan ~u; ~v 2 Rn , operasi yang dide…nisikan sebagai berikut
h~u; ~v i = ~u ~v
merupakan suatu HKD dan dinamakan HKD Euclid (kita juga akan menyebutnya
sebagai HKD Euclid standar).
Latihan
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ) ; ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 . Periksa apakah operasi berikut
h~u; ~v i = 3u1 v1 + 2u2 v2
merupakan suatu HKD di R2 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
13 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Solusi: ya, karena untuk ~u; ~v ; w
~ 2 R2 kita memiliki
cukup jelas bahwa h~u; ~v i = h~v ; ~ui (tunjukkan!)
misalkan w
~ = (w1 ; w2 ), tinjau bahwa
h~u + ~v ; wi
~
=
3 (u1 + v1 ) w1 + 2 (u2 + v2 ) w2
=
3u1 w1 + 3v1 w1 + 2u2 w2 + 2v2 w2
=
(3u1 w1 + 2u2 w2 ) + (3v1 w1 + 2v2 w2 )
= h~u; ~v i + h~u; wi
~ .
misalkan
2 R, tinjau bahwa
h ~u; ~v i =
=
3 ( u1 ) v1 + 2 ( u2 ) v2 = 3 u1 v1 + 2 u2 v2
(3u1 v1 + 2u2 v2 ) =
h~u; ~v i .
tinjau bahwa
h~u; ~ui = 3u1 u1 + 2u2 u2 = 3u21 + 2u22
0
lebih jauh h~u; ~ui > 0 jika ~u 6= ~0 dan h~u; ~ui = 0 jika dan hanya jika ~u = ~0.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
14 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Latihan
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 . Periksa apakah operasi berikut
h~u; ~v i = 3u1 v1 + 2u2 v2
5u3 v3
merupakan suatu HKD di R3 .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
15 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Latihan
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 . Periksa apakah operasi berikut
h~u; ~v i = 3u1 v1 + 2u2 v2
5u3 v3
merupakan suatu HKD di R3 .
Solusi: h~u; ~v i di atas bukan suatu HKD karena untuk ~v = (1; 1; 1) kita mempunyai
2
2
h~v ; ~v i = 3 (1) + 2 (1)
2
5 (1) = 0,
padahal ~v 6= ~0.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
15 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Latihan
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 . Periksa apakah operasi berikut
2
2
2
h~u; ~v i = (u1 v1 ) + (u2 v2 ) + (u3 v3 )
merupakan suatu HKD di R3 .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
16 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Latihan
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 . Periksa apakah operasi berikut
2
2
2
h~u; ~v i = (u1 v1 ) + (u2 v2 ) + (u3 v3 )
merupakan suatu HKD di R3 .
Solusi: h~u; ~v i di atas bukan suatu HKD karena untuk ~u = ~v = (1; 1; 1) dan
= 1 kita mempunyai
h ~u; ~v i =
=
2
2
( 1 1) + ( 1 1) + ( 1 1)
2
12 + 1 2 + 1 2 = 3
sedangkan
h~u; ~v i =
Dalam hal ini h ~u; ~v i =
6
MZI (FIF Tel-U)
12 + 12 + 12 =
3.
h~u; ~v i.
De…nisi RHKD
November 2015
16 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD Euclid Berbobot
Teorema
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn dan 1 ; 2 ; : : : ; n
adalah bilangan real positif, maka operasi h~u; ~v i yang dide…nisikan sebagai
h~u; ~v i =
=
1 u1 v1 + 2 u2 v2 +
n
X
j uj vj
+
n un vn
j=1
merupakan suatu HKD di Rn . Selanjutnya HKD seperti ini dinamakan HKD
Euclid berbobot dengan bobot 1 ; 2 ; : : : ; n (weighted Euclidean inner product
with weights 1 ; 2 ; : : : ; n ).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
17 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Bukti
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ; w
~ = (w1 ; w2 ; : : : wn ) 2 Rn
dan 2 R, kita mempunyai
aksioma simetris:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
18 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Bukti
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ; w
~ = (w1 ; w2 ; : : : wn ) 2 Rn
dan 2 R, kita mempunyai
Pn
Pn
aksioma simetris: h~u; ~v i = j=1 j uj vj = j=1 j vj uj = h~v ; ~ui
aksioma aditif:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
18 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Bukti
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ; w
~ = (w1 ; w2 ; : : : wn ) 2 Rn
dan 2 R, kita mempunyai
Pn
Pn
aksioma simetris: h~u; ~v i = j=1 j uj vj = j=1 j vj uj = h~v ; ~ui
aksioma aditif:
h~u + ~v ; wi
~
=
=
n
X
j=1
n
X
j=1
j
(uj + vj ) wj =
n
X
( j uj wj +
j uj wj )
j=1
j uj wj
+
n
X
j=1
j vj w j
= h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
aksioma kehomogenan:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
18 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Bukti
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ; w
~ = (w1 ; w2 ; : : : wn ) 2 Rn
dan 2 R, kita mempunyai
Pn
Pn
aksioma simetris: h~u; ~v i = j=1 j uj vj = j=1 j vj uj = h~v ; ~ui
aksioma aditif:
h~u + ~v ; wi
~
=
=
n
X
j=1
n
X
j
(uj + vj ) wj =
aksioma kepositifan:
MZI (FIF Tel-U)
( j uj wj +
j uj wj )
j=1
j uj wj
j=1
aksioma kehomogenan:
Pn
h ~u; ~v i = j=1 j uj vj =
n
X
+
n
X
j vj w j
j=1
Pn
j=1 j uj vj
De…nisi RHKD
=
= h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
h~u; ~v i
November 2015
18 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
Bukti
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ; w
~ = (w1 ; w2 ; : : : wn ) 2 Rn
dan 2 R, kita mempunyai
Pn
Pn
aksioma simetris: h~u; ~v i = j=1 j uj vj = j=1 j vj uj = h~v ; ~ui
aksioma aditif:
h~u + ~v ; wi
~
=
=
n
X
j=1
n
X
j
(uj + vj ) wj =
aksioma kepositifan:
h~u; ~ui =
n
X
j=1
MZI (FIF Tel-U)
j uj uj
=
n
X
j=1
( j uj wj +
j uj wj )
j=1
j uj wj
j=1
aksioma kehomogenan:
Pn
h ~u; ~v i = j=1 j uj vj =
n
X
+
n
X
j vj w j
j=1
Pn
j=1 j uj vj
2
j uj
=
= h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
h~u; ~v i
= 0, jika ~u = ~0
> 0, jika ~u =
6 ~0 karena
De…nisi RHKD
j
> 0, 8j
November 2015
18 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
Bahasan
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
19 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD yang Dibangkitkan oleh Matriks
Teorema
Misalkan A adalah sebuah matriks n n yang invertibel dan
~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn . Operasi yang dide…nisikan
sebagai
h~u; ~v i = A~u A~v
adalah sebuah hasil kali dalam di Rn .
Bukti
Untuk ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan
MZI (FIF Tel-U)
2 R, melalui sifat-sifat hasil kali titik kita memiliki
De…nisi RHKD
November 2015
20 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD yang Dibangkitkan oleh Matriks
Teorema
Misalkan A adalah sebuah matriks n n yang invertibel dan
~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn . Operasi yang dide…nisikan
sebagai
h~u; ~v i = A~u A~v
adalah sebuah hasil kali dalam di Rn .
Bukti
Untuk ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan
1
2 R, melalui sifat-sifat hasil kali titik kita memiliki
h~u; ~v i = A~u A~v = A~v A~u = h~v ; ~ui
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
20 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD yang Dibangkitkan oleh Matriks
Teorema
Misalkan A adalah sebuah matriks n n yang invertibel dan
~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn . Operasi yang dide…nisikan
sebagai
h~u; ~v i = A~u A~v
adalah sebuah hasil kali dalam di Rn .
Bukti
Untuk ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan
1
2
2 R, melalui sifat-sifat hasil kali titik kita memiliki
h~u; ~v i = A~u A~v = A~v A~u = h~v ; ~ui
h~u + ~v ; wi
~ = A (~u + ~v ) Aw
~ = (A~u + A~v ) Aw
~=
(A~u Aw)
~ + (A~v Aw)
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
20 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD yang Dibangkitkan oleh Matriks
Teorema
Misalkan A adalah sebuah matriks n n yang invertibel dan
~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn . Operasi yang dide…nisikan
sebagai
h~u; ~v i = A~u A~v
adalah sebuah hasil kali dalam di Rn .
Bukti
Untuk ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan
1
2
3
2 R, melalui sifat-sifat hasil kali titik kita memiliki
h~u; ~v i = A~u A~v = A~v A~u = h~v ; ~ui
h~u + ~v ; wi
~ = A (~u + ~v ) Aw
~ = (A~u + A~v ) Aw
~=
(A~u Aw)
~ + (A~v Aw)
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
h ~u; ~v i = A ~u A~v = A~u A~v =
MZI (FIF Tel-U)
(A~u A~v ) =
De…nisi RHKD
h~u; ~v i
November 2015
20 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD yang Dibangkitkan oleh Matriks
Teorema
Misalkan A adalah sebuah matriks n n yang invertibel dan
~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn . Operasi yang dide…nisikan
sebagai
h~u; ~v i = A~u A~v
adalah sebuah hasil kali dalam di Rn .
Bukti
Untuk ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan
1
2
3
4
2 R, melalui sifat-sifat hasil kali titik kita memiliki
h~u; ~v i = A~u A~v = A~v A~u = h~v ; ~ui
h~u + ~v ; wi
~ = A (~u + ~v ) Aw
~ = (A~u + A~v ) Aw
~=
(A~u Aw)
~ + (A~v Aw)
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
h ~u; ~v i = A ~u A~v = A~u A~v =
h~u; ~ui = A~u A~u = kA~uk
A~u = ~0
MZI (FIF Tel-U)
2
(A~u A~v ) =
h~u; ~v i
0 dengan A~u A~u = 0 jika dan hanya jika
De…nisi RHKD
November 2015
20 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD yang Dibangkitkan oleh Matriks
Teorema
Misalkan A adalah sebuah matriks n n yang invertibel dan
~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn . Operasi yang dide…nisikan
sebagai
h~u; ~v i = A~u A~v
adalah sebuah hasil kali dalam di Rn .
Bukti
Untuk ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan
1
2
3
4
2 R, melalui sifat-sifat hasil kali titik kita memiliki
h~u; ~v i = A~u A~v = A~v A~u = h~v ; ~ui
h~u + ~v ; wi
~ = A (~u + ~v ) Aw
~ = (A~u + A~v ) Aw
~=
(A~u Aw)
~ + (A~v Aw)
~ = h~u; wi
~ + h~v ; wi
~
h ~u; ~v i = A ~u A~v = A~u A~v =
(A~u A~v ) =
2
h~u; ~v i
h~u; ~ui = A~u A~u = kA~uk
0 dengan A~u A~u = 0 jika dan hanya jika
A~u = ~0 atau ~u = ~0 (karena A invertibel).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
20 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
Latihan
Carilah (jika ada) matriks A berukuran 2
~u = (u1 ; v1 ) ; ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 berlaku
2 sedemikian hingga untuk setiap
h~u; ~v i = 3u1 v1 + 2u2 v2 = A~u A~v
Selanjutnya carilah (jika ada) matriks A berukuran n n sedemikian hingga
untuk setiap ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; u2 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn berlaku
h~u; ~v i =
dengan
j
> 0 untuk setiap 1
MZI (FIF Tel-U)
j
n
X
j uj vj
= A~u A~v ,
j=1
n.
De…nisi RHKD
November 2015
21 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
Solusi (silakan elaborasi sendiri argumennya):
Matriks A berukuran 2 2 yang memenuhi 3u1 v1 + 2u2 v2 = A~u A~v adalah
A=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
22 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
Solusi (silakan elaborasi sendiri argumennya):
Matriks p
A berukuran 2 2 yang memenuhi 3u1 v1 + 2u2 v2 = A~u A~v adalah
3 p0
A=
. Selanjutnya A berukuran n n yang memenuhi
0
2
Pn
u A~v adalah
j=1 j uj vj = A~
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
22 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
Solusi (silakan elaborasi sendiri argumennya):
Matriks p
A berukuran 2 2 yang memenuhi 3u1 v1 + 2u2 v2 = A~u A~v adalah
3 p0
A=
. Selanjutnya A berukuran n n yang memenuhi
0
2
Pn
u A~v adalah
j=1 j uj vj = A~
2 p
6
6
A=6
6
4
MZI (FIF Tel-U)
0
..
.
1
0
p
2
..
.
0
0
De…nisi RHKD
3
0
..
.
p0
n
7
7
7
7
5
November 2015
22 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Bahasan
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
23 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Pada bagian ini kita akan bekerja pada ruang matriks persegi Mnn
Teorema (HKD Frobenius)
Diberikan dua matriks A; B 2 Mnn , HKD Frobenius dari A dan B, dinotasikan
dengan hA; Bi, dide…nisikan sebagai
hA; Bi = tr AT B .
Bukti
Lihat buku teks.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
24 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Contoh HKD Frobenius
Misalkan pada M22 kita memiliki A =
MZI (FIF Tel-U)
1
0
De…nisi RHKD
2
1
dan B =
1
2
0
1
.
November 2015
25 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Contoh HKD Frobenius
1 2
1
0
dan B =
. Hasil
0 1
2
1
kali dalam Frobenius dari A dan B ditulis dengan hA; Bi dan dapat dihitung
sebagai berikut
Misalkan pada M22 kita memiliki A =
AT B =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
25 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Contoh HKD Frobenius
1 2
1
0
dan B =
. Hasil
0 1
2
1
kali dalam Frobenius dari A dan B ditulis dengan hA; Bi dan dapat dihitung
sebagai berikut
Misalkan pada M22 kita memiliki A =
AT B =
1 2
0 1
T
1
2
0
1
=
1
0
0
1
, akibatnya
hA; Bi =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
25 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Contoh HKD Frobenius
1 2
1
0
dan B =
. Hasil
0 1
2
1
kali dalam Frobenius dari A dan B ditulis dengan hA; Bi dan dapat dihitung
sebagai berikut
Misalkan pada M22 kita memiliki A =
AT B =
hA; Bi =
MZI (FIF Tel-U)
1 2
0 1
T
tr AT B =
1
2
0
1
=
1
0
0
1
, akibatnya
2:
De…nisi RHKD
November 2015
25 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Formulasi HKD Frobenius
Secara umum jika A; B 2 Mnn kita memiliki
hA; Bi =
tr AT B
=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
26 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
Formulasi HKD Frobenius
Secara umum jika A; B 2 Mnn kita memiliki
tr AT B
n X
n
n X
n
X
X
(A)ij (B)ij =
(A)ij (B)ij .
=
hA; Bi =
j=1 i=1
MZI (FIF Tel-U)
i=1 j=1
De…nisi RHKD
November 2015
26 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
Latihan
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
2
1
Hitunglah nilai dari hA; Bi apabila A = 4 0
0
2
1
0
3
2
1
1
2 5 dan B = 4 1
1
1
Solusi:
P3 P3
Kita memiliki hA; Bi = i=1 j=1 (A)ij (B)ij =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
0
2
2
3
0
0 5.
1
November 2015
27 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
Latihan
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
2
1
Hitunglah nilai dari hA; Bi apabila A = 4 0
0
2
1
0
3
2
1
1
2 5 dan B = 4 1
1
1
0
2
2
3
0
0 5.
1
Solusi:
P3 P3
Kita memiliki hA; Bi = i=1 j=1 (A)ij (B)ij =
(1) (1) + (2) (0) + (1) (0) + (0) (1) + (1) (2) + (2) (0) + (0) (1) + (0) (2) + (1) (1) = 4
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
27 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Pn
Bahasan
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
28 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Pn
HKD di Pn
Pada bagian ini kita akan bekerja di ruang polinom Pn . Ingat kembali bahwa
Pn = fa0 + a1 x +
+ an xn j aj 2 R, 8j (1 j n)g.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
29 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Pn
Teorema
Misalkan p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn dan q (x) = b0 + b1 x +
keduanya adalah polinom di Pn , maka
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
+ bn xn
November 2015
30 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Pn
Teorema
Misalkan p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn dan q (x) = b0 + b1 x +
keduanya adalah polinom di Pn , maka
1
+ bn xn
operasi h ;
i yang dide…nisikan sebagai
hp (x) ; q (x)i = a0 b0 + a1 b1 +
+ an bn
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
30 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Pn
Teorema
Misalkan p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn dan q (x) = b0 + b1 x +
keduanya adalah polinom di Pn , maka
1
2
operasi h ;
i yang dide…nisikan sebagai
hp (x) ; q (x)i = a0 b0 + a1 b1 +
+ an bn
untuk n + 1 titik di R berikut: 0 ; 1 ; : : : ; n , operasi h ;
de…nisikan sebagai
hp (x) ; q (x)i = p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 ) +
+ p ( n) q (
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
+ bn xn
i yang
n)
November 2015
30 / 54
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD di Pn
Teorema
Misalkan p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn dan q (x) = b0 + b1 x +
keduanya adalah polinom di Pn , maka
1
2
3
operasi h ;
i yang dide…nisikan sebagai
hp (x) ; q (x)i = a0 b0 + a1 b1 +
+ an bn
untuk n + 1 titik di R berikut: 0 ; 1 ; : : : ; n , operasi h ;
de…nisikan sebagai
hp (x) ; q (x)i = p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 ) +
+ p ( n) q (
untuk a; b 2 R dengan a < b operasi h
Rb
hp (x) ; q (x)i = a p (x) q (x) dx
;
+ bn xn
i yang
n)
i yang dide…nisikan sebagai
semuanya merupakan HKD di Pn . Operasi 1 dinamakan HKD standar di Pn ,
operasi 2 dinamakan HKD evaluasi di Pn dengan titik-titik evaluasi 0 ; 1 ; : : : ;
dan operasi 3 dinamakan HKD integral di Pn atas selang [a; b].
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
n,
30 / 54
Beberapa Sifat HKD
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
31 / 54
Beberapa Sifat HKD
Beberapa Sifat HKD
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
dan 2 R, maka
D E D E
~0; ~v = ~v ; ~0 = 0
1
2
3
4
5
;
i. Apabila ~u; ~v ; w
~ 2V
h~u; ~v + wi
~ = h~u; ~v i + h~u; wi
~
h~u
h~u; ~v
~v ; wi
~ = h~u; ~v i
wi
~ = h~u; ~v i
h~u; ~v i = h~u; ~v i
h~u; wi
~
h~u; wi
~
Sifat-sifat di atas analog dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh hasil kali titik di Rn .
Lebih jauh, sifat-sifat pada teorema di atas hanya boleh dibuktikan menggunakan
empat aksioma HKD, 10 aksioma ruang vektor, dan sifat-sifat bilangan real. Di
sini kita hanya akan membuktikan untuk sifat pertama dan terakhir. Bukti untuk
sifat lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
32 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
33 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Norm di RHKD
De…nisi (Norm)
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h ;
i dan ~v 2 V , norm
(panjang) dari ~v dintoasikan dengan k~v k dan dide…nisikan sebagai
k~v k = h~v ; ~v i
1=2
.
Latihan
Diberikan polinom 1 + x 2 P1 , tentukan k1 + xk dengan HKD berikut
1
2
3
HKD standar di P1 , ha + bx; c + dxi = ac + bd
HKD di P1 dengan titik evaluasi 0 = 1 dan 1 = 2, yaitu
ha + bx; c + dxi = (a + b 0 ) (c + d 0 ) + (a + b 1 ) (c + d 1 )
HKD di P1 dengan integral atas selang [0; 1], yaitu
R1
ha + bx; c + dxi = 0 (a + bx) (c + dx) dx
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
34 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Solusi:
1
k1 + xk =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
35 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Solusi:
1
k1 + xk =
2
k1 + xk =
p
MZI (FIF Tel-U)
12 + 12 =
p
2
De…nisi RHKD
November 2015
35 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Solusi:
1
2
3
p
p
12 + 12 = 2
q
p
2
2
k1 + xk = (1 + (1)) + (1 + (2)) = 13
k1 + xk =
k1 + xk =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
35 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Solusi:
1
2
3
p
p
12 + 12 = 2
q
p
2
2
k1 + xk = (1 + (1)) + (1 + (2)) = 13
qR
q
qR
1
1
2
2 ) dx =
(1
+
x)
dx
=
(1
+
2x
+
x
k1 + xk =
x + x2 + 13 x3
0
0
q
2 13
k1 + xk =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
1
0
=
35 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Jarak di RHKD
De…nisi (Jarak dua vektor)
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
; i dan ~u; ~v 2 V , jarak dari
~u ke ~v dinotasikan dengan d (~u; ~v ) dide…nisikan sebagai
d (~u; ~v ) = k~u
~v k = h~u
~v ; ~u
1=2
~v i
.
1
2
2
1
Latihan
Dengan HKD Frobenius, tentukan d (A; B) bila A =
B=
2 1
1 2
dan
.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
36 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Solusi: Misalkan C = A
B=
1
2
2
1
2
1
1
2
=
1
1
1
1
. Kita
memiliki
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
37 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Solusi: Misalkan C = A
1
2
B=
2
1
2
1
1
2
=
1
1
1
1
. Kita
memiliki
d (A; B)
=
=
p
=
p
=
MZI (FIF Tel-U)
p
q
h(A
B) ; (A
B)i
hC; Ci
2
2
2
( 1) + (1) + ( 1) + ( 1)
2
4 = 2.
De…nisi RHKD
November 2015
37 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Sudut di RHKD
Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di RHKD)
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
dua vektor tak nol di V , maka
dengan k~uk =
Akibat
p
i dan ~u; ~v 2 V adalah
jh~u; ~v ij k~uk k~v k ,
p
h~u; ~ui dan k~v k = h~v ; ~v i.
Jika V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
vektor tak nol di V , maka
h~u; ~v i
1
k~uk k~v k
MZI (FIF Tel-U)
;
De…nisi RHKD
i dan ~u; ~v 2 V adalah dua
;
1.
November 2015
38 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
De…nisi (Sudut dua vektor tak nol)
Jika V adalah sebuah RHKD dengan HKD h ;
i, ~u; ~v 2 V adalah dua vektor
tak nol di V , dan adalah sudut antara ~u dan ~v , maka
cos =
h~u; ~v i
,
k~uk k~v k
= arccos
h~u; ~v i
k~uk k~v k
dengan demikian
.
Perhatikan bahwa de…nisi di atas serupa dengan fakta yang kita miliki di R2 , R3 ,
maupun Rn , yaitu
h~u; ~v i = k~uk k~v k cos .
Salah satu hal yang perlu diingat adalah pada identitas ini kita memakai
p
p
k~uk = h~u; ~ui dan k~v k = h~v ; ~v i.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
39 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara
A=
2
4
4
2
dan B =
0
0
1
2
menggunakan HKD Frobenius.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
40 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara
A=
2
4
4
2
dan B =
0
0
1
2
menggunakan HKD Frobenius.
Solusi: tinjau bahwa
kAk =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
40 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara
A=
2
4
4
2
dan B =
0
0
1
2
menggunakan HKD Frobenius.
bahwap
Solusi: tinjau
p
p
kAk = hA; Ai = 22 + 42 + 42 + 22 = 2 10
kBk =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
40 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara
A=
2
4
4
2
dan B =
0
0
1
2
menggunakan HKD Frobenius.
bahwap
Solusi: tinjau
p
p
kAk = hA; Ai = q22 + 42 + 42 + 22 = 2 10
p
p
2
kBk = hB; Bi = 02 + 12 + 02 + ( 2) = 5
hA; Bi =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
40 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara
A=
2
4
4
2
dan B =
0
0
1
2
menggunakan HKD Frobenius.
bahwap
Solusi: tinjau
p
p
kAk = hA; Ai = q22 + 42 + 42 + 22 = 2 10
p
p
2
kBk = hB; Bi = 02 + 12 + 02 + ( 2) = 5
hA; Bi = (2 0) + (4 1) + (4 0) + (2
2) = 0
Akibatnya kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
40 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara
A=
2
4
4
2
dan B =
0
0
1
2
menggunakan HKD Frobenius.
bahwap
Solusi: tinjau
p
p
kAk = hA; Ai = q22 + 42 + 42 + 22 = 2 10
p
p
2
kBk = hB; Bi = 02 + 12 + 02 + ( 2) = 5
hA; Bi = (2 0) + (4 1) + (4 0) + (2
2) = 0
Akibatnya kita memiliki
hA; Bi
cos
= kAk kBk cos , jadi
hA; Bi
=
=0
kAk kBk
=
MZI (FIF Tel-U)
2
rad = 90 .
De…nisi RHKD
November 2015
40 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara vektor ~u = (1; 1; 1) dan ~v = (1; 1; 0) dengan HKD
h~u; ~v i = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 di R3 .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
41 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara vektor ~u = (1; 1; 1) dan ~v = (1; 1; 0) dengan HKD
h~u; ~v i = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 di R3 .
Solusi: tinjau bahwa
h~u; ~v i = (1) (1) + 2 (1) (1) + 3 (1) (0) = 1 + 2 + 0 = 3
p
p
p
1
k~uk = h~u; ~ui 2 = (1) (1) + 2 (1) (1) + 3 (1) (1) = 1 + 2 + 3 = 6.
p
p
p
1
k~v k = h~v ; ~v i 2 = (1) (1) + 2 (1) (1) + 3 (0) (0) = 1 + 2 + 0 = 3
Akibatnya kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
41 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
Tentukan sudut antara vektor ~u = (1; 1; 1) dan ~v = (1; 1; 0) dengan HKD
h~u; ~v i = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 di R3 .
Solusi: tinjau bahwa
h~u; ~v i = (1) (1) + 2 (1) (1) + 3 (1) (0) = 1 + 2 + 0 = 3
p
p
p
1
k~uk = h~u; ~ui 2 = (1) (1) + 2 (1) (1) + 3 (1) (1) = 1 + 2 + 3 = 6.
p
p
p
1
k~v k = h~v ; ~v i 2 = (1) (1) + 2 (1) (1) + 3 (0) (0) = 1 + 2 + 0 = 3
Akibatnya kita memiliki
h~u; ~v i = k~uk k~v k cos , jadi
cos
p
3
3
h~u; ~v i
=p p =p
=
k~uk k~v k
6 3
6
r
r
3
1
1p
=
=
=
2
6
2
2
=
MZI (FIF Tel-U)
4
rad = 45 .
De…nisi RHKD
November 2015
41 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Keortogonalan di RHKD
De…nisi (Keortogonalan)
Jika V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
dikatakan (saling) ortogonal bila
;
i, maka dua vektor ~u; ~v 2 V
h~u; ~v i = 0.
Akibat
Jika dua vektor ~u; ~v 2 V ortogonal dan
= =2.
adalah sudut antara ~u dan ~v , maka
Catatan
Sebagaimana kita lakukan di Rn , kita akan menulis ~u?~v untuk menyatakan
bahwa ~u dan ~v ortogonal.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
42 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
1 2
, carilah matriks B sedemikian hingga B
2 1
ortogonal dengan A (terhadap HKD Frobenius) dan kBk = 1.
Diberikan sebuah matriks A =
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
43 / 54
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
Latihan
1 2
, carilah matriks B sedemikian hingga B
2 1
ortogonal dengan A (terhadap HKD Frobenius) dan kBk = 1.
Diberikan sebuah matriks A =
"
p1
2
0
#
Solusi: pilih B =
, kita memiliki
0 p12
p
p
kBk = hB; Bi = (1=2) + (1=2) = 1 dan
hA; Bi = (1)
MZI (FIF Tel-U)
1
p
2
+ 0 + 0 + (1)
De…nisi RHKD
1
p
2
= 0.
November 2015
43 / 54
Beberapa Sifat Penting di RHKD
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
44 / 54
Beberapa Sifat Penting di RHKD
Ketaksamaan Segitiga di RHKD
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
1
2
k~u + ~v k
d (~u; ~v )
;
i, dan ~u; ~v ; w
~ 2 V , maka
k~uk + k~v k (ketaksamaan segitiga untuk norm)
d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga untuk jarak).
Bukti (ketaksamaan segitiga untuk norm)
Tinjau bahwa
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
45 / 54
Beberapa Sifat Penting di RHKD
Ketaksamaan Segitiga di RHKD
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
1
2
k~u + ~v k
d (~u; ~v )
;
i, dan ~u; ~v ; w
~ 2 V , maka
k~uk + k~v k (ketaksamaan segitiga untuk norm)
d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga untuk jarak).
Bukti (ketaksamaan segitiga untuk norm)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
= h~u + ~v ; ~u + ~v i = h~u; ~ui + 2 h~u; ~v i + h~v ; ~v i
h~u; ~ui + 2 jh~u; ~v ij + h~v ; ~v i (sifat nilai mutlak)
h~u; ~ui + 2 k~uk k~v k + h~v ; ~v i (Cauchy-Schwarz)
2
k~u + ~v k
2
2
= k~uk + 2 k~uk k~v k + k~v k = (k~uk + k~v k) , jadi
k~uk + k~v k .
Bukti ketaksamaan segitiga untuk jarak dijadikan latihan.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
45 / 54
Beberapa Sifat Penting di RHKD
Teorema Phytagoras di RHKD
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
dua vektor yang ortogonal, maka
2
2
;
i dan ~u; ~v 2 V adalah
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k .
Bukti
Karena ~u ortogonal dengan ~v maka h~u; ~v i = 0, akibatnya
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
46 / 54
Beberapa Sifat Penting di RHKD
Teorema Phytagoras di RHKD
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h
dua vektor yang ortogonal, maka
2
2
;
i dan ~u; ~v 2 V adalah
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k .
Bukti
Karena ~u ortogonal dengan ~v maka h~u; ~v i = 0, akibatnya
2
k~u + ~v k
= h~u + ~v ; ~u + ~v i
= h~u; ~ui + 2 h~u; ~v i + h~v ; ~v i
2
2
= k~uk + k~v k .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
46 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Hasil Kali Dalam Euclid
3
De…nisi Hasil Kali Dalam
4
Beberapa Contoh Hasil Kali Dalam
HKD Euclid Berbobot
HKD di Rn yang Dibangkitkan oleh Matriks
HKD di Mnn (Ruang Matriks Persegi)
HKD di Pn
5
Beberapa Sifat HKD
6
Norm, Jarak, dan Sudut di RHKD
7
Beberapa Sifat Penting di RHKD
8
Komplemen Ortogonal Subruang
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
47 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Komplemen Ortogonal Subruang
De…nisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD dengan HKD h ;
i dan W V adalah
subruang dari W . Komplemen ortogonal dari W , dinotasikan W ? dan dibaca “W
perp”, merupakan himpunan bagian dari V yang dide…nisikan sebagai
W ? = f~v 2 V j hw;
~ ~v i = 0 untuk setiap w
~ 2 Wg.
Teorema
Jika V adalah sebuah RHKD dan W adalah subruang dari V , maka
1
2
W ? adalah subruang dari V ,
n o
W \ W ? = ~0 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
48 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Bukti
Untuk sifat pertama, kita mempunyai:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
49 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Bukti
Untuk sifat pertama, kita mempunyai:
D
E
~0 2 W ? karena ~0; w
1
~ = 0 untuk setiap w
~ 2 W , akibatnya W ? 6= ;.
2
Misalkan ~x1 ; ~x2 2 W ? , maka h~x1 ; wi
~ = h~x2 ; wi
~ = 0 untuk setiap w
~ 2 W.
Akibatnya untuk setiap w
~ 2 W berlaku
h~x1 + ~x2 ; wi
~ = h~x1 ; wi
~ + h~x2 ; wi
~ = 0 + 0 = 0,
3
jadi ~x1 + ~x2 2 W ? .
Misalkan ~x1 2 W ? dan 2 R, maka h~x1 ; wi
~ = 0 untuk setiap w
~ 2 W.
Akibatnya untuk setiap w
~ 2 W berlaku
h ~x1 ; wi
~ =
h~x1 ; wi
~ = 0 = 0,
jadi ~x1 2 W ? .
Untuk sifat kedua, misalkan ~x 2 W \ W ? , kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
49 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Bukti
Untuk sifat pertama, kita mempunyai:
D
E
~0 2 W ? karena ~0; w
1
~ = 0 untuk setiap w
~ 2 W , akibatnya W ? 6= ;.
2
Misalkan ~x1 ; ~x2 2 W ? , maka h~x1 ; wi
~ = h~x2 ; wi
~ = 0 untuk setiap w
~ 2 W.
Akibatnya untuk setiap w
~ 2 W berlaku
h~x1 + ~x2 ; wi
~ = h~x1 ; wi
~ + h~x2 ; wi
~ = 0 + 0 = 0,
3
jadi ~x1 + ~x2 2 W ? .
Misalkan ~x1 2 W ? dan 2 R, maka h~x1 ; wi
~ = 0 untuk setiap w
~ 2 W.
Akibatnya untuk setiap w
~ 2 W berlaku
h ~x1 ; wi
~ =
h~x1 ; wi
~ = 0 = 0,
jadi ~x1 2 W ? .
Untuk sifat kedua, misalkan ~x 2 W \ W ? , kita memiliki ~x 2 W dan ~x 2 W ? .
Akibatnya h~x; ~xi = 0. Berdasarkan sifat HKD, haruslah ~x = ~0.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
49 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Latihan
Teorema
Jika V adalah sebuah RHKD dan W adalah subruang dari V , maka W ?
?
= W.
Latihan
Tentukan W ? untuk setiap subruang W pada ruang vektor-ruang vektor berikut
dengan meninjau HKD Euclid standar
1
2
3
W = (x; y) 2 R2 j x = y
W = (x; y; z) 2 R3 j x + y + z = 0
W = R4
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
50 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
51 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Solusi:
1
Jika w
~ 2 W , maka w
~ = s (1; 1) dengan s 2 R, jadi W = span f(1; 1)g. Jika
~x = (x1 ; x2 ) 2 W ? haruslah (x1 ; x2 ) (1; 1) = 0. Sehingga diperoleh
x1 + x2 = 0. Misalkan x2 = t, maka x1 = t dengan t 2 R. Akibatnya
~x 2 span f(1; 1)g. Jadi W ? = span f(1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
51 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Solusi:
1
2
Jika w
~ 2 W , maka w
~ = s (1; 1) dengan s 2 R, jadi W = span f(1; 1)g. Jika
~x = (x1 ; x2 ) 2 W ? haruslah (x1 ; x2 ) (1; 1) = 0. Sehingga diperoleh
x1 + x2 = 0. Misalkan x2 = t, maka x1 = t dengan t 2 R. Akibatnya
~x 2 span f(1; 1)g. Jadi W ? = span f(1; 1)g.
Jika w
~ 2 W , maka w
~ = ( s t; s; t) dengan s; t 2 R, jadi
W = span f( 1; 1; 0) ; ( 1; 0; 1)g. Jika ~x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 W ? haruslah
(x1 ; x2 ; x3 ) ( 1; 1; 0)
=
(x1 ; x2 ; x3 ) ( 1; 0; 1)
=
0,
0,
x1 + x2 + 0x3 = 0
x1 + 0x2 + x3 = 0
Jika x1 = p, diperoleh x2 = x3 = p dengan p 2 R. Akibatnya
~x 2 span f(1; 1; 1)g. Jadi W ? = span f(1; 1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
51 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Solusi:
1
2
3
Jika w
~ 2 W , maka w
~ = s (1; 1) dengan s 2 R, jadi W = span f(1; 1)g. Jika
~x = (x1 ; x2 ) 2 W ? haruslah (x1 ; x2 ) (1; 1) = 0. Sehingga diperoleh
x1 + x2 = 0. Misalkan x2 = t, maka x1 = t dengan t 2 R. Akibatnya
~x 2 span f(1; 1)g. Jadi W ? = span f(1; 1)g.
Jika w
~ 2 W , maka w
~ = ( s t; s; t) dengan s; t 2 R, jadi
W = span f( 1; 1; 0) ; ( 1; 0; 1)g. Jika ~x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 W ? haruslah
(x1 ; x2 ; x3 ) ( 1; 1; 0)
=
(x1 ; x2 ; x3 ) ( 1; 0; 1)
=
0,
0,
x1 + x2 + 0x3 = 0
x1 + 0x2 + x3 = 0
Jika x1 = p, diperoleh x2 = x3 = p dengan p 2 R. Akibatnya
~x 2 span f(1; 1; 1)g. Jadi W ? = span f(1; 1; 1)g.
Misalkan ~x 2 W ? , maka ~x ~vn=o0 untuk setiap ~v 2 R4 . Akibatnya ~x ~x = 0,
sehingga ~x = ~0. Jadi W ? = ~0 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
51 / 54
Komplemen Ortogonal Subruang
Latihan
Latihan
Tentukan W ? bila W adalah subruang vektor yang dibangun dengan basis-basis
berikut:
1
2
W subruang R3 dengan W = span f(1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g.
W subruang R4 dengan W = span f(1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RHKD
November 2015
52 / 54
Solusi:
Solusi:
1
Jika ~x 2 W ? maka ~x = (x1 ; x2 ; x3 ) dan ~x (1; 1; 0) = 0 dan ~x (0; 1; 1) = 0,
sehingga diperoleh
(x1 ; x2 ; x3 ) (1; 1; 0)
=
(x1 ; x2 ; x3 ) (0; 1; 1)
=
0 , x1 + x2 = 0
0 , x2 + x3 = 0.
Diperoleh SPL dalam bentuk matriks diperbesar
1
0
1
1
0
1
0
0
, dengan
1 0
1 0
. Misalkan x3 = t, maka x2 = t dan
0 1
1 0
x1 = t. Akibatnya jika ~x 2 W ? maka ~x = (t; t; t), t 2 R. Dengan demikian
W ? = span f(1; 1; 1)g.
OBE diperoleh
Solusi:
1
Jika ~x 2 W ? maka ~x = (x1 ; x2 ; x3 ) dan ~x (1; 1; 0) = 0 dan ~x (0; 1; 1) = 0,
sehingga diperoleh
(x1 ; x2 ; x3 ) (1; 1; 0)
=
(x1 ; x2 ; x3 ) (0; 1; 1)
=
0 , x1 + x2 = 0
0 , x2 + x3 = 0.
Diperoleh SPL dalam bentuk matriks diperbesar
1
0
1
1
0
1
0
0
, dengan
1 0
1 0
. Misalkan x3 = t, maka x2 = t dan
0 1
1 0
x1 = t. Akibatnya jika ~x 2 W ? maka ~x = (t; t; t), t 2 R. Dengan demikian
W ? = span f(1; 1; 1)g.
Jika ~x 2 W ? maka ~x = (x1 ; x2 ; x3 ; x3 ) dan ~x (1; 1; 0; 0) = 0 dan
~x (0; 0; 1; 1) = 0, sehingga diperoleh
OBE diperoleh
2
(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) (1; 1; 0; 0)
=
(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) (0; 0; 1; 1)
=
0 , x1 + x2 = 0
0 , x3 + x4 = 0.
Misalkan x4 = s, maka x3 = s, misalkan x2 = t, maka x1 = t. Akibatnya
jika ~x 2 W ? maka ~x = ( t; t; s; s), s; t 2 R. Dengan demikian
~x = t ( 1; 1; 0; 0) + s (0; 0; 1; 1), s; t 2 R. Akibatnya
W ? = span f( 1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1)g.
Komplemen Ortogonal Subruang
Komplemen Ortogonal RV terkait SPL
Teorema
Misalkan A adalah matriks berukuran m
standar kita memiliki
ker (A)
ker AT
MZI (FIF Tel-U)
n, dengan meninjau HKD Euclid
=
(row (A))
=
(col (A))
De…nisi RHKD
?
?
November 2015
54 / 54
Fly UP